Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)
Две прямые пространства могут:
1) скрещиваться;
2) пересекаться в точке ;
3) быть параллельными ;
4) совпадать.
Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости .
Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?
Рассмотрим две прямые пространства:
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .
Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:
На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.
Как разобраться с этими прямыми?
Так как известны точки , то легко найти вектор .
Если прямые скрещиваются
, то векторы не компланарны
(см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: 
.
В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны
, а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: 
.
Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что 
, следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.
Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.
Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:
Пример 11
Выяснить взаимное расположение двух прямых
Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:
1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:
2) Найдём вектор:
Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.
Составим систему из соответствующих координат данных векторов:
Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.
Вывод: прямые параллельны либо совпадают.
5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :
Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.
Ответ :
Интересный пример для самостоятельного решения:
Пример 12
Выяснить взаимное расположение прямых
Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.
И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-)
Задачи с прямой в пространстве
В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.
Скрещивающиеся прямые
Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:
Пример 13
Даны прямые . Требуется:
а) доказать, что прямые скрещиваются;
б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;
в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;
г) найти расстояние между прямыми.
Решение : Дорогу осилит идущий:
а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:
Найдём вектор:
Вычислим смешанное произведение векторов
:
Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.
Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.
б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:
Для разнообразия я разместил прямую ЗА
прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.
Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.
По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:
Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :
Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде 
, но необходимости в этом нет никакой.
Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».
Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?
в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.
Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.
– это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:
Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.
Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.
Решение оформим по пунктам:
1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:
Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО
. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:
Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.
2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:
Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении
её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:
Или: 
3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Есть две точки: 
.
Находим вектор:
4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:
Или покоординатно:
Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:
Таким образом: 
, а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.
5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения 
в наши точки:
Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .
После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.
:
Получены верные равенства.
Подставим координаты точки в уравнения 
:
Получены верные равенства.
6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :
В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?
г) Срубаем четвёртую голову дракона.
Способ первый
. Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: 
.
Крайние точки общего перпендикуляра 
найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:
Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.
В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).
Смешанное произведение векторов
уже найдено в пункте «а»: 
.
Векторное произведение векторов
найдено в пункте «бэ»: 
, вычислим его длину:
Таким образом:
Гордо выложим трофеи в один ряд:
Ответ
:
а) 
, значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) 
;
в) 
;
г) 
Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:
Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:
Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!
Как найти точку пересечения пространственных прямых?
Пример 14
Найти точку пересечения прямых
Решение
: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:
Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве
). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.
Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра
:
Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:
Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:
Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса
, но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:
Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:
Подставим найденное значение параметра в уравнения:
Ответ :
Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения: 
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.
Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».
Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.
Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?
(прямые пересекаются)
Пример 15
а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой 
(прямые пересекаются).
б) Найти расстояние от точки до прямой .
Примечание
: оговорка «прямые пересекаются» – существенна
. Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум
заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).
а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:
Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.
1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:
Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:
Или одной строкой:
2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение
равно нулю:
Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:
3) Значение параметра известно, найдём точку:
И направляющий вектор:
.
4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:
Ответ
: 
Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.
Проверка состоит из двух этапов:
1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;
2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.
О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.
Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.
Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?
б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой .
Способ первый
. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки 
, то:
Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.
Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная
точка, принадлежащая данной прямой.
1) Из уравнений прямой 
достаём направляющий вектор и самую доступную точку .
2) Точка известна из условия, заточим вектор:
3) Найдём векторное произведение
и вычислим его длину:
4) Рассчитаем длину направляющего вектора:
5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:
В этой статье сначала дадим определение угла между скрещивающимися прямыми и приведем графическую иллюстрацию. Далее ответим на вопрос: «Как найти угол между скрещивающимися прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых в прямоугольной системе координат»? В заключении попрактикуемся в нахождении угла между скрещивающимися прямыми при решении примеров и задач.
Навигация по странице.
Угол между скрещивающимися прямыми - определение.
К определению угла между скрещивающимися прямыми будем подходить постепенно.
Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.
Приведем еще вспомогательные рассуждения.
Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Построим прямые a 1 и b 1 так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и b соответственно и проходили через некоторую точку пространства M 1 . Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a 1 и b 1 . Пусть угол между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 равен углу . Теперь построим прямые a 2 и b 2 , параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно, проходящие через точку М 2 , отличную от точки М 1 . Угол между пересекающимися прямыми a 2 и b 2 также будет равен углу . Это утверждение справедливо, так как прямые a 1 и b 1 совпадут с прямыми a 2 и b 2 соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М 1 перейдет в точку М 2 . Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М .
Теперь мы готовы к тому, чтобы дать определение угла между скрещивающимися прямыми.
Определение.
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки M . Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.
Приведем иллюстрацию определения угла между скрещивающимися прямыми.
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.
Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов , а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.
Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.
Пусть в трехмерном пространстве введена Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).
Поставим перед собой задачу: найти угол между скрещивающимися прямыми a и b , которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве .
Решим ее.
Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a 1 и b 1 , параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 по определению.
Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 . Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a 1 и b 1 .
Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора прямой позволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a 1
и b 1
можно принять направляющие векторы 
и 
прямых a
и b
соответственно.
Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a
и b
вычисляется по формуле
, где и - направляющие векторы прямых a
и b
соответственно.
Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми
a
и b
имеет вид 
.
Позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус: 
.
Осталось разобрать решения примеров.
Пример.
Найдите угол между скрещивающимися прямыми a
и b
, которые определены в прямоугольной системе координат Oxyz
уравнениями 
и 
.
Решение.
Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу определить координаты направляющего вектор этой прямой – их дают числа в знаменателях дробей, то есть, 
. Параметрические уравнения прямой в пространстве также дают возможность сразу записать координаты направляющего вектора – они равны коэффициентам перед параметром, то есть, 
- направляющий вектор прямой . Таким образом, мы располагаем всеми необходимыми данными для применения формулы, по которой вычисляется угол между скрещивающимися прямыми:
Ответ:
Угол между заданными скрещивающимися прямыми равен .
Пример.
Найдите синус и косинус угла между скрещивающимися прямыми, на которых лежат ребра AD и BC пирамиды АВСD , если известны координаты ее вершин: .
Решение.
Направляющими векторами скрещивающихся прямых AD
и BC
являются векторы и . Вычислим их координаты как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора:
По формуле 
мы можем вычислить косинус угла между указанными скрещивающимися прямыми:
Теперь вычислим синус угла между скрещивающимися прямыми:
Ответ:
В заключении рассмотрим решение задачи, в которой требуется отыскать угол между скрещивающимися прямыми, а прямоугольную систему координат приходится вводить самостоятельно.
Пример.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого АВ=3 , АD=2 и AA 1 =7 единиц. Точка E лежит на ребре АА 1 и делит его в отношении 5 к 2 считая от точки А . Найдите угол между скрещивающимися прямыми ВЕ и А 1 С .
Решение.
Так как ребра прямоугольного параллелепипеда при одной вершине взаимно перпендикулярны, то удобно ввести прямоугольную систему координат, и определить угол между указанными скрещивающимися прямыми методом координат через угол между направляющими векторами этих прямых.
Введем прямоугольную систему координат Oxyz следующим образом: пусть начало координат совпадает с вершиной А , ось Ox совпадает с прямой АD , ось Oy - с прямой АВ , а ось Oz – с прямой АА 1 .
Тогда точка В
имеет координаты , точка Е
- (при необходимости смотрите статью ), точка А 1
- , а точка С
- . По координатам этих точек мы можем вычислить координаты векторов и . Имеем 
, 
.
Осталось применить формулу для нахождения угла между скрещивающимися прямыми по координатам направляющих векторов:
Ответ:
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Лекция: Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых
Пересекающиеся прямые
Если на плоскости имеются несколько прямых, то они либо рано или поздно пересекутся произвольно, либо под прямым углом, или же будут параллельными. Давайте же разберемся с каждым случаем.
Пересекающимися можно назвать те прямые, у которых будет хотя бы одна точка пересечения.
Вы спросите, почему хотя бы одна, не может же прямая пересечь другую прямую две или три раза. Вы правы! Но прямые могут полностью совпасть друг с другом. В таком случае общих точек будет бесконечное множество.
Параллельность
Параллельными можно назвать те прямые, которые никогда не пересекутся, даже на бесконечности.
Иными словами, параллельные – это те, у которых нет ни одной общей точки. Обратите внимание на то, что данное определение справедливо только в том случае, если прямые находятся в одной плоскости, если же они не имеют общих точек, находясь в разных плоскостях, то они считаются скрещивающимися.
Примеры параллельных прямых в жизни: два противоположных края экрана монитора, линии в тетрадях, а также многие другие части вещей, имеющих квадратную, прямоугольную и другие формы.
Когда хотят показать на письме, что одна прямая параллельная второй, то используют следующее обозначение a||b. Данная запись говорит, что прямая а параллельна прямой b.
При изучении данной темы важно понять еще одно утверждение: через некоторую точку на плоскости, которая не принадлежит данной прямой, можно провести единственную параллельную прямую. Но обратите внимание, снова поправка – на плоскости. Если рассматривать трехмерное пространство, то можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут пересекаться, но будут скрещивающимися.
Утверждение, которое было описано выше, называется аксиомой о параллельности прямых .
Перпендикулярность
Прямые можно назвать только в том случае перпендикулярными , если они пересекаются под углом, равным 90 градусов.
В пространстве через некоторую точку на прямой можно провести бесконечное множество перпендикулярных прямых. Однако, если речь идет о плоскости, то через одну точку на прямой можно провести единственную перпендикулярную прямую.
Скрещенные прямые. Секущая
Если некоторые прямые пересекаются в некоторой точке под произвольным углом, их можно назвать скрещивающимися .
У любых скрещивающихся прямых есть вертикальные углы и смежные.
Если у углов, которые образованы двумя скрещивающимися прямыми, одна сторона общая, то они называются смежными:
Смежные углы в сумме дают 180 градусов.