Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума
функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x) Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума
функции `f`. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 5.1 (Ферма)
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`. Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна. Замечание. Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими
.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие. Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой. Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`. 1) Функция `y=f(x)` возрастает
2) Функция `y=f(x)` убывает
на `I`, если для любых `x,yinI`, `x Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна
на промежутке `I`. Условия монотонности
. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Условия экстремума
. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`. Пример 5.1 Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения. Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет. Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример 5.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``. а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Замечание Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Пример 5.3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`. Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: `y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Теорема.
Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю). Теорема.
Пусть функции u
= φ
(x
) непрерывна в точке х
0 , а функция y
= f
(u
) непрерывна в точке u
0 = φ
(х
0). Тогда сложная функция f
(φ
(x
)) состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x
0 . Теорема.
Если функция у
= f
(х
) непрерывна и строго монотонна на [а
; b
] оси Ох
, то обратная функция у
= φ
(х
) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c
;d
] оси Оу
(без доказательства). Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств. Теорема (Вейерштрасса)
. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Изображенная на рисунке 5 функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [а
; b
], принимает свое наибольшее значение М
в точке x
1 , а наименьшее m -
в точке х
2 . Для любого х
[а
; b
] имеет место неравенство m
≤ f
(x
) ≤ М
. Следствие.
Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема (Больцано - Коши).
Если функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [a
; b
] и принимает на его концах неравные значения f
(a
) = A
и f
(b
) = =В
, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А
и В
. Геометрически теорема очевидна (см. рис. 6). Для любого числа С
, заключенного между А
и В
, найдется точка с
внутри этого отрезка такая, что f
(с
) = С
. Прямая у
= С
пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Следствие.
Если функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [а
; b
] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а
; b
] найдется хотя бы одна точка с
, в которой данная функция f
(x
) обращается в нуль: f
(с
) = 0. Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох
на другую, то он пересекает ось Ox
(см. рис. 7). Рис. 7. С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X
, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X
может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком . В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x)
. Навигация по странице.
Кратко остановимся на основных определениях. Наибольшим значением функции
, что для любого справедливо неравенство . Наименьшим значением функции
y=f(x)
на промежутке X
называют такое значение , что для любого справедливо неравенство . Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе . Стационарные точки
– это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль. Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X
в одной из стационарных точек из этого промежутка. Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена. Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X
совпадают с границами области определения функции или интервал X
бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции. Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится. На отрезке
На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]
. Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на
. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала. На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2]
являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции. На открытом интервале
На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6)
. На интервале
, о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя. На бесконечности
В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y
) в стационарной точке с абсциссой x=1
, а наименьшее значение (min y
) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3
. На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2
справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2
является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3
. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8. Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по : Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков
и [-4;-1]
.
Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2
. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок
.
Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
: Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1
, а наименьшее значение – при x=2
.
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки): Решение.
Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль: Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.
Продифференцируем функцию: Очевидно, производная существует на всей области определения функции.
Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1]
и (-3;2)
.
А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.
На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов. Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении. См. также:
Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы
Определение функции, непрерывной на отрезке
Определение достижимости максимума (минимума)
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция .
На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани: Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани. Эта теорема означает, что существуют такие точки и ,
принадлежащие отрезку :
,
значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням: Использованная литература: Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.). Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения. Свойства функций, непрерывных на отрезке: функция непрерывность точка отрезок Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно: 1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке. 2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а. 3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. . Точки разрыва функции классифицируются следующим образом. Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке. Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но. Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности. Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б) Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке: Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: Для точки находим.Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
.
Определения и теоремы
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a
и b
,
соответственно.Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке ,
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
для всех .
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
.
,
то .
Если ,
то .
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и ,
принадлежащие ,
значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: ,
а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку ,
то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .
Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть C
есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и .
Тогда существует точка ,
для которой
.
непрерывна на отрезке .
И пусть .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.Точки разрыва функции и их классификация