Найти одз выражения с корнями. Область допустимых значений: теория и практика. Область определения функции с логарифмом

А как искать это самое ОДЗ? Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия. Таких запретных действий в математике очень мало.

Больше уроков на сайте

ОДЗ (Область Допустимых Значений)

Областью допустимых значений уравнения называется множество значений х, при котором правая и левая части уравнения имеют смысл .

Это те значения х, которые могут быть в принципе. Скажем, в уравнении = 1 мы не знаем пока, чему равен х. Мы пока уравнение не решили. Но уже твёрдо знаем, что х не может равняться нулю ни при каких обстоятельствах! На ноль делить нельзя! На любое другое число – целое, дробное, отрицательное – пожалуйста, а на ноль – ни в коем разе! Иначе исходное выражение становится бессмыслицей. Это означает, что ОДЗ в этом примере: х – любое, кроме нуля. Уловили?

Как находить, как записывать, как с этим работать?

Очень просто. Рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера . Или можно наоборот: найти запретные значения х, при которых исходный пример теряет всякий смысл, и исключить их.

Но и их не все помнят. Я сейчас их напомню, и советую их запомнить.

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нуля.

Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.

Есть две функции, которые содержат «скрытую» дробь:

Есть ещё запреты в логарифмических уравнениях – это мы рассмотрим в соответствующих темах. Всё. Когда мы нашли опасные места, вычисляем х, которые приведут к бессмыслице.

Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в уравнении выражения , которые я перечислила выше. И по мере обнаружения выражений, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь». И исключаем их.

Важно! Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных иксов. Это сложно выглядит в разъяснениях, но практически – очень легко.

Я специально на предыдущих уроках ничего не говорила про ОДЗ. Чтобы вас не спугнуть… В рассмотренных примерах ОДЗ никак не сказалось на ответах. Ведь в наших перечисленных запретах показательной функции нет. Такое бывает. Но в заданиях по ВНЕШНЕМУ НЕЗАВИСИМОМУ ТЕСТИРОВАНИЮ ОДЗ, как правило, влияет на ответ! Ее писать надо не для проверяющих, для себя. не пишут, если очевидно, что х – любое число. Как, например, в линейных уравнениях.

В массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок. А то и вовсе устно. В некоторых уравнениях — представляет собой пустое множество. А значит, исходное уравнение не имеет решений. Или в там находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

Что не нравится? Правильно – дробь. Мне она тоже не нравится, поэтому предлагаю от неё избавиться. Это можно сделать по разному. Я для того, чтобы избавиться от знаменателя, умножу обе части уравнения на общий знаменатель х-4.

Область допустимых значений квадратного корня. Квадратный корень из четной степени. Подкоренное выражение должно быть _____________________. ? 0. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа ______________________________. ? 0. ? 0. При извлечении квадратного корня из четной степени не забывать ________________. Так как корень арифметический, то его значение должно быть _______, следовательно, значение корня должно быть __________________ .

Картинка 3 из презентации «Квадратный корень из числа» к урокам алгебры на тему «Корень»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока алгебры, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Квадратный корень из числа.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 254 КБ.

Скачать презентацию

Корень

«Арифметический корень натуральной степени» - Сравните. Повторение. Решите уравнения. Точка. Вычислить. Решите уравнение. Самостоятельная работа. Неотрицательное число. Арифметический корень натуральной степени. Арифметический корень.

«Квадратный корень из числа» - Таблица основных степеней. Корень из дроби. Арифметический квадратный корень. Вычисление квадратных корней. Корень квадратный. Запомни. Вычисление корня. Извлечение квадратных корней путем разложения на множители. Область допустимых значений квадратного корня. Свойства квадратных корней. Извлечение корня из четной степени.

«Квадратный корень урок» - Самостоятельная работа. Повторить определение арифметического квадратного корня. Оцени себя сам: Здравствуйте, ребята! Мы рассмотрели доказательство теоремы об извлечении квадратного корня из произведения. Выражение. 1. Как называется выражение. 5. Итак, Повторим: 4. Вывод: Затем Вам будут предложены задания для самопроверки.

«Арифметический квадратный корень» - 1.Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. Новые понятия. Решаем вместе. Тема: Квадратный корень.Арифметический квадратный корень. Помощь учебника. При каком а не имеет смысла Найди формулу. Подведение итогов. Решение. Как называют а? Примеры разберите в учебнике и приведите свой пример.

«Арифметический корень» - Величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить на одно и тоже число. Определения. Таллинн Ласнамяэская гимназия. Свойства арифметических корней. Арифметическим корнем называется неотрицательное значение корня из неотрицательного числа. Корень чётной степени считают арифметическим (неотрицательным).

«Свойства арифметического квадратного корня» - Несколько значений х. Упростите выражение. Загадка. Проблемные ситуации. Свойства арифметического квадратного корня. Теоретический опрос. Теоретический устный опрос. Расшифруйте поговорку. Исключите ненужное словосочетание. Найди ошибку. Преобразуйте выражение.

Всего в теме 14 презентаций

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Шамшурин А.В. 1

Гагарина Н.А. 1

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %.

Цель : выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.

Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.

Задачи:

Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.

Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.

Глава 1

Что такое ОДЗ?

ОДЗ - это область допустимых значений , то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.

Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…

Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю, ОДЗ:f(x)
Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ:f(x)
|f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0

Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.

Алгоритм нахождения ОДЗ:

Определите вид запрета.
Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
Исключить эти значения из множества действительных чисел R.

Решить уравнение: =

Без ОДЗ

С ОДЗ

Ответ: х=5

ОДЗ: => =>

Ответ: корней нет

Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак.

Дополнительные уравнения:

а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2

Глава 2

ОДЗ. Зачем? Когда? Как?

Область допустимых значений - есть решение

ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений

= ОДЗ:

Ответ: корней нет.

= ОДЗ:

Ответ: корней нет.

0, уравнение не имеет корней

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) + =5; б) + =23х-18; в) =0.

В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

ОДЗ: х=2, х=3

Проверка: х=2, + , 0<1, верно

Проверка: х=3, + , 0<1, верно.

Ответ: х=2, х=3.

> ОДЗ: х=1,х=0

Проверка: х=0, > , 0>0, неверно

Проверка: х=1, > , 1>0, верно

Ответ: х=1.

+ =х ОДЗ: х=3

Проверка: + =3, 0=3, неверно.

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) = ; б) + =0; в) + =х -1

Опасность ОДЗ

Заметим, тождественные преобразования могут:

не влиять на ОДЗ;
приводить к расширенному ОДЗ;
приводить к сужению ОДЗ.

Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.

Давайте поясним каждый случай примером.

1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.

2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).

3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg

Область допустимых значений - есть решение [Электронный ресурс]/Режим доступа: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ОДЗ - область допустимых значений, как найти ОДЗ [Электронный ресурс]/Режим доступа: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Область допустимых значений: теория и практика [Электронный ресурс]/Режим доступа: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Что такое ОДЗ [Электронный ресурс]/ Режим доступа: www.cleverstudents.ru›odz.html

Что такое ОДЗ и как его искать - объяснение и пример. Электронный ресурс]/ Режим доступа: cos-cos.ru›math/82/

Приложение 1

Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Вариант 1	Вариант 2



│х+14│= 2 - 2х


	│3-х│=1 - 3х

Приложение 2

Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Вариант 1

Вариант 2

Ответ: корней нет

Ответ: х-любое число, кроме х=5

9х+ = +27 ОДЗ: х≠3

Ответ: корней нет

ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5.

у= -убывает,

у= -возрастает

Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6.

ОДЗ: → →х≥5

Ответ:х≥5, х≤-6.

│х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1

х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ

Убывает, -возрастает

Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет.

0, ОДЗ: х≥3,х≤2

Ответ: х≥3,х≤2

8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4.

Ответ: корней нет.

х=7, х=1. Ответ: решений нет

Возрастает, - убывает

Ответ: х=2.

0 ОДЗ: х≠15

Ответ: х- любое число, кроме х=15.

│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤

х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=-1.

Научный руководитель:

1. Введение 3

2. Исторический очерк 4

3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6

4. Особенности и опасность ОДЗ 7

5. ОДЗ – есть решение 8-9

6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа. Равносильность переходов 10-14

7. ОДЗ в ЕГЭ 15-16

8. Заключение 17

9. Литература 18

1. Введение

Цель: уметь анализировать ситуацию и делать логически корректные выводы в примерах, где нужно учесть ОДЗ.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал;

2. Прорешать множество уравнений, неравенств: а) дробно-рациональных; б) иррациональных; в) логарифмических; г) содержащих обратные тригонометрические функции;

3. Применить изученные материалы в ситуации, которая отличается от стандартной;

4. Создать работу по теме «Область допустимых значений: теория и практика»

Работа над проектом: работу над проектом я начала с повторения известных мне функций. Область определения многих из них имеет ограничения.

ОДЗ встречается:

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств

2. При решении иррациональных уравнений и неравенств

3. При решении логарифмических уравнений и неравенств

4. При решении уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), я систематизировала решение примеров по следующим принципам:

· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)

· можно решить пример, не учитывая ОДЗ

· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.

Методы, использованные в работе: 1) анализ; 2) статистический анализ; 3) дедукция; 4) классификация; 5) прогнозирование.

Изучила анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Это ещё раз подчёркивает актуальность моей темы.

2. Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797-1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

Областью определения (допустимых значений) функции у называется совокупность значений независимой переменной х, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента).

3. «Место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств знаменатель не должен равняться нулю.

2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width="107" height="27 src="> является система:

Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

3.1. Схема решения логарифмического уравнения

Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> равносильны уравнению

4. Особенности и опасность области допустимых значений

На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и все это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо известно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.

Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:

Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при решении этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия

В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .

А вот, например, решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя - достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.

Напомню, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ - это просто область определения функции в левой части. То, что за этой областью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым - из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему..gif" width="20" height="21 src="> имеет областью определения множество положительных чисел (это, конечно, договоренность - рассматривать функцию при, , но разумная), а тогда -1 не является корнем.

5. Область допустимых значений – есть решение

И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.

1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений.

1) 2) 3)

2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

1) , х=3

2) Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является корнем.

3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят.

4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1.

Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анализом самого выражения.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Из ОДЗ следует, что, откуда имеем ..gif" width="143" height="24"> Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.

Из ОДЗ имеем:https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, а значит, . Решая последнее неравенство, получим х<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

3) ОДЗ: . Так как, то

С другой стороны,https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).

На нем выполняются такие неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и решений нет. При функции и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ОДЗ: х>2..gif" width="233" height="45 src="> Найдём ОДЗ:

Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5. Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.

6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.

Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахождения ОДЗ.

Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выражения большее должно получатся отрицательное число.

2. .

Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицательной.

Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.

И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем самым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому я выберу только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому.

1.. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х, при которых х2=1, мы не можем получить х=0.

2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положительному числу.

3. . ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

ОДЗ не нужна, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функции, а потому не может быть отрицательным.

6. ..gif" width="271" height="51"> Для решения достаточно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.

8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

9. ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.

10. .gif" width="357" height="51"> ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

Стоит, однако, заметить, что при решении способом равносильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функций).

Вот несколько примеров.

1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, равносильное данному, в таком виде https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width="112" height="27"> ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.

3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Переход в общем виде выглядит так:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Возможны два случая: 0>1.

Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x<-1 – решение неравенства.

Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения:

Или

И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совершаются какие-то преобразования самого уравнения, но не используется при преобразованиях только в одной из частей. Сокращение, использование различных формул в одной из частей не попадают под действие теорем о равносильности. Некоторые примеры такого вида я уже приводила. Рассмотрим еще примеры.

1. Такое решение естественно. В левой части по свойству логарифмической функции перейдём к выражению ..gif" width="111" height="48">

Решив эту систему, мы получим результат (-2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число -2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при которых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> таким способом подстановке подлежат числа . Кому охота делать такие нудные выкладки?.gif" width="12" height="23 src="> добавить условие , и сразу видно, что этому условию отвечает только число https://pandia.ru/text/78/083/images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.

3) Рассмотрим, например, решение одной из задач С1: "Найдите все значения x, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции ". Задание сводится к решению дробного неравенства, содержащего логарифмическое выражение. Приемы решения таких неравенств нам известны. Самым распространенным из них является метод интервалов. Однако при его применении сдающие допускают разнообразные ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные ошибки на примере неравенства:

X < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Заключение

Подводя некоторый итог, можно сказать, что универсального метода решения уравнения и неравенств нет. Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает дилемма: а какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я думаю, что полученный мною опыт поможет мне решить эту дилемму. Я перестану делать ошибки, научившись правильно использовать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.

9. Литература

И др. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Просвещение», 2002. «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966. Газета «Математика» №46,Газета «Математика» №Газета «Математика» № «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982. и др. «Самое полное издание вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009/ФИПИ» - М.: «Астрель», 2009. и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009. и др. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: «Просвещение», 2007. , «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976. «25000 уроков математики». М.: «Просвещение», 1993. «Готовимся к олимпиадам по математике». М.: «Экзамен», 2006. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. Материалы сайтов www. *****, www. *****.