О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.
Взаимное расположение двух прямых
Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :
1) совпадать;
2) быть параллельными: ;
3) или пересекаться в единственной точке: .
Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .
Как определить взаимное расположение двух прямых?
Начнём с первого случая:
Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства
Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.
Действительно, если все коэффициенты уравнения 
умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .
Второй случай, когда прямые параллельны:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: 
, но
.
В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :
Однако совершенно очевидно, что .
И третий случай, когда прямые пересекаются:
Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны
, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства 
Так, для прямых составим систему:
Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.
Вывод: прямые пересекаются
В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:
Пример 1
Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:
а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: 
.
, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.
На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:
Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)
б) Найдем направляющие векторы прямых :
Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.
Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .
Выясним, справедливо ли равенство :
Таким образом,
в) Найдем направляющие векторы прямых :
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.
Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: 
.
Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:
Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).
Таким образом, прямые совпадают.
Ответ :
Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:
Как построить прямую, параллельную данной?
За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.
Пример 2
Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .
Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».
Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :
Ответ :
Геометрия примера выглядит незатейливо:
Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:
1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.
Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.
Пример 3
Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если
Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.
С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:
Как найти точку пересечения двух прямых?
Если прямые 
пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Пример 4
Найти точку пересечения прямых
Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.
Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:
Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений
с двумя уравнениями, двумя неизвестными.
Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.
Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:
Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?
Ответ :
Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Пример 5
Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.
Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.
Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.
Полное решение и ответ в конце урока:
Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:
Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми
Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:
Как построить прямую, перпендикулярную данной?
Пример 6
Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:
Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ
: 
Развернём геометрический этюд:
М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.
Аналитическая проверка решения:
1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы 
и с помощью скалярного произведения векторов
приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению 
.
Проверку, опять же, легко выполнить устно.
Пример 7
Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение 
и точка .
Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.
Наше увлекательное путешествие продолжается:
Расстояние от точки до прямой
Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.
Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».
Расстояние от точки до прямой 
выражается формулой
Пример 8
Найти расстояние от точки до прямой 
Решение
: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:
Ответ
: 
Выполним чертёж:
Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.
Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:
Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой 
. Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:
1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .
2) Находим точку пересечения прямых: 
.
Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.
3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .
Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.
Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.
Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
Пример 9
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.
Угол между двумя прямыми
Что ни угол, то косяк:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный
«малиновый» угол .
Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.
Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .
Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).
Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:
Пример 10
Найти угол между прямыми
Решение и Способ первый
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:
Если прямые не перпендикулярны
, то ориентированный
угол между ними можно вычислить с помощью формулы:
Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение
направляющих векторов прямых:
Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём по формуле:
С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций
):
Ответ
: 
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:
Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.
Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения 
, а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой 
.
Задача 1
Найти косинус угла между прямыми $\frac{x+3}{5} =\frac{y-2}{-3} =\frac{z-1}{4} $ и $\left\{\begin{array}{c} {x=2\cdot t-3} \\ {y=-t+1} \\ {z=3\cdot t+5} \end{array}\right. $.
Пусть в пространстве заданы две прямые: $\frac{x-x_{1} }{m_{1} } =\frac{y-y_{1} }{n_{1} } =\frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $\frac{x-x_{2} }{m_{2} } =\frac{y-y_{2} }{n_{2} } =\frac{z-z_{2} }{p_{2} } $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через неё две вспомогательные прямые, параллельные данным. Углом между данными прямыми является любой из двух смежных углов, образованных вспомогательными прямыми. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по известной формуле $\cos \phi =\frac{m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} }{\sqrt{m_{1}^{2} +n_{1}^{2} +p_{1}^{2} } \cdot \sqrt{m_{2}^{2} +n_{2}^{2} +p_{2}^{2} } } $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi
Канонические уравнения первой прямой: $\frac{x+3}{5} =\frac{y-2}{-3} =\frac{z-1}{4} $.
Канонические уравнения второй прямой можно получить из параметрических:
\ \ \
Таким образом, канонические уравнения данной прямой: $\frac{x+3}{2} =\frac{y-1}{-1} =\frac{z-5}{3} $.
Вычисляем:
\[\cos \phi =\frac{5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3}{\sqrt{5^{2} +\left(-3\right)^{2} +4^{2} } \cdot \sqrt{2^{2} +\left(-1\right)^{2} +3^{2} } } =\frac{25}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{14} } \approx 0,9449.\]
Задача 2
Первая прямая проходит через заданные точки $A\left(2,-4,-1\right)$ и $B\left(-3,5,6\right)$, вторая прямая -- через заданные точки $C\left(1,-2,8\right)$ и $D\left(6,7,-2\right)$. Найти расстояние между этими прямыми.
Пусть некоторая прямая перпендикулярна к прямым $AB$ и $CD$ и пересекает их в точках $M$ и $N$ соответственно. При таких условиях длина отрезка $MN$ равна расстоянию между прямыми $AB$ и $CD$.
Строим вектор $\overline{AB}$:
\[\overline{AB}=\left(-3-2\right)\cdot \bar{i}+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar{k}=-5\cdot \bar{i}+9\cdot \bar{j}+7\cdot \bar{k}.\]
Пусть отрезок, изображающий расстояние между прямыми, проходит через точку $M\left(x_{M} ,y_{M} ,z_{M} \right)$ на прямой $AB$.
Строим вектор $\overline{AM}$:
\[\overline{AM}=\left(x_{M} -2\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{M} -\left(-4\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{M} -\left(-1\right)\right)\cdot \bar{k}=\] \[=\left(x_{M} -2\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{M} +4\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{M} +1\right)\cdot \bar{k}.\]
Векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AM}$ совпадают, следовательно, они коллинеарны.
Известно, что если векторы $\overline{a}=x_{1} \cdot \overline{i}+y_{1} \cdot \overline{j}+z_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{b}=x_{2} \cdot \overline{i}+y_{2} \cdot \overline{j}+z_{2} \cdot \overline{k}$ коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть $\frac{x_{{\it 2}} }{{\it x}_{{\it 1}} } =\frac{y_{{\it 2}} }{{\it y}_{{\it 1}} } =\frac{z_{{\it 2}} }{{\it z}_{{\it 1}} } $.
$\frac{x_{M} -2}{-5} =\frac{y_{M} +4}{9} =\frac{z_{M} +1}{7} =m$, где $m$ -- результат деления.
Отсюда получаем: $x_{M} -2=-5\cdot m$; $y_{M} +4=9\cdot m$; $z_{M} +1=7\cdot m$.
Окончательно получаем выражения для координат точки $M$:
Строим вектор $\overline{CD}$:
\[\overline{CD}=\left(6-1\right)\cdot \bar{i}+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(-2-8\right)\cdot \bar{k}=5\cdot \bar{i}+9\cdot \bar{j}-10\cdot \bar{k}.\]
Пусть отрезок, изображающий расстояние между прямыми, проходит через точку $N\left(x_{N} ,y_{N} ,z_{N} \right)$ на прямой $CD$.
Строим вектор $\overline{CN}$:
\[\overline{CN}=\left(x_{N} -1\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{N} -\left(-2\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{N} -8\right)\cdot \bar{k}=\] \[=\left(x_{N} -1\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{N} +2\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{N} -8\right)\cdot \bar{k}.\]
Векторы $\overline{CD}$ и $\overline{CN}$ совпадають, следовательно, они коллинеарны. Применяем условие коллинеарности векторов :
$\frac{x_{N} -1}{5} =\frac{y_{N} +2}{9} =\frac{z_{N} -8}{-10} =n$, где $n$ -- результат деления.
Отсюда получаем: $x_{N} -1=5\cdot n$; $y_{N} +2=9\cdot n$; $z_{N} -8=-10\cdot n$.
Окончательно получаем выражения для координат точки $N$:
Строим вектор $\overline{MN}$:
\[\overline{MN}=\left(x_{N} -x_{M} \right)\cdot \bar{i}+\left(y_{N} -y_{M} \right)\cdot \bar{j}+\left(z_{N} -z_{M} \right)\cdot \bar{k}.\]
Подставляем выражения для координат точек $M$ и $N$:
\[\overline{MN}=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar{i}+\] \[+\left(-2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot m\right)\right)\cdot \bar{k}.\]
Выполнив действия, получаем:
\[\overline{MN}=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar{i}+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)\cdot \bar{j}+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar{k}.\]
Поскольку прямые $AB$ и $MN$ перпендикулярны, то скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, то есть $\overline{AB}\cdot \overline{MN}=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Выполнив действия, получаем первое уравнение для определения $m$ и $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Поскольку прямые $CD$ и $MN$ перпендикулярны, то скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, то есть $\overline{CD}\cdot \overline{MN}=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
Выполнив действия, получаем второе уравнение для определения $m$ и $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Находим $m$ и $n$, решив систему уравнений $\left\{\begin{array}{c} {155\cdot m+14\cdot n=86} \\ {14\cdot m+206\cdot n=77} \end{array}\right. $.
Применяем метод Крамера:
\[\Delta =\left|\begin{array}{cc} {155} & {14} \\ {14} & {206} \end{array}\right|=31734; \] \[\Delta _{m} =\left|\begin{array}{cc} {86} & {14} \\ {77} & {206} \end{array}\right|=16638; \] \[\Delta _{n} =\left|\begin{array}{cc} {155} & {86} \\ {14} & {77} \end{array}\right|=10731;\] \
Находим координаты точек $M$ и $N$:
\ \
Окончательно:
Окончательно записываем вектор $\overline{MN}$:
$\overline{MN}=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar{i}+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar{j}+\left(4,618-2,6701\right)\cdot \bar{k}$ или $\overline{MN}=3,3125\cdot \bar{i}+0,3251\cdot \bar{j}+1,9479\cdot \bar{k}$.
Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ -- это длина вектора $\overline{MN}$:$d=\sqrt{3,3125^{2} +0,3251^{2} +1,9479^{2} } \approx 3,8565$ лин. ед.
\(\blacktriangleright\) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой \(a\) , которая является их общей границей.
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) , нужно найти линейный угол (причем острый или прямой ) двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) :
Шаг 1: пусть \(\xi\cap\pi=a\) (линия пересечения плоскостей). В плоскости \(\xi\) отметим произвольную точку \(F\) и проведем \(FA\perp a\) ;
Шаг 2: проведем \(FG\perp \pi\) ;
Шаг 3: по ТТП (\(FG\) – перпендикуляр, \(FA\) –наклонная, \(AG\) – проекция) имеем: \(AG\perp a\) ;
Шаг 4: угол \(\angle FAG\) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) .
Заметим, что треугольник \(AG\)
– прямоугольный.
Заметим также, что плоскость \(AFG\)
, построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям \(\xi\)
и \(\pi\)
. Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями
\(\xi\)
и \(\pi\)
- это угол между двумя пересекающимися прямыми \(c\in \xi\)
и \(b\in\pi\)
, образующими плоскость, перпендикулярную и \(\xi\)
, и \(\pi\)
.
Задание 1 #2875
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите \(6\cos \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между ее смежными боковыми гранями.
Пусть \(SABCD\) – данная пирамида (\(S\) – вершина), ребра которой равны \(a\) . Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями \(SAD\) и \(SCD\) .
Проведем \(CH\perp SD\)
. Так как \(\triangle SAD=\triangle SCD\)
, то \(AH\)
также будет высотой в \(\triangle SAD\)
. Следовательно, по определению \(\angle AHC=\alpha\)
– линейный угол двугранного угла между гранями \(SAD\)
и \(SCD\)
.
Так как в основании лежит квадрат, то \(AC=a\sqrt2\)
. Заметим также, что \(CH=AH\)
– высота равностороннего треугольника со стороной \(a\)
, следовательно, \(CH=AH=\frac{\sqrt3}2a\)
.
Тогда по теореме косинусов из \(\triangle AHC\)
: \[\cos \alpha=\dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CH\cdot AH}=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad
6\cos\alpha=-2.\]
Ответ: -2
Задание 2 #2876
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются под углом, косинус которого равен \(0,2\) . Плоскости \(\pi_2\) и \(\pi_3\) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей \(\pi_1\) и \(\pi_2\) параллельна линии пересечения плоскостей \(\pi_2\) и \(\pi_3\) . Найдите синус угла между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_3\) .
Пусть линия пересечения \(\pi_1\) и \(\pi_2\) – прямая \(a\) , линия пересечения \(\pi_2\) и \(\pi_3\) – прямая \(b\) , а линия пересечения \(\pi_3\) и \(\pi_1\) – прямая \(c\) . Так как \(a\parallel b\) , то \(c\parallel a\parallel b\) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” \(\rightarrow\) “Введение в стереометрию, параллельность”).
Отметим точки \(A\in a, B\in b\)
так, чтобы \(AB\perp a, AB\perp b\)
(это возможно, так как \(a\parallel b\)
). Отметим \(C\in c\)
так, чтобы \(BC\perp c\)
, следовательно, \(BC\perp b\)
. Тогда \(AC\perp c\)
и \(AC\perp a\)
.
Действительно, так как \(AB\perp b, BC\perp b\)
, то \(b\)
перпендикулярна плоскости \(ABC\)
. Так как \(c\parallel a\parallel b\)
, то прямые \(a\)
и \(c\)
тоже перпендикулярны плоскости \(ABC\)
, а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой \(AC\)
.
Отсюда следует, что \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\) , \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\) , \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\) . Получается, что \(\triangle ABC\) прямоугольный, а значит \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]
Ответ: 0,2
Задание 3 #2877
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Даны прямые \(a, b, c\) , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен \(60^\circ\) . Найдите \(\cos^{-1}\alpha\) , где \(\alpha\) – угол между плоскостью, образованной прямыми \(a\) и \(c\) , и плоскостью, образованной прямыми \(b\) и \(c\) . Ответ дайте в градусах.
Пусть прямые пересекаются в точке \(O\)
. Так как угол между любыми двумя их них равен \(60^\circ\)
, то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой \(a\)
точку \(A\)
и проведем \(AB\perp
b\)
и \(AC\perp c\)
. Тогда \(\triangle AOB=\triangle AOC\)
как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(OB=OC\)
и \(AB=AC\)
.
Проведем \(AH\perp (BOC)\)
. Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HC\perp c\)
, \(HB\perp b\)
. Так как \(AB=AC\)
, то \(\triangle
AHB=\triangle AHC\)
как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, \(HB=HC\)
. Значит, \(OH\)
– биссектриса угла \(BOC\)
(так как точка \(H\)
равноудалена от сторон угла).
Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми \(a\) и \(c\) , и плоскостью, образованной прямыми \(b\) и \(c\) . Это угол \(ACH\) .
Найдем этот угол. Так как точку \(A\) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что \(OA=2\) . Тогда в прямоугольном \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac{AC}{OA} \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=1.\] Так как \(OH\) – биссектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\) , следовательно, в прямоугольном \(\triangle HOC\) : \[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{HC}{OC}\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1{\sqrt3}.\] Тогда из прямоугольного \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^{-1}\alpha=3.\]
Ответ: 3
Задание 4 #2910
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются по прямой \(l\) , на которой лежат точки \(M\) и \(N\) . Отрезки \(MA\) и \(MB\) перпендикулярны прямой \(l\) и лежат в плоскостях \(\pi_1\) и \(\pi_2\) соответственно, причем \(MN = 15\) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Найдите \(3\cos\alpha\) , где \(\alpha\) – угол между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_2\) .
Треугольник \(AMN\) прямоугольный, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , откуда \ Треугольник \(BMN\) прямоугольный, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , откуда \ Запишем для треугольника \(AMB\) теорему косинусов: \ Тогда \ Так как угол \(\alpha\) между плоскостями – это острый угол, а \(\angle AMB\) получился тупым, то \(\cos\alpha=\dfrac5{12}\) . Тогда \
Ответ: 1,25
Задание 5 #2911
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\) , точка \(M\) – основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A_1\) на плоскость \((ABCD)\) , кроме того \(M\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\) . Известно, что \(A_1M = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\) . Найдите угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) . Ответ дайте в градусах.
Построим \(MN\) перпендикулярно \(AB\) как показано на рисунке.
Так как \(ABCD\)
– квадрат со стороной \(a\)
и \(MN\perp AB\)
и \(BC\perp AB\)
, то \(MN\parallel BC\)
. Так как \(M\)
– точка пересечения диагоналей квадрата, то \(M\)
– середина \(AC\)
, следовательно, \(MN\)
– средняя линия и \(MN =\frac12BC= \frac{1}{2}a\)
.
\(MN\)
– проекция \(A_1N\)
на плоскость \((ABCD)\)
, причем \(MN\)
перпендикулярен \(AB\)
, тогда по теореме о трех перпендикулярах \(A_1N\)
перпендикулярен \(AB\)
и угол между плоскостями \((ABCD)\)
и \((AA_1B_1B)\)
есть \(\angle A_1NM\)
.
\[\mathrm{tg}\, \angle A_1NM = \dfrac{A_1M}{NM} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^{\circ}\]
Ответ: 60
Задание 6 #1854
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\) . Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(ABC\) , если \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .
Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\) и \(\triangle SDO\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\) ; \(AO = DO\) , т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) – равнобедренный. Точка \(K\) – середина \(AD\) , тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\) , а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскостям \(ASD\) и \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
В \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac{1}{2}\cdot AB = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5 = SO\) \(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – равнобедренный прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .
Ответ: 45
Задание 7 #1855
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\) . Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(BSC\) , если \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .
Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) и \(\triangle SOC\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\) ; \(AO = OD = OB = OC\) , т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) и \(\triangle BSC\) – равнобедренные. Точка \(K\) – середина \(AD\) , тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\) , а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскости \(ASD\) . Точка \(L\) – середина \(BC\) , тогда \(SL\) – высота в треугольнике \(\triangle BSC\) , а \(OL\) – высота в треугольнике \(BOC\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOL\) (она же плоскость \(SOK\) ) перпендикулярна плоскости \(BSC\) . Таким образом получаем, что \(\angle KSL\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\) \(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\) . Можно заметить, что \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\) \(\Rightarrow\) для треугольника \(\triangle KSL\) выполняется обратная теорема Пифагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\circ\) .
Ответ: 90
Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Основные нюансы
Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
Следующий шаг - нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» - залог вашего успеха
В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.
Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.
Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на , представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.
Статья рассказывает о нахождении угла между плоскостями. После приведения определения зададим графическую иллюстрацию, рассмотрим подробный способ нахождения методом координат. Получим формулу для пересекающихся плоскостей, в которую входят координаты нормальных векторов.
В материале будут использованы данные и понятия, которые ранее были изучены в статьях про плоскость и прямую в пространстве. Для начала необходимо перейти к рассуждениям, позволяющим иметь определенный подход к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.
Заданы две пересекающиеся плоскости γ 1 и γ 2 . Их пересечение примет обозначение c . Построение плоскости χ связано с пересечением этих плоскостей. Плоскость χ проходит через точку М в качестве прямой c . Будет производиться пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 с помощью плоскости χ . Принимаем обозначения прямой, пересекающей γ 1 и χ за прямую a , а пересекающую γ 2 и χ за прямую b . Получаем, что пересечение прямых a и b дает точку M .
Расположение точки M не влияет на угол между пересекающимися прямыми a и b , а точка M располагается на прямой c , через которую проходит плоскость χ .
Необходимо построить плоскость χ 1 с перпендикулярностью к прямой c и отличную от плоскости χ . Пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 с помощью χ 1 примет обозначение прямых а 1 и b 1 .
Видно, что при построении χ и χ 1 прямые a и b перпендикулярны прямой c , тогда и а 1 , b 1 располагаются перпендикулярно прямой c . Нахождение прямых a и а 1 в плоскости γ 1 с перпендикулярностью к прямой c , тогда их можно считать параллельными. Таки же образом расположение b и b 1 в плоскости γ 2 с перпендикулярностью прямой c говорит об их параллельности. Значит, необходимо сделать параллельный перенос плоскости χ 1 на χ , где получим две совпадающие прямые a и а 1 , b и b 1 . Получаем, что угол между пересекающимися прямыми a и b 1 равен углу пересекающихся прямых a и b .
Рассмотрим не рисунке, приведенном ниже.
Данное суждение доказывается тем, что между пересекающимися прямыми a и b имеется угол, который не зависит от расположения точки M , то есть точки пересечения. Эти прямые располагаются в плоскостях γ 1 и γ 2 . Фактически, получившийся угол можно считать углом между двумя пересекающимися плоскостями.
Перейдем к определению угла между имеющимися пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 .
Определение 1
Углом между двумя пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 называют угол, образовавшийся путем пересечения прямых a и b , где плоскости γ 1 и γ 2 имеют пересечение с плоскостью χ , перпендикулярной прямой c .
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Определение может быть подано в другой форме. При пересечении плоскостей γ 1 и γ 2 , где c – прямая, на которой они пересеклись, отметить точку M , через которую провести прямые a и b , перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях γ 1 и γ 2 , тогда угол между прямыми a и b будет являться углом между плоскостями. Практически это применимо для построения угла между плоскостями.
При пересечении образуется угол, который по значению меньше 90 градусов, то есть градусная мера угла действительна на промежутке такого вида (0 , 90 ] . Одновременно данные плоскости называют перпендикулярнымив случае, если при пересечении образуется прямой угол. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Обычный способ для нахождения угла между пересекающимися плоскостями – это выполнение дополнительных построений. Это способствует определять его с точностью, причем делать это можно с помощью признаков равенства или подобия треугольника, синусов, косинусов угла.
Рассмотрим решение задач на примере из задач ЕГЭ блока C 2 .
Пример 1
Задан прямоугольный параллелепипед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , где сторона А В = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7 , точка E разделяет сторону А А 1 в отношении 4: 3 . Найти угол между плоскостями А В С и В E D 1 .
Решение
Для наглядности необходимо выполнить чертеж. Получим, что
Наглядное представление необходимо для того, чтобы было удобней работать с углом между плоскостями.
Производим определение прямой линии, по которой происходит пересечение плоскостей А В С и В E D 1 . Точка B является общей точкой. Следует найти еще одну общую точку пересечения. Рассмотрим прямые D A и D 1 E , которые располагаются в одной плоскости A D D 1 . Их расположение не говорит о параллельности, значит, они имеют общую точку пересечения.
Однако, прямая D A расположена в плоскости А В С, а D 1 E в B E D 1 . Отсюда получаем, что прямые D A и D 1 E имеют общую точку пересечения, которая является общей и для плоскостей А В С и B E D 1 . Обозначает точку пересечения прямых D A и D 1 E буквой F . Отсюда получаем, что B F является прямой, по которой пересекаются плоскости А В С и В E D 1 .
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Для получения ответа необходимо произвести построение прямых, расположенных в плоскостях А В С и В E D 1 с прохождением через точку, находящуюся на прямой B F и перпендикулярной ей. Тогда получившийся угол между этими прямыми считается искомым углом между плоскостями А В С и В E D 1 .
Отсюда видно, что точка A – проекция точки E на плоскость А В С. Необходимо провести прямую, пересекающую под прямым углом прямую B F в точке М. Видно, что прямая А М – проекция прямой Е М на плоскость А В С, исходя из теоремы о тех перпендикулярах A M ⊥ B F . Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.
∠ A M E - это искомый угол, образованный плоскостями А В С и В E D 1 . Из получившегося треугольника А Е М можем найти синус, косинус или тангенс угла, после чего и сам угол, только при известных двух сторонах его. По условию имеем, что длина А Е находится таким образом: прямая А А 1 разделена точкой E в отношении 4: 3 , то означает полную длину прямой – 7 частей, тогда А Е = 4 частям. Находим А М.
Необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник А В F . Имеем прямой угол A с высотой А М. Из условия А В = 2 , тогда можем найти длину A F по подобию треугольников D D 1 F и A E F . Получаем, что A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4
Необходимо найти длину стороны B F из треугольника A B F , используя теорему Пифагора. Получаем, что B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Длина стороны А М находится через площадь треугольника A B F . Имеем, что площадь может равняться как S A B C = 1 2 · A B · A F , так и S A B C = 1 2 · B F · A M .
Получаем, что A M = A B · A F B F = 2 · 4 2 5 = 4 5 5
Тогда можем найти значение тангенса угла треугольника А Е М. Получим:
t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5
Искомый угол, получаемый пересечением плоскостей А В С и B E D 1 равняется a r c t g 5 , тогда при упрощении получим a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .
Ответ: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .
Некоторые случаи нахождения угла между пересекающимися прямыми задаются при помощи координатной плоскости О х у z и методом координат. Рассмотрим подробней.
Если дана задача, где необходимо найти угол между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 , искомый угол обозначим за α .
Тогда заданная система координат показывает, что имеем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей γ 1 и γ 2 . Тогда обозначим, что n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z является нормальным вектором плоскости γ 1 , а n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - для плоскости γ 2 . Рассмотрим подробное нахождение угла, расположенного между этими плоскостями по координатам векторов.
Необходимо обозначить прямую, по которой происходит пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 буквой c . На прямой с имеем точку M , через которую проводим плоскость χ , перпендикулярную c . Плоскость χ по прямым a и b производит пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 в точке M . из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 равен углу пересекающихся прямых a и b , принадлежащих этим плоскостям соответственно.
В плоскости χ откладываем от точки M нормальные векторы и обозначаем их n 1 → и n 2 → . Вектор n 1 → располагается на прямой, перпендикулярной прямой a , а вектор n 2 → на прямой, перпендикулярной прямой b . Отсюда получаем, что заданная плоскость χ имеет нормальный вектор прямой a , равный n 1 → и для прямой b , равный n 2 → . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Отсюда получаем формулу, по которой можем вычислить синус угла пересекающихся прямых при помощи координат векторов. Получили, что косинусом угла между прямыми a и b то же, что и косинус между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 выводится из формулы cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , где имеем, что n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) и n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) являются координатами векторов представленных плоскостей.
Вычисление угла между пересекающимися прямыми производится по формуле
α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2
Пример 2
По условию дан параллелепипед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , где А В = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7 , а точка E разделяет сторону А А 1 4: 3 . Найти угол между плоскостями А В С и B E D 1 .
Решение
Из условия видно, что стороны его попарно перпендикулярны. Это значит, что необходимо ввести систему координат О х у z с вершиной в точке С и координатными осями О х, О у, О z . Необходимо поставить направление по соответствующим сторонам. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Пересекающиеся плоскости А В С и B E D 1 образуют угол, который можно найти по формуле α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , в которой n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) и n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) являются нормальными векторами этих плоскостей. Необходимо определить координаты. По рисунку видим, что координатная ось О х у совпадает в плоскостью А В С, это значит, что координаты нормального вектора k → равняются значению n 1 → = k → = (0 , 0 , 1) .
За нормальный вектор плоскости B E D 1 принимается векторное произведение B E → и B D 1 → , где их координаты находятся путем координат крайних точек В, Е, D 1 , которые определяются, исходя из условия задачи.
Получаем, что B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Потому как A E E A 1 = 4 3 , из координат точек A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 найдем E 2 , 3 , 4 . Получаем, что B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 · j → - 6 · k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)
Необходимо произвести подстановку найденных координат в формулу вычисления угла через арккосинус. Получаем
α = a r c cos 0 · 12 + 0 · (- 6) + 1 · (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 · 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6
Метод координат дает аналогичный результат.
Ответ: a r c cos 6 6 .
Завершающая задача рассматривается с целью нахождения угла между пересекающимися плоскостями при имеющихся известных уравнениях плоскостей.
Пример 3
Вычислить синус, косинус угла и значение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, которые определены в системе координат О х у z и заданы уравнениями 2 x - 4 y + z + 1 = 0 и 3 y - z - 1 = 0 .
Решение
При изучении темы общего уравнения прямой вида A x + B y + C z + D = 0 выявили, что А, В, С являются коэффициентами, равными координатам нормального вектора. Значит, n 1 → = 2 , - 4 , 1 и n 2 → = 0 , 3 , - 1 являются нормальным векторами заданных прямых.
Необходимо подставить координаты нормальных векторов плоскостей в формулу вычисления искомого угла пересекающихся плоскостей. Тогда получаем, что
α = a r c cos 2 · 0 + - 4 · 3 + 1 · (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210
Отсюда имеем, что косинус угла принимает вид cos α = 13 210 . Тогда угол пересекающихся прямых не является тупым. Подставив в тригонометрическое тождество, получаем, что значение синуса угла равняется выражению. Вычислим и получим, что
sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210
Ответ: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
а. Пусть даны две прямые Эти прямые как было указано в главе 1, образуют различные положительные и отрицательные углы, которые при этом могут быть как острыми, так и тупыми. Зная один из этих углов мы легко найдем какой-либо другой.
Между прочим, у всех этих углов численная величина тангенса одна и та же, различие может быть только в знаке
Уравнения прямых. Числа суть проекции направляющих векторов первой и второй прямой Угол между этими векторами равен одному из углов, образуемых прямыми линиями. Поэтому задача сводится к определению угла между векторами, Мы получим
Для простоты можно условиться под углом между двумя прямыми понимать острый положительный угол (как, например, на рис. 53).
Тогда тангенс этого угла будет всегда положительным. Таким образом, если в правой части формулы (1) получится знак минус, то мы его должны отбросить, т. е. сохранить только абсолютную величину.
Пример. Определить угол между прямыми
По формуле (1) имеем
с. Если будет указано, какая из сторон угла является его началом и какая концом, то, отсчитывая всегда направление угла против часовой стрелки, мы можем формулы (1) извлечь нечто большее. Как нетрудно убедиться из рис. 53 знак получающийся в правой части формулы (1), будет указывать, какой именно - острый или тупой - угол образует вторая прямая с первой.
(Действительно, из рис, 53 мы усматриваем, что угол между первым и вторым направляющими векторами или равен искомому углу между прямыми, или отличается от него на ±180°.)
d. Если прямые параллельны, то параллельны и их направляющие векторы, Применяя условие параллельности двух векторов получим!
Это есть условием необходимое и достаточное для параллельности двух прямых.
Пример. Прямые
параллельны, так как
e. Если прямые перпендикулярны то их направляющие векторы тоже перпендикулярны. Применяя условие перпендикулярности двух векторов мы получим условие перпендикулярности двух прямых а именно
Пример. Прямые
перпендикулярны ввиду того, что
В связи с условиями параллельности и перпендикулярности решим следующие две задачи.
f. Через точку провести прямую параллельно данной прямой
Решение проводится так. Так как искомая прямая параллельна данной, то за ее направляющий вектор можно взять тот же самый, что и у данной прямой, т. е. вектор с проекциями А и В. А тогда уравнение искомой прямой напишется в форме (§ 1)
Пример. Уравнение прямой, проходящей через точку (1; 3) параллельно прямой
будет следующее!
g. Через точку провести прямую перпендикулярно данной прямой
Здесь за направляющий вектор уже не годится брать вектор с проекциями А и , а надо веять вектор, ему перпендикулярный. Проекции этого вектора должны быть выбраны следовательно, согласно условию перпендикулярности обоих векторов, т. е. согласно условию
Выполнить же это условие можно бесчисленным множеством способов, так как здесь одно уравнение с двумя неизвестными Но проще всего взять иди же Тогда уравнение искомой прямой напишется в форме
Пример. Уравнение прямой, проходящей через точку (-7; 2) в перпендикулярной прямой
будет следующее (по второй формуле)!
h. В том случаем когда прямые заданы уравнениями вида
переписывая эти уравнения иначе, имеем