Круг мора для первого типа напряженного состояния. Прямая задача в плоском напряженном состоянии. Круг напряжений (круг Мора). в общем случае напряженного состояния

Мора Текст: Елена Косачева (припев из народной песни) Летят кони Стрибога - ветер в гриву, Перуна подкова - пропасть под молнией, Кони Даждьбога дождем резвятся, И конь коней - корона на небе. Жаркой волной - в глаза жрице, Железом каленым - жрице к запястьям, Звездами

Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.

Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)

На площадках, параллельных s 1 , (рис. 4.12, а), напряжения зависят только отs 2 иs 3 и не зависят отs 1 , т. к.
, тогда согласно (4.18)

Круг Мора, соответствующий этому случаю, представлен на рис. 4.13 кругом «а».

Напряжения в семействе площадок, параллельных s 2 , определяются по кругу «б», а в семействе площадок, параллельныхs 3 – с помощью круга «в».

В теории упругости доказывается, что площадкам общего положения соответствуют точки, лежащие в заштрихованной области (рис. 4.13).

Из представленного рисунка следует, что наименьшее и наибольшее нормальные напряжения равны наименьшему и наибольшему главным напряжениям
,
.

Наибольшие касательные напряжения равны радиусу наибольшего круга

и действуют по площадке, равнонаклонённой к площадкам максимального и минимального из главных напряжений (
).

Деформации при объемном напряженном состоянии .

Обобщенный закон Гука

Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы.

Изучая центральное растяжение, сжатие, было установлено, что относительные продольная и поперечная деформации определяются выражениями

,
(4.12)

Эти равенства выражают закон Гука при простом растяжении или сжатии, т.е. при линейном напряженном состоянии (рис. 4.14).

Рассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния.

Применяя принцип суперпозиции, объемное напряженное состояние изобразим как сумму трех линейных напряженных состояний (рис. 4.15). В этом случае деформацию по направлению первого главного напряженияs 1 можно записать
,где , , - относительные удлинения в

направлении s 1 , вызванные соответственно действием только

напряжениями s 1 ,s 2 ,s 3 .

Поскольку является для напряженияs 1 продольной деформацией, а , - поперечными деформациями, то из формул (4.12) следует:

,
,
. (4.13)

Складывая эти величины, получим .

Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате

(4.14)

.

Эти формулы носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела, т. е. определяют зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния. Из этих формул легко получить закон Гука для плоского напряженного состояния. Например,
:

Выражения (4.14) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям.

При выводе аналитического выражения обобщенного закона Гука в этом случае будем

исходить из условия, что угловые деформации не зависят от нормальных напряжения, а ли-нейные деформации не зависят от касательных напряжений. В этом случае относительное удлинение по направлению оси х будет обусловлено напряжением σ х и равно. Напряжениям
в этом направлении будут соответствовать удлинения
и
.По аналогии получим такие же выражения дляи.

Таким образом,

(4.15)

.

Угловые деформации определяются соответствующими касательными напряжениями

(4.16)

Совокупность деформаций, возникающих по различн ым направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называетсядеформированным состоянием в точке.

Наряду с линейной и угловой деформацией в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда и объёмную деформацию, т.е., относительное изменение объема в точке. Линейные размеры ребер элементарного параллелепипеда
в результате деформации меняются и становятся равными. Абсолютное приращение объёма определится разностью

-
.

Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций, как величинами второго порядка малости, получим

.

Относительное изменение объёма обозначается буквой е и определится из отношения

е

.

Заменив деформации их выражениями по закону Гука, получим

e
(4.17)

Это соотношение на ряду с формулами (4.14)-(4.16) относится к обобщенному закону Гука.

4.8 Потенциальная энергия деформации

в общем случае напряженного состояния

Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объёме, определяется суммой работ сил, распределённых по поверхности этого объёма (рис.4.16). Нормальная сила
на грани перпендикулярной осих
, равную

, где- относительная линейная деформация вдоль осих , вызванная всеми действующими силами.

Аналогичные работы совершат и остальные нормальные силы, действующие по граням перпендикулярным осям у и х :
,
.

Касательная сила dxdzна площадке перпендикулярной осиy совершит работу на перемещении
, равную
. Аналогичные выражения работ дают и касатель-

альной энергией и будет равна

Используя выражения закона Гука для деформаций (4.15), (4.16), окончательно полу-чим (4.18)

Для главных напряжений . (4.19)

Обратная задача.

Прямая задача

Построение кругов Мора

Графический метод исследования напряженного состояния в точке.

Можно оказать, что уравнения , представляют уравнение окружности в параметрической форме. Поэтому для графического метода исследования напряженного состояния используются круги напряжений, называемые кругами Мора.

В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи:

Прямая задача: в точке известны положение главных площадок и соответствующие им главные напряжения, требуется определить нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным к главным под углом a.

Обратная задача: в точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, требуется определить главные напряжения и положение главных площадок.

Рассмотрим решение этих задач графическим методом

Аналитическое решение прямой задачи определяется формулами (4.6) – (4.9).

Для графического решения строится на плоскости в координатах s-t круг Мора

(рис. 4.9) в следующей последовательности.

Из крайней левой точки (В) круга проводим луч, параллельный внешней нормали к рассматриваемой площадке, т.е. под углом a к оси s. Точка пересечения этого луча с окружностью (D a) имеет своими координатами отрезки D a K a и OK a , численно равные касательному t a и нормальному s a напряжениям, действующим на рассматриваемой площадке.

Точка D b , лежащая на противоположном конце диаметра от точки D a , характеризует напряжения s β и t b , действующие по наклонной площадке, перпендикулярной к первой.

Выполненные преобразования проведены с учетом, что 1+cos2α = 2cos 2 α., 1-cos2α = 2sin 2 α.

Полученные выражения для s a , s b , τ α и τ β полностью совпадают с аналитическими формулами (4.6) - (4.9).

В заключение следует отметить, что каждая точка круга Мора имеет своими координатами напряжения, действующие на соответствующей площадке, следовательно, зная главные напряжения для плоского напряженного состояния, можно с помощью круга Мора определить напряжения, действующие на различных площадках, проходящих через данную точку. Максимальное касательное напряжение соответствует точке D c и равно радиусу круга.

Довольно часто приходится решать обратную задачу, т. е. по напряжениям на произвольных площадках s a , t a , s b , t b определять величину и направление главных напряжений. Проще эта задача решается графически, т. е. с помощью круга Мора (рис. 4.10). Рассмотрим порядок его построения.

Прямоугольную систему координат s, t выберем так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из нормальных напряжений (пусть s a >

параллельна большему из нормальных напряжений (пусть s a > s b). На оси s отложим в выбранном масштабе отрезки ОК a , ОК b , численно равные s a и s b . Из точек К a и К b проведем перпендикуляры К a D a , К b D b , которые численно равны соответственноt a и τ β (К a D a = t a , К b D b = τ β = - t a). На отрезке D a D b , как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осью s обозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s 1 , ОВ=s 2 – главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

Из рис.6.10 определим радиус круга R и величину отрезка ОС (4.12)

C учетом выражений (4.12) , (4.13) получим следующие формулы для главных напряжений

ОА= σ I = ОС + R = + (4.14)

ОВ = σ II = ОС – R = - (4.15)

Для определения направления главного напряжения s 1 проведем луч через крайнюю левую точку круга В и точку D a ¢, которая симметрична точке D a относительно оси s. Направление луча ВD a ¢ совпадает с направлением s 1 , направление s 2 перпендикулярно ему. Угол a 0 определится из треугольника ВК a D a ¢ (рис. 6.10):

Угол a 0 считается положительным, если его откладывают от оси s против часовой стрелки.

В элементарном параллелепипеде, по граням которого действуют все три главных напряжения, рассмотрим произвольную площадку a, нормаль к которой составляет с координатными осями 1,2,3 углы α 1 α 2 α 3 .(рис. 4. 11). На этой площадке будет действовать полное напряжение р α , составляющее с нормалью n угол α. Определим его проекции на нормаль к площадке - σ α и на саму площадку – τ α .

где- напряжение на рассматриваемой площадке, вызванное действием , а ,- соответственно от напряжений и.Для вычисления этих величин воспользуемся формулой для линейного напряжённого состояния: =, =, =.

С учетом этих значений нормальные напряжения на произвольной площадке определятся равенством

Для вывода формулы касательных напряжений τ α следует рассмотреть его векторную величину . Так как , то .

Опуская выводы, которые следуют из уравнений равновесия рассматриваемой трёх- гранной пирамиды (рис. 3.11), запишем формулу в окончательном виде для вектора полного напряжения на площадке n α:

С учётом этого выражения

В качестве примера рассмотрим напряжения на площадке, равнонаклонённой ко всем главным площадкам. Такая площадка называется октаэдрической, а напряжения, действующие на этой площадке, называются октаэдрическими.

Так как для такой площадки , а учитывая, что всегда

То . Следовательно (4.20)

Так же, как и в случае плоского напряженного состояния, при объемном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная.

Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.

Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)

Прямая задача в плоском напряженном состоянии. Круг напряжений (круг Мора)

Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (3.2) - (3.5).

Проанализируем напряженное состояние, воспользовавшись простым графическим построением. Для этого введем в рассмотрение геометрическую плоскость и отнесем ее к прямоугольным координатным осям и. Порядок расчета опишем на примере напряженного состояния, изображенного на рис. 3.5, а.

Выбрав для напряжений некоторый масштаб, откладываем на оси абсцисс (рис 3.5, б) отрезки

На как на диаметре строим окружность с центром в точке. Построенный круг носит название круга напряжений или круга Мора .

Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Так, для определения напряжения на площадке, проведенной под углом (рис. 3.5, а). из центра круга (рис 3.5, б) проводим луч под углом до пересечения с окружностью в точке (положительные углы откладываем против часовой стрелки). Абсцисса точки (отрезок) равна нормальному напряжению, а ордината ее (отрезок) - касательному напряжению.

Напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем, проведя луч под углом и получив в пересечении с окружностью точку. Очевидно, ордината точки соответствует касательному напряжению, а абсцисса точки - нормальному напряжению.

Проведя из точки линию, параллельную (в нашем случае горизонталь), до пересечения с кругом, найдем полюс - точку. Линия, соединяющая полюс с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряжения на площадке, которой эта точка соответствует. Так, например, линия параллельна главному напряжению. Очевидно, что линия параллельна направлению главного напряжения.

Обратная задача в плоском напряженном состоянии.

При практических расчетах обычно определяют нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, известны напряжения , (рис. 3.6, а). По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.

Сначала решим эту задачу графически. Примем, что >, а >.

В геометрической плоскости в системе координат нанесем точку, с координатами, и точку с координатами,(рис. 3.6, б). Соединив точки и, находим центр круга - точку - и радиусом проводим окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью - отрезки и - дадут соответственно величины главных напряжений и.

Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Проведем из точки линию параллельно линии действия напряжения, т. е. горизонталь. Точка пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс с точками и, получим направления главных напряжений. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.

Рис. 3.6

Используем построенный круг для получения аналитических выражений главных напряжений и:

Формула (3.10) определяет единственное значение угла, на который нужно повернуть нормаль, чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения. Отрицательному значению соответствует поворот по часовой стрелке.

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать и. Если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их следует обозначать и.