Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!
Начнем с простенького:
Минуууточку. это, а это значит, что мы можем записать вот так:
Усвоил? Вот тебе следующий:
Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот тебе такие примеры:
А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:
Теперь полностью самостоятельно:
Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!
Деление корней
С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.
Напомню, что формула в общем виде выглядит так:
А значит это, что корень из частного равен частному корней.
Ну что, давай разбираться на примерах:
Вот и вся наука. А вот такой пример:
Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.
А что, если попадется такое выражение:
Надо просто применить формулу в обратном направлении:
А вот такой примерчик:
Еще ты можешь встретить такое выражение:
Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!
Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.
Возведение в степень
А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа - это число, квадратный корень которого равен.
Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен, в квадрат, то что получаем?
Ну, конечно, !
Рассмотрим на примерах:
Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!
Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.
Почитай теорию по теме « » и тебе все станет предельно ясно.
Вот, к примеру, такое выражение:
В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:
Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:
Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:
А вот и ответы:
Внесение под знак корня
Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!
Это совсем легко!
Допустим, у нас записано число
Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!
Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:
Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.
Реши самостоятельно вот этот пример -
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:
Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному - рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!
Сравнение корней
Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?
Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)
Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!
Например, определи, что больше: или?
Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?
Тогда вперед:
Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!
Т.е. если, значит, .
Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!
Извлечение корней из больших чисел
До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!
Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:
Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.
Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:
Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:
А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):
Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!
Вот и все, не так все и страшно, правда?
Получилось? Молодец, все верно!
А теперь попробуй вот такой пример решить:
А пример-то - крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.
Ну что, начнем раскладывать на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на (вспоминаем признаки делимости):
А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):
Ну что, получилось? Молодец, все верно!
Подведем итоги
- Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен.
. - Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
- Свойства арифметического корня:
- При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Как тебе квадратный корень? Все понятно?
Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.
Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.
Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.
Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!
Факт 1.
\(\bullet\)
Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\)
(то есть \(a\geqslant 0\)
). Тогда (арифметическим) квадратным корнем
из числа \(a\)
называется такое неотрицательное число \(b\)
, при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\)
: \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\]
Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\)
. Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\)
и \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
.
\(\bullet\)
Чему равен \(\sqrt{25}\)
? Мы знаем, что \(5^2=25\)
и \((-5)^2=25\)
. Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\)
не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\)
(так как \(25=5^2\)
).
Нахождение значения \(\sqrt a\)
называется извлечением квадратного корня из числа \(a\)
, а число \(a\)
называется подкоренным выражением.
\(\bullet\)
Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\)
, \(\sqrt{-4}\)
и т.п. не имеют смысла.
Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\)
до \(20\)
: \[\begin{array}{|ll|}
\hline
1^2=1 & \quad11^2=121 \\
2^2=4 & \quad12^2=144\\
3^2=9 & \quad13^2=169\\
4^2=16 & \quad14^2=196\\
5^2=25 & \quad15^2=225\\
6^2=36 & \quad16^2=256\\
7^2=49 & \quad17^2=289\\
8^2=64 & \quad18^2=324\\
9^2=81 & \quad19^2=361\\
10^2=100& \quad20^2=400\\
\hline \end{array}\]
Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\)
Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть
\[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\]
Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\)
, то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\)
и \(\sqrt{49}\)
, а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\]
Если значения \(\sqrt a\)
или \(\sqrt b\)
при сложении \(\sqrt
a+\sqrt b\)
найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt
2+ \sqrt {49}\)
мы можем найти \(\sqrt{49}\)
– это \(7\)
, а вот \(\sqrt
2\)
никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt
2+7\)
. Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
\(\bullet\)
Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad
\sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\]
(при условии, что обе части равенств имеют смысл
)
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot
2}=\sqrt{64}=8\)
;
\(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\)
;
\(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}=
5\cdot 8=40\)
.
\(\bullet\)
Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\)
. Так как \(44100:100=441\)
, то \(44100=100\cdot 441\)
. По признаку делимости число \(441\)
делится на \(9\)
(так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\)
, то есть \(441=9\cdot 49\)
.
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}=
\sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\]
Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}=
\sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{
\dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot
\sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\)
Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\)
(сокращенная запись от выражения \(5\cdot
\sqrt2\)
). Так как \(5=\sqrt{25}\)
, то \
Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\)
,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)
.
Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .
Факт 4.
\(\bullet\)
Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \)
корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\)
можно, потому что \(16=4^2\)
, поэтому \(\sqrt{16}=4\)
. А вот извлечь корень из числа \(3\)
, то есть найти \(\sqrt3\)
, нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\)
.
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\)
и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\)
(число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)
), \(e\)
(это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)
) и т.д.
\(\bullet\)
Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел.
Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\)
.
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
Факт 5.
\(\bullet\)
Модуль вещественного числа \(a\)
– это неотрицательное число \(|a|\)
, равное расстоянию от точки \(a\)
до \(0\)
на вещественной прямой. Например, \(|3|\)
и \(|-3|\)
равны 3, так как расстояния от точек \(3\)
и \(-3\)
до \(0\)
одинаковы и равны \(3\)
.
\(\bullet\)
Если \(a\)
– неотрицательное число, то \(|a|=a\)
.
Пример: \(|5|=5\)
; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)
.
\(\bullet\)
Если \(a\)
– отрицательное число, то \(|a|=-a\)
.
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\)
; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
.
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\)
, модуль оставляет без изменений.
НО
такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\)
(или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\)
, про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\)
.
\(\bullet\)
Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\]
\[{\large{(\sqrt{a})^2=a}},
\text{ при условии } a\geqslant 0\]
Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\)
и \((\sqrt a)^2\)
– одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\)
– положительное число или ноль. А вот если \(a\)
– отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\)
число \(-1\)
. Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\)
, а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\)
вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\)
не равен \((\sqrt a)^2\)
!
Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\)
, т.к. \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom{00000}\)
2) \((\sqrt{2})^2=2\)
.
\(\bullet\)
Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\)
, то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\]
(выражение \(2n\)
обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\)
(заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\)
; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\)
(так как любое число в четной степени неотрицательно)
Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\)
Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) сравним \(\sqrt{50}\)
и \(6\sqrt2\)
. Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\)
. Таким образом, так как \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\)
?
Так как \(\sqrt{49}=7\)
, \(\sqrt{64}=8\)
, а \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Сравним \(\sqrt 2-1\)
и \(0,5\)
. Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\)
: \[\begin{aligned}
&\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\\
&\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в
квадрат)}\\
&2>1,5^2\\
&2>2,25 \end{aligned}\]
Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\)
Следует запомнить, что \[\begin{aligned}
&\sqrt 2\approx 1,4\\
&\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\]
Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
\(\bullet\)
Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\)
. Мы знаем, что \(100^2=10\,000\)
, \(200^2=40\,000\)
и т.д. Заметим, что \(28224\)
находится между \(10\,000\)
и \(40\,000\)
. Следовательно, \(\sqrt{28224}\)
находится между \(100\)
и \(200\)
.
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\)
и \(130\)
). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\)
, \(12^2=144\)
и т.д., тогда \(110^2=12100\)
, \(120^2=14400\)
, \(130^2=16900\)
, \(140^2=19600\)
, \(150^2=22500\)
, \(160^2=25600\)
, \(170^2=28900\)
. Таким образом, мы видим, что \(28224\)
находится между \(160^2\)
и \(170^2\)
. Следовательно, число \(\sqrt{28224}\)
находится между \(160\)
и \(170\)
.
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\)
? Это \(2^2\)
и \(8^2\)
. Следовательно, \(\sqrt{28224}\)
будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\)
и \(168^2\)
:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\)
.
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\)
. Вуаля!
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Теория
Сложение и вычитание корней изучается во вводном курсе математики. Будем считать, что читателю известно понятие степени.
Определение 1
Корень степени $n$ из действительного числа $a$ - это действительное число $b$, $n$-ая степень которого равна $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Здесь $a$ - подкоренное выражение, $n$ - показатель корня, $b$ - значение корня. Знак корня называют радикалом.
Обратным действию извлечения корня является возведение в степень.
Основные действия с арифметическими корнями:
Рисунок 1. Основные действия с арифметическими корнями. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Как мы видим, в перечисленных действиях нет формулы для сложения и вычитания. Эти действия с корнями производятся в виде преобразований. Для этих преобразований следует использовать формулы сокращённого умножения:
$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$
$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt{a^2}+\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})=a-b;$
$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt{a^2}-\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})=a+b;$
$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b);$
$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$
Стоит заметить, что действия сложения и вычитания встречаются в примерах иррациональных выражений: $ab\sqrt{m-n}; 1+\sqrt3.$
Примеры
Рассмотрим на примерах случаи, когда применимо "уничтожение" иррациональности в знаменателе. Когда в результате преобразований иррациональное выражение получилось и в числителе, и в знаменателе, то нужно "уничтожить" иррациональность в знаменателе.
Пример 1
$\frac{1}{\sqrt7-\sqrt6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{7-6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{1}=\sqrt7+\sqrt6.$
В этом примере мы умножили числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Таким образом, в знаменателе выполнено преобразование по формуле разности квадратов.
Сложение и вычитание корней - один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе. Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика».
Для того чтобы освоить решение таких примеров, необходимо две вещи - разобраться в правилах, а также наработать практику. Решив один-два десятка типовых примеров, школьник доведет этот навык до автоматизма, и тогда ему уже будет нечего бояться на ЕГЭ. Начинать освоение арифметических действий рекомендуется со сложения, потому что складывать их немного проще, чем вычитывать.
Что такое корень
Проще всего объяснить это на примере квадратного корня. В математике имеется устоявшийся термин «возвести в квадрат». «Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя . Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49. Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 - это 2, из 49 - это 7, а из 81 - это 9.
Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней. Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения. Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике.
Корни бывают следующих типов:
- квадратные;
- кубические (или так называемые третьей степени);
- четвертой степени;
- пятой степени.
Правила сложения
Для того чтобы успешно решить типовой пример, необходимо иметь в виду, что не все корневые числа можно складывать друг с другом . Чтобы их можно было сложить, их необходимо привести к единому образцу. Если это невозможно, значит, задача не имеет решения. Такие задачи тоже часто встречаются в учебниках математики в качестве своеобразной ловушки для учащихся.
Не разрешается сложение в заданиях, когда подкоренные выражения отличаются друг от друга. Это можно проиллюстрировать на наглядном примере:
- перед учеником стоит задача: сложить квадратный корень из 4 и из 9;
- неопытный ученик, не знающий правила, обычно пишет: «корень из 4 + корень из 9=корень из 13».
- доказать, что этот способ решения неправильный, очень просто. Для этого нужно найти квадратный корень из 13 и проверить, верно ли решен пример;
- с помощью микрокалькулятора можно определить, что он составляет примерно 3,6. Теперь осталось проверить решение;
- корень из 4=2, а из 9=3;
- Сумма чисел «два» и «три» равняется пяти. Таким образом, данный алгоритм решения можно считать неверным.
Если корни имеют одинаковую степень, но разные числовые выражения, он выносится за скобки, а в скобки вносится сумма двух подкоренных выражений . Таким образом, он извлекается уже из этой суммы.
Алгоритм сложения
Для того чтобы правильно решить простейшую задачу, необходимо:
- Определить, что именно требуют сложения.
- Разобраться, можно ли складывать значения друг с другом, руководствуясь существующими в математике правилами.
- Если они не подлежат сложению, нужно трансформировать их таким образом, чтобы их можно было складывать.
- Осуществив все необходимые преобразования, необходимо выполнить сложение и записать готовый ответ. Производить сложение можно в уме или с помощью микрокалькулятора, в зависимости от сложности примера.
Что такое подобные корни
Чтобы правильно решить пример на сложение, необходимо, в первую очередь, подумать о том, как можно его упростить. Для этого нужно обладать базовыми знаниями о том, что такое подобие.
Умение определять подобные помогает быстро решать однотипные примеры на сложение, приводя их в упрощенный вид. Чтобы упростить типовой пример на сложение, необходимо:
- Найти подобные и выделить их в одну группу (или в несколько групп).
- Заново написать имеющийся пример таким образом, чтобы корни, которые имеют один и тот же показатель, шли четко друг за другом (это и называется «сгруппировать»).
- Далее следует еще раз написать выражение заново, на этот раз таким образом, чтобы подобные (у которых один и тот же показатель и одна и та же подкоренная цифра) тоже шли друг за другом.
После этого упрощенный пример обычно легко поддается решению.
Для того, чтобы правильно решить любой пример на сложение, необходимо четко представлять себе основные правила сложения, а также знать о том, что такое корень и каким он бывает.
Иногда такие задачи с первого взгляда выглядят очень сложно, но обычно они легко решаются путем группировки подобных. Самое главное - практика, и тогда ученик начнет «щелкать задачи, как орешки». Сложение корней - один из самых важных разделов математики, поэтому учителя должны отводить достаточно времени на его изучение.
Видео
Разобраться в уровнениях с квадратными корнями вам поможет это видео.
В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.
Шаги
Часть 1 из 2: Определение корнейОбозначение корней. Выражение под знаком корня () означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.
- Корень обозначают знаком.
- Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: (27)
- Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
- Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5 (2)
- Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
- Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.
Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя. Так же, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b 4ab, вы не можете складывать разные корни.
Определите и сгруппируйте подобные корни.
Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)
- Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81) - Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
Упростите корни. Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.
Сложите множители подобных корней. В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет.
- Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.
Внимание, только СЕГОДНЯ!
Все интересное
Число, которое находится под знаком корня, часто мешает решению уравнения, с ним неудобно работать. Даже если оно возведено в степень, дробно или не может быть представлено в виде целого числа в определенной степени, можно попытаться вывести его из…
Корнем из числа x называется такое число, которое при возведении в степень корня будет равно x. Множителем называется умножаемое число. То есть, в выражении вида x*ª-&radic-y нужно внести x под корень. Инструкция 1Определите степень…
Если подкоренное выражение содержит набор математических действий с переменными, то иногда в результате его упрощения есть возможность получить относительно простое значение, часть которого можно вынести из под корня. Бывает полезно такое упрощение…
Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала…
Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания. Инструкция …
Корень в математике может иметь два значения: это арифметическое действие и каждое из решений уравнения, алгебраического, параметрического, дифференциального или любого другого. Инструкция 1Корень n-ной степени из числа a - это такое число, что…
При выполнении различных арифметических действий с корнями часто бывает необходимо умение преобразовывать подкоренные выражения. Для упрощения расчетов может понадобиться вынести множитель за знак радикала или внести под него. Это действие можно…
Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют…
Знаком корня в математических науках называется условное обозначение для корней. Число, находящееся под знаком корня, называется подкоренным выражением. При отсутствии показателя степени корень является квадратным, в противном случае цифра указывает…
Арифметическим корнем n-й степени из действительного числа a называют такое неотрицательное число x, n-я степень которого равна числу a. Т.е. (n) a = x, x^n = a. Существуют различные способы сложения арифметического корня и рационального числа.…
Корнем n-ой степени из действительного числа a называется такое число b, для которого выполняется равенство b^n = a. Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени - только для положительных.…