Дифференциал функции

Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E , если ее приращение Δf (x 0), соответствующее приращению аргумента x , может быть представлено в виде

Δf (x 0) = A (x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

где ω (x - x 0) = о (x - x 0) при x → x 0 .

Отображение , называется дифференциалом функции f в точке x 0 , а величина A (x 0)h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df (x 0), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df (x 0) = A (x 0)h .

Разделив в (1) на x - x 0 и устремив x к x 0 , получим A (x 0) = f" (x 0). Поэтому имеем

df (x 0) = f" (x 0)h . (2)

Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df (x 0) (при f" (x 0) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x 0 , линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x 0 .

Критерий дифференцируемости функции

Для того чтобы функция f являлась дифференцируемой в данной точке x 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x 0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df (x 0) = f" (x 0)dx . (3)

Если x = φ (t ) - дифференцируемая функция, то dx = φ" (t 0)dt . Следовательно,

По определению дифференциал (первый дифференциал) функции вычисляется по формуле
если– независимая переменная.

ПРИМЕР .

Покажем, что форма первого дифференциала остается неизменной (является инвариантной) и в том случае, когда аргумент функции сам является функцией, то есть для сложной функции
.

Пусть
дифференцируемы, тогда по определению

Кроме того, что и требовалось доказать.

ПРИМЕРЫ .

Доказанная инвариантность формы первого дифференциала позволяет считать, что
то естьпроизводная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента , независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией.

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть Если функция
имеет на множествеобратную, то
Тогда равенства
определяют на множествефункцию, заданную параметрически, – параметр (промежуточная переменная).

ПРИМЕР . Построить график функции
.

y О 1 x

Построенная кривая называется циклоидой (рис. 25) и является траекторией точки на окружности радиуса 1, которая катится без скольжения вдоль оси ОХ.

ЗАМЕЧАНИЕ . Иногда, но не всегда, из параметрических уравнений кривой можно исключить параметр.

ПРИМЕРЫ .
– параметрические уравнения окружности, так как, очевидно,

–параметрические уравнения эллипса, так как

–параметрические уравнения параболы

Найдем производную функции, заданной параметрически:

Производная функции, заданной параметрически, – также функция, заданная параметрически: .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Второй производной функции называется производная от ее первой производной.

Производной -го порядка называется производная от ее производной порядка
.

Обозначают производные второго и -го порядка так:

Из определения второй производной и правила дифференцирования параметрически заданной функции следует, что
Для вычисления третьей производной надо представить вторую производную в виде
и воспользоваться еще раз полученным правилом. Производные старших порядков вычисляются аналогично.

ПРИМЕР . Найти производные первого и второго порядков функции

.

Основные теоремы дифференциального исчисления

ТЕОРЕМА (Ферма). Пусть функция
имеет в точке
экстремум. Если существует
, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть
, например, – точка минимума. По определению точки минимума существует окрестность этой точки
, в пределах которой
, то есть
– приращение
в точке
. По определению
Вычислим односторонние производные в точке
:

по теореме о предельном переходе в неравенстве,

так как

, так как
Но по условию
существует, поэтому левая производная равна правой, а это возможно лишь если

Предположение о том, что
– точка максимума, приводит к тому же.

Геометрический смысл теоремы:

ТЕОРЕМА (Ролля). Пусть функция
непрерывна
, дифференцируема
и
тогда существует
такая, что

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Так как
непрерывна
, то по второй теореме Вейерштрасса она достигает на
своих наибольшего
и наименьшего
значений либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

1. Пусть
, тогда

2. Пусть
Так как
то либо
, либо
достигается в точке экстремума
, но по теореме Ферма
Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА (Лагранжа). Пусть функция
непрерывна
и дифференцируема
, тогда существует
такая, что
.

Геометрический смысл теоремы:

Так как
, то секущая параллельна касательной. Таким образом, теорема утверждает, что существует касательная, параллельная секущей, проходящей через точки А и В.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Через точки А
и В
проведем секущую АВ. Ее уравнение
Рассмотрим функцию

–расстояние между соответствующими точками на графике и на секущей АВ.

1.
непрерывна
как разность непрерывных функций.

2.
дифференцируема
как разность дифференцируемых функций.

3.

Значит,
удовлетворяет условиям теоремы Ролля, поэтому существует
такая, что

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формула называетсяформулой Лагранжа .

ТЕОРЕМА (Коши). Пусть функции
непрерывны
, дифференцируемы
и
, тогда существует точка
такая, что
.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Покажем, что
. Если бы
, то функция
удовлетворяла бы условию теоремы Ролля, поэтому существовала бы точка
такая, что
– противоречие условию. Значит,
, и обе части формулы определены. Рассмотрим вспомогательную функцию.

непрерывна
, дифференцируема
и
, то есть
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Тогда существует точка
, в которой
, но

что и требовалось доказать.

Доказанная формула называется формулой Коши .

ПРАВИЛО Лопиталя (теорема Лопиталя-Бернулли). Пусть функции
непрерывны
, дифференцируемы
,
и
. Кроме того, существует конечный или бесконечный
.

Тогда существует

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Так как по условию
, то доопределим
в точке
, полагая
Тогда
станут непрерывными
. Покажем, что

Предположим, что
тогда существует
такая, что
, так как функция
на
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Но по условию
– противоречие. Поэтому

. Функции
удовлетворяют условиям теоремы Коши на любом отрезке
, который содержится в
. Напишем формулу Коши:

,
.

Отсюда имеем:
, так как если
, то
.

Переобозначая переменную в последнем пределе, получим требуемое:

ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, когда
и
. Оно позволяет раскрывать не только неопределенность вида, но и вида:

.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Если после применения правила Лопиталя неопределенность не раскрылась, то его следует применить еще раз.

ПРИМЕР .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 . Правило Лопиталя – универсальный способ раскрытия неопределенностей, но существуют пределы, раскрыть которые можно, применив лишь один из изученных ранее частных приемов.

Но, очевидно,
, так как степень числителя равна степени знаменателя, и предел равен отношению коэффициентов при старших степенях

Выражение полного дифференциала функции нескольких переменных имеет тот же вид вне зависимости от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями других независимых переменных.

Доказательство опирается на формулу полного дифференциала

Что и требовалось доказать.

5.Полная производная функции - производная функции по времени вдоль траектории. Пусть функция имеет вид и ее аргументы зависят от времени: . Тогда , где - параметры задающие траекторию. Полная производная функции (в точке ) в таком случае равна частной производной по времени (в соответствующей точке ) и может быть вычислена по формуле:

где - частные производные. Следует отметить, что обозначение является условным и не имеет отношения к делению дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Например, полная производная функции :

Здесь нет так как сама по себе («явно») не зависит от .

Полный дифференциал

Полный дифференциал

функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных - выражение

в случае, когда оно отличается от полного приращения

Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)

на величину, бесконечно малую по сравнению с

Касательная плоскость к поверхности

(X, Y, Z - текущие координаты точки на касательной плоскости; - радиус-вектор этой точки; x, y, z - коодинаты точки касания (соответственно для нормали); - касательные векторы к координатным линиям соответственно v = const; u = const; )

1.

2.

3.

Нормаль к поверхности

3.

4.

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение Dy ее представимо в виде

D y = f"(x)D x +a (D x) D x,

где первое слагаемое линейно относительно Dx, а второе является в точке Dx = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем Dx. Если f"(x)№ 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения Dy. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента Dx и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f"(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Определение 5 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно Dx часть приращения Dy, равная произведению производной на приращение независимой переменной

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = Dx. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f"(x)dx. (4)

Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f"(x) = tgf. Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtgf = D xtg f = f"(x)D x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение Dx.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме (3) равна y" = f"(u)· u". Тогда дифференциал функции

dy = f"(x)dx = f"(u)u"dx = f"(u)du,

так как u"dx = du. То есть dy = f"(u)du. (5)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx = Dx, а в формуле (5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.

Интегральное исчисление - раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей

Правило дифференцирования сложной функции приведет нас к одному замечательному и важному свойству дифференциала.

Пусть функции таковы, что из них может быть составлена сложная функция: . Если существуют производные то - по правилу V - существует и производная

Заменяя, однако, производную ее выражением (7) и замечая, что есть дифференциал х как функции от t, окончательно получим:

т. е. вернемся к прежней форме дифференциала!

Таким образом, мы видим, что форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой. Мы всегда имеем право писать дифференциал у в форме (5), будет ли х независимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано t, то означает не произвольное приращение а дифференциал х как функции от Это свойство и называют инвариантностью формы дифференциала.

Так как из формулы (5) непосредственно получается формула (6), выражающая производную через дифференциалы то и последняя формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной (конечно, одной и той же в обоих случаях) ни были вычислены названные дифференциалы.

Пусть, например, так что

Положим теперь Тогда и мы будем иметь: Легко проверить, что формула

дает лишь другое выражение для вычисленной выше производной.

Этим обстоятельством особенно удобно пользоваться в случаях, когда зависимость у от х не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных х и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называемой параметром):

Предполагая, что обе эти функции имеют производные и что для первой из них существует обратная функция имеющая производную , легко видеть, что тогда и у оказывается функцией от х:

для которой также существует производная. Вычисление этой производной может быть выполнено по указанному выше правилу:

не восстанавливая непосредственной зависимости у от х.

Например, если производную можно определить, как это сделано выше, не пользуясь вовсе зависимостью .

Если рассматривать х и у как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (8) каждому значению параметра t ставят в соответствие некоторую точку, которая с изменением t описывает кривую на плоскости. Уравнения (8) называются параметрическими уравнениями этой кривой.

В случае параметрического задания кривой, формула (10) позволяет непосредственно по уравнениям (8) установить угловой коэффициент касательной, не переходя к заданию кривой уравнением (9); именно,

Замечание. Возмохсность выражать производную через дифференциалы, взятые по любой переменной, в частности, приводит к тому, что формулы

выражающие в лейбницевых обозначениях правила дифференцирования обратной функции и сложной функции, становятся простыми алгебраическими тождествами (поскольку все дифференциалы здесь могут быть взяты по одной и той же переменной). Не следует думать, впрочем, что этим дан новый вывод названных формул: прежде всего, здесь не доказывалось существование производных слева, главное же - мы существенно пользовались инвариантностью формы дифференциала, которая сама есть следствие правила V.

Если дифференцируемая функция независимых переменных а ее полный дифференциал dz равен Пусть теперь Предположим, что в точке ({,?/) функции »?) и г)) имеют непрерывные частные производные по (и по rf, а в соответствующей точке (ж, у) существуют и непрерывны частные производные и вследствие чего функция г = f(x, у) дифференцируема в этой точке. При этих условиях функция имеет в точке 17) производные Дифференциал сложной функции Инвариантность формы дифференциала Неявные функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательная плоскость поверхности Геометрический смысл полного дифференциала Нормаль к поверхности Как видно из формул (2), щ и щ непрерывны в точке ({,*?). Поэтому функция в точке дифференцируема, примем согласно формуле полного дифференциала для функции от независимых переменных £ и т], имеем Заменив в правой части равенства (3) щ и щ их выражениями из формул (2), получим или как по условию функции в точке ({,17) имеют непрерывные частные производные, то они в этой точке дифференцируемы и Из соотношений (4) и (5) получаем, что Сравнение формул (1) и (6) показывает, что полный дифференциал функции z = /(я, у) выражается формулой одного и того же вида как в случае, когда аргументы х и у функции /(г, у) являются независимыми переменными, так и в случае, когда эти аргументы являются в свою очередь функциями от некоторых переменных. Таким образом, полный дифференциал функции нескольких переменных обладает свойством инвариантности формы. Замечание. Из инвариантности формы полного дифференциала следует: еслнх и у являются дифференцируемыми функциями какого угодно конечного числа переменных то остаются в силе формулы Пусть имеем уравнение где есть функция двух переменных, заданная в некоторой области G на плоскости хОу. Если для каждого значения х из некоторого интервала (хо - Ло, хо + ^о) существует ровно одно значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению (1), то этим определяется функция у = у(х), для которой равенство выпсишяется тождественно по х в указанном интервале. В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет величину у как неявную функцию х. Иными словами, функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно у, называется неявной функцией", она становится явной, если зависимость у от х задается непосредственно. Примеры. 1. Уравнение определяет на всей OcW рх величину у как однозначную функцию х: 2. Уравнением величина у определяется как однозначная функция х. Проиллюстрируем это утверждение. Уравнение удовлетворяется парой значений х = 0, у = 0. Будем считать * параметром и рассмотрим функции. Вопросо том, существует ли для выбранного хо соответств ующее единственное значение Уо таков, что пара (удовлетворяет уравнению (2), сводится к тому, пересеяв стоя ли кривые х а у и единственной точке. Построим их графики на плоскости хОу (рис.11). Кривая » = х + с sin у, где х рассматривается как параметр, получается параллельным переносом вдоль оси Ох иривой г = г sin у. Геометрически очевидно, что при всяком х кривые х = у и г = t+c $1пу имеют единствен»ую точку пересечения, ор-динвтв у которой является функцией от х, определяемой уравнением (2) неявно. Через элементарные функции эта зависимость не выражаетоя. 3. Уравнение ни при каких действительных х не определяет у квк действительную функцию аргументе х. В таком же смысле можно говорить о неявных функциях нескольких переменных. Следующая теорема дает достаточные условия однозначной разрешимости уравнения = 0 (1) относительно у в некоторой окрестности задан ной точки (®о> Уо). Теореме 8 (существомкм неявной функции). Пусть выполнены следующие условия: 1) функция определено и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке в точке функция у) обращается в н\ль, 3) в прямоугольнике D существуют и непрерывны частные производные 4) У) Гогда любого достаточно ма/юео положительного числа е найдется окрестность этой окрестности существует единственная^ непрерывная функция y = f(x) (рис. 12), которая принимает значение), удовлетворяет умовию \y - yol и обращает уравнение (1) в тождество: Эта функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки Xq, причем Выведем формулу (3) для производной неявной функции, считая существование этой производной доказанным. Пусть у = f(x) - неявная дифференцируемая функция, определяемая уравнением (1). Тогда в интервале) имеет место тождество Дифференциал сложной функции Инвариантность формы дифференциала Неявные функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательная плоскость поверхности Геометрический смысл полного дифференциала Нормаль к поверхности вследствие него в этом интервале Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем Единственная в том смысле, чтолюбаяточка (х, у), лежащая на кривой принадлежащая окрестности точки (хо, уо)» имеет координаты, связанные уравнением Отсюда при у = f(x) получаем, что и, значит, Пример. Найти j* от функции у = у(х), определяемой уравнением В данном случае Отсюда в силу формулы (3) Замечание. ТеорсмаЗдастусловиядлясуществования единственной неявной функции, графиккоторой проходит через заданную точку (хо, уо). достаточные, но не необходимые. В само^деле, рассмотрим уравнение Здесь имеет непрерывные частные производные равна нулю в точке 0(0,0). Тем не менее, данное уравнение имеетединственное решение равное нулю при Задача. Пусть дано уравнение - однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (Г). 1) Сколько однозначных функций (2") удовлетворяет уравнению (!")? 2) Сколько однозначных непрерывных функций удовлетворяет уравнению (!")? 3) Сколько однозначйых дифференцируемых фуисций удовлетворяет уравнению {!")? 4) Сколько однозначных непрерывных функций, удовлетворяет" уравнению (1"), если и достаточно мало? Теорема существования, аналогичная теореме 8, имеет место и в случае неявной функции z - z(x, у) двух переменных, определяемой уравнением Теорема 9. Пусть выполнены следующие условияГ) функция & определена и непрерывна в области D в области D существуют и непрерывны частные производные Тогда для любого достаточно малого е > О найдется окрестность Г2 точки (®о»Уо)/ в которой существует единственная непрерывная функция z - /(ж, у), принимающая значение при х = ж0, у = уо, удовлетворяющая условию и обращающая уравнение (4) в тождество: При этом функция в области Q имеет непрерывные частные производные иГГ Найдем выражения для этих производных. Пусть уравнение определяет z как однозначную и дифференцируемую функцию z = /(ж, у) независимых переменных хну. Если в это уравнение вместо z подставить функцию f(x, у), то получим тождество Следовательно, полные частные производные по ж и по у функции у, z), где z = /(г, у), также долкны быть равны нулю. Дифференцируя, найдем откуда Эти формулы дают выражения для частных производных неявной функциидвух независимых переменных. Пример. Найти частные проиааодныа от функции х(г,у), заданной уравнением 4 Имеем откуда §11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 11.1. Предварительные сведения Пусть имеем поверхность S, заданную уравнением Определен*. Точка М(х, у, z) поверхности (1) называется обыкновенной точкой этой поверхност и, если в точке М все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля. Если в точке Му, z) поверхности (1) все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Пример. Рассмотрим круговой конус (рис. 13). Здесь так что Единственной особой тонкой мляется начало координат 0(0,0,0): в этой точка аса частные производные одновременно обращаются в нуль. Рис. 13 Рассмотрим пространственную кривую L, заданную параметрическими уравнение ями, Пусть функции имеют непрерывные производные в интервале. Исключим из рассмотрения особые точки кривой, в которых Пусть - обыкновенная точка кривой L, определяемая значением to параметра. Тогда - вектор касательной к кривой в точке. Касательная плоскость поверхности Пусть поверхность 5 задана уравнением Возьмем на поверхности S обыкновенную точку Р и проведем через нее некоторую кривую L, лежащую на поверхности и задаваемую параметрическими уравнениями Предположим, что функции £(*), »/(0» С(0 имеют непрерывные производные, нигде на (а}р) не обращающиеся одновременно в нуль. По определению, касательная кривой L в точке Р называется касатыьной к поверхности 5 в этой точке. Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то, поскольку кривая L лежит на поверхности S, уравнение (1) обратится в тождество относительно t: Дифференцируя это тождество по t, по правилу дифференцирования сложной функции получим Выражение в левой части (3) является скалярным произведением двух векторов: В точке P вектор г направлен по касательной к кривой L в этой точке (рис. 14). Что касается вектора п, то он зависит только от координат этой точки и вида функции ^"(ж, у, z) и не зависит от вида кривой, проходящей через точку Р. Так как Р - обыкновенная точка поверхности 5, то длина вектора п отлична от нуля, То, что скалярное произведение означает, что вектор г, касательный к кривой L в точке Р, перпендикулярен вектору п в этой точке (рис. 14). Эти рассуждения сохраняют свою силу для любой кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности S. Следовательно, любая касательная прямая к поверхности 5 в точке Р перпендикулярна вектору п, и, значит, все эти прямые лежат в одной плоскости, тоже перпендикулярной вектору п. Определение. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к поверхности 5, проходящие через данную обыкновенную точку Р G 5, называется касательной плоскостью поверхности в точке Р (рис. 15). Вектор Дифференциал сложной функции Инвариантность формы дифференциала Неявные функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательная плоскость поверхности Геометрический смысл полного дифференциала Нормаль к поверхности есть нормальный вектор касательной плоскости к поверхности в точке Р. Отсюда сразу получаем уравнение касательной плоскости к поверхности ЗГ(в обыкновенной точке Р0(®о, Уо» этой поверхности: Если поверхность 5 задана уравнением то, записав это уравнение в виде получим и уравнение касательной плоскости в точке, будет выгл -деть так 11.3. Геометрический смысл полного дифференциала Если в формуле (7) положить, то она примет вид Права часть (8) представляет собой полный дифференциал функции z в точке М0(х0) уо) на плоскости хОу> так что Таким образом, полный дифференциал функции z = /(х, у) двух независимых переменных х и у в точке М0, отвечающий приращениям Дх и Ду переменных и у, равен приращению z - z0 аппликаты z точки касательной плоскости поверхности 5 в точке Я>(хо» Уо» /(, Уо)) ПРИ переходе от точки М0(хо, Уо) к точке - 11.4. Нормаль к поверхности Определение. Прямая, проходящая через точку Ро(хо, уо, го) поверхности перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке Ро, называется нормалью к поверхности в точке Pq. Вектор)L является направляющим вектором нормали, а ее уравнения имеют вид Если поверхность 5 задана уравнением, то уравнения нормали в точке) выглядят так: в точке Здесь В точке (0,0) зти производные равны нулю: и уравнение касательной плоскости в точке 0(0,0,0) принимает следующий вид: (плоскость хОу). Уравнения нормали