Главное напряжение влияет на прочность материала, однако изменяет ее незначительно - в пределах 15%. Поэтому можно с известным приближением считать, что прочность материала определяется лишь наибольшим и наименьшим главными напряжениями Таким образом, расчет прочности в общем случае трехосного напряженного состояния сводится к расчету прочности при двухосном напряженном состоянии.
Для анализа прочности материала при двухосном напряженном состоянии удобно пользоваться кругами Мора, подробно рассмотренными в § 5.3.
Если для какого-либо материала имеются данные о его опасных состояниях при нескольких различных соотношениях между напряжениями то, изображая каждое опасное напряженное состояние при помощи круга Мора, получаем некоторое семейство таких кругов (рис. 1.8). Если к этому семейству кругов провести огибающую, то круги, характеризующие прочное состояние материала, будут располагаться внутри огибающей, а характеризующие опасное состояние - касаться ее.
Уменьшив эти круги в раз (где п - коэффициент запаса) и сохранив масштаб для напряжений, можно получить круги и огибающую, соответствующие допускаемым напряженным состояниям (рис. 2.8).
Для материалов, сопротивление которых сжатию больше, чем растяжению, ординаты огибающей уменьшаются по мере возрастання растягивающих напряжений (см. рис. 1.8). В некоторой точке А (при положительном значении а) огибающая пересекает ось абсцисс. Эту точку можно рассматривать как круг Мора для случая всестороннего равномерного растяжения.
Эксперименты показывают, что при всестороннем равномерном сжатии материал не разрушается, как бы велики ни были сжимающие напряжений. Поэтому огибающая остается незамкнутой и не пересекает ось абсцисс при отрицательных значениях а.
Получение достаточного количества опытных данных для точного построения огибающей затруднительно.
Поэтому практически огибающую, соответствующую допускаемым напряженным состояниям, имеющую криволинейное очертание, заменяют двумя прямыми АВ и АС, которые являются касательными к кругам Мора, построенным по значениям полученным на основании опытов на одноосное растяжение и сжатие (рис. 3.8).
Для того чтобы выяснить, удовлетворяется ли условие прочности в некоторой точке тела при возникающих в ней главных напряжениях и по этим значениям напряжений необходимо построить соответствующий круг Мора.
Если круг будет расположен между прямыми АВ и АС (круг 1 на рис. 3.8), то, следовательно, материал в окрестности рассматриваемой точки имеет избыточную прочность, а если круг будет пересекать эти прямые (круг 2 на рис. 3.8), то этот материал имеет недостаточную прочность, т. е. коэффициент запаса для соответствующего напряженного состояния меньше требуемого. Круг, касающийся прямых АВ и АС (круг 3 на рис. 3.8), характеризует напряженное состояние, которое является допускаемым.
Этот способ проверки прочности материала предложен О. Мором.
Выяснить, удовлетворяет ли данное напряженное состояние условию прочности, можно и не прибегая к построению круга Мора, а воспользовавшись аналитическим выражением условия прочности. Для получения такого выражения построим круг Мора, касающийся прямых А3 и А3", т. е. круг, соответствующий допускаемому напряженному состоянию (этот круг в точке 5 на рис. 4.8 касается прямой А3), и установим соотношение между главными напряжениями в этом состоянии.
Из подобия треугольников 1-2-8 и 6-7-8 (рис. 4.8) находим
Подставляем эти значения в уравнение (а):
откуда после преобразований получаем
Следовательно, условие прочности имеет вид
Условие (9.8) выражает упрощенную теорию Мора, в которой предельные (или допускаемые) огибающие заменены прямыми, проведенными по известным значениям опасных (или допускаемых) напряжений при простом растяжении и сжатии.
Теория прочности Мора широко используется при расчетах конструкций из хрупких материалов. Для пластичных материалов допускаемые напряжения на одноосное растяжение и сжатие одинаковы и теория прочности Мора совпадает с третьей теорией прочности. Поэтому теорию прочности Мора иногда рассматривают как обобщение третьей теории применительно к хрупким материалам, неодинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию. Заметим, что при огибающая кругов Мора, соответствующих предельным (или допускаемым) напряженным состояниям, параллельна оси а.
Недостатком теории прочности Мора (так же как и третьей теории) является пренебрежение влиянием промежуточного главного напряжения
Кроме того, следует иметь в виду, что, по существу, она применима для случаев таких напряженных состояний, для которых т. е. главные круги Мора (т. е. круги, построенные на главных напряжениях ) располагаются между кругами, соответствующими одноосному растяжению и одноосному сжатию, использованными при выводе условия прочности (9.8).
Перечислим наиболее известные в сопротивлении материалов теории прочности.
- Первая теория прочности - Теория наибольших нормальных напряжений .
- Вторая теория прочности - Теория наибольших деформаций .
- Третья теория прочности - Теория наибольших касательных напряжений .
- Четвертая теория прочности (энергетическая) - Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения .
- Теория прочности - (иногда говорят - V теория прочности).
Из всех вышеперечисленных теорий прочности наиболее полной, точной и всеобъемлющей является теория Мора. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Теория наибольших нормальных напряжений и теория наибольших деформаций подходит только для прочностного анализа хрупких материалов, причём только для каких-то определённых условий нагружения, если требовать повышенную точность расчёта. Вот поэтому первые две теории прочности сегодня применять не рекомендуется. Результаты теории наибольших касательных напряжений и теории наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения можно получить в некоторых частных случаях нагружения при применении теории Мора.
Общие положения теории прочности
В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных
механических состояниях: упругом, пластическом и в состоянии разрушения. Под предельным подразумевают такое напряженное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала - переход от одного механического состояния к другому. Для пластических материалов предельным считается напряженное состояние, соответствующее заметным остаточным деформациям, а.для хрупких - такое, при котором начинается разрушение материала
.
При линейном напряженном состоянии предельное значение единственного в
этом случае главного напряжения может быть непосредственно определено из опыта (σ т - для пластических материалов и σ в - для хрупких). Поэтому оценка прочности в этом частном случае проста. В случае сложного напряженного состояния (объемного или плоского) при оценке прочности необходимо учитывать наличие двух или трех отличных от нуля главных напряжений. При этом опасное состояние материала
зависит не только от величии главных напряжений, но и от соотношений между ними.
Из-за невозможности экспериментального определения критериев опасного состояния материала при сложном напряженном состоянии пользуются гипотезами, формулирующими условия перехода материала в опасное состояние. Па основании таких гипотез построены теории прочности. Эти теории исходят из предпосылок о том, что сложное и линейное напряженные состояния считаются эквивалентными (по прочности), если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся опасными. Поэтому оценка прочности материала при любом напряженном состоянии основывается на результатах опытов
при простом растяжении (сжатии), и исследуемое напряженное состояние сравнивается с линейным. Для материалов с выраженной пластичностью за опасное (предельное) состояние принимается такое, при котором начинают развиваться остаточные деформации. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным считается такое состояние, которое предшествует началу появления трещин.
Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет
вид:
σ пр ≤ [R], или σ пр ≤ [σ]
где σ пр - расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном состоянии.
Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в
зависимости от принимаемых гипотез.
Первая теория прочности - теория наибольших нормальных напряжений.
Теория наибольших нормальных напряжений - основана на гипотезе о том, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения,
соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
σ пр I ≤ σ 1 или σ пр I ≤ | σ 3 |
$$ \sigma_{пр}^{I}= \frac{\sigma_x + \sigma_y}2+\frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}} $$
Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хрупких материалов и лишь в тех случаях, когда все три главные напряжения не однозначны и различны по величине.
Вторая теория прочности
Вторая теория прочности - теория наибольших относительных удлинений исходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относительных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.
В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
$$\sigma_{пр}^{II} = \sigma_1 – \mu\cdot (\sigma_{2} + \sigma_{3})$$
при плоском напряженном состоянии:
$$\sigma_{пр}^{II} = \frac{1 – \mu}{2} (\sigma_{x}+\sigma_{y})+\frac{1+\mu}{2}\sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}}$$
Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объясняется не учетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории прочности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с σ макс , втотой - с ε макс ). Поэтому эти теории рассматриваются только как грубое приближение к действительной картине разрушения.
Третья теория прочности
Третья теория прочности - теория наибольших касательных напряжении . В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния - сложное и линейное - эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
$$\sigma_{пр}^{III} = \sigma_1 – \sigma_{3})$$
При плоском напряженном состоянии
$$\sigma_{пр}^{III} = \sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}}$$
Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а также разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.
Четвертая теория прочности - энергетическая.
Энергетическая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения) исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:
$$\sigma_{пр}^{IV} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2}$$
или в частном случае при σ y
= 0, полагая σ x
= σ
, τ xy = τ
$$\sigma_{пр}^{IV} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$
Для частного случая чистого сдвига (σ= 0):
$$\sigma_{пр}^{IV} = \tau\sqrt{3}$$
Четвертая теория прочности отображает наступление текучести. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.
Четвертую теорию прочности часто называют теорией октаэдрических касательных напряжений (октаэдрические касательные напряжения в общем случае определяются по формуле \tau_{окт} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{(\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2} и к началу развития пластических деформаций при простом растяжении они равны \tau_{окт} = \frac{\sqrt{2}}{3}\sigma_{т}).
Прочность горных пород. Критерии прочности
Разрушение пород - определяющий процесс горной технологии, Действительно, нельзя добыть полезное ископаемое, предварительно его не разрушив. Однако проблема прочности очень сложна и далеко не однозначна. Например, хрупкие породы при определенной нагрузке «взрывоподобно» распадаются на части, а влажные глины сохраняют свою сплошность при любом механическом воздействии. В то же время, очевидно, что прочность глин существенно ниже прочности скальных пород, Поэтому для различных твердых тел применяют различные критерии прочности.
1. Критерий наибольших нормальных напряжений является исторически первым частным критерием, сформулированным еще Галилеем. В соответствии с этим критерием разрушение тела определяется максимальным (предельным) нормальным напряжением
Критерий справедлив при одноосном растяжении хрупких пород, Как всякое напряжение, прочность измеряется в Па или.
2. Критерий наибольших удлинений (критерий Мариотта) определяет разрушение предельной для данного тела величиной относительной деформации
Данный критерий справедлив только при упругих деформациях, тогда и Окончательно критерий запишется в виде
3. Критерий наибольших касательных напряжений (критерий Кулона) справедлив при пластическом деформировании тел
При этом касательное напряжение достигает максимального значения в площадке под углом в 45° к линии действия нормального сжимающего напряжения и составляет Тогда
4. Энергетический критерий принимает в качестве условия разрушения предельную для данного тела величину накопленной потенциальной энергии. Рассматривая удельную энергию как, для трехмерного случая можно получить
5. Критерий Мора определяется зависимостью предельных касательных и нормальных напряжений
Данный критерий широко применяется в инженерных расчетах, поэтому рассмотрим его более детально.
Разрушение горных пород в реальных процессах всегда происходит в условиях сложного напряженного состояния, т.е. при различном сочетании нормальных и касательных напряжений. Рассмотрим плоскую задачу (рис,3.8). Пусть элементарный объем горной породы разрушается под действием напряжений и. Тогда в любой произвольной площадке под углом действуют разрушающие напряжения и. Для определения их величины производится построение круга напряжений Мора. На разнице векторов и, как на диаметре, производится построение окружности и проводится луч под углом, соответствующим углу наклона выделенной площадки. Точка пересечения луча с кругом напряжений Мора даст величину действующих в данной площадке напряжений.
Для определения разрушающих напряжений в любом сложном напряженном состоянии требуется построить бесконечное множество кругов напряжений Мора (рис. 3.9). На данном рисунке приведены наиболее характерные предельные круги напряжений Мора. Всю их совокупность можно описать некоторой огибающей, которая и будет характеризовать прочность горной породы в любом сложном напряженном состоянии.
Рис. 3.8. Диаграмма напряжений Мора
Рис. 3.9. Огибающая кругов напряжений Мора: 1- объемное растяжение; 2- одноосное растяжение, 3- растяжение со сжатием; 4- одноосное сжатие; 5- всестороннее неравномерное сжатие
Это означает, что точки на огибающей соответствуют сочетанию нормальных а и касательных т напряжений, при которых происходит разрушение горной породы. Все точки внутри огибающей соответствуют напряжениям, которые данная горная порода способна выдержать без разрушения.
Таким образом (как видно из чертежа), разрушение горной породы наступает тогда, когда либо касательные напряжения превысят величину, определяемую огибающей кругов напряжений Мора, либо нормальные растягивающие напряжения превысят определенный предел. Отсюда следует важный вывод: разрушить горную породу чистым сжатием невозможно. Действительно, при сжатии происходит сближение атомов, реакция отпора может возрастать до бесконечности без разрушения связи между частицами, образующими кристаллическую решетку.
Согласно этой теории нарушение прочности происходит тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.
В первоначальной формулировке теории Мора вопрос о характере разрушения остается открытым; в зависимости от того, какой будет эта неблагоприятная комбинация, речь может идти о наступлении текучести или о разрушении в прямом смысле слова. Запишем условие прочности по Мору следующим образом:
В плоскости это уравнение изображается некоторой кривой (рис. 265). Для суждения о прочности необходимо рассмотреть всевозможные площадки, проходящие через данную точку, и проверить, будет ли выполнено равенство (182.1) хотя бы на одной из них.
Каждой площадке соответствует точка с координатами на плоскости чертежа, совокупность этих точек заполняет некоторую фигуру. Покажем, что кривая, ограничивающая снаружи эту фигуру, является кругом Мора, построенным на напряжениях . Действительно, точки этого круга изображают напряженные состояния на площадках, параллельных оси следовательно, принадлежат искомой фигуре. Теперь нам достаточно показать, что точка М, находящаяся вне круга Мора, построенного на напряжениях не может изображать напряженного состояния на какой-либо площадке.
Для доказательства предположим противное. Тогда отрезок МС больше радиуса круга Мора и мы имеем следующее неравенство:
Здесь - координаты точки М.
После элементарных преобразований это неравенство примет следующий вид:
По предположению являются нормальным и касательным напряжениями на некоторой площадке. Пусть направляющие косинусы ее нормали по отношению к главным осям будут Тогда по формулам § 39
Внеся эти выражения для s и в неравенство (181.2), получим:
Но направляющие косинусы связаны условием
Поэтому первая скобка равна . Сокращая эту величину, придем окончательно к следующему неравенству:
Но это неравенство невозможно. Действительно, левая часть представляет собою квадратный трехчлен относительно корни этого трехчлена . Так как при трехчлен равен то при и трехчлен положителен, следовательно, при , он должен быть отрицателен, а по определению является средним по величине напряжением.
Следовательно, способ проверки прочности оказывается таким же, как в предыдущем параграфе: на напряжениях , строится круг Мора, прочность обеспечена в том случае, когда этот круг не пересекает предельную кривую.
Вид предельной кривой находится из опыта. Для различных напряженных состояний, соответствующих условию разрушения, строятся круги Мора. Предельная кривая будет их огибающей. Как уже неоднократно указывалось, опытные данные по разрушению относятся главным образом к плоскому напряженному состоянию. Если известны разрушающие напряжения при растяжении, сжатии и чистом сдвиге, мы можем с достаточной степенью надежности построить участок предельной кривой, позволяющей судить о прочности во всех случаях плоского напряженного состояния. Действительно, при плоском напряженном состоянии, если то в противном случае было бы и напряженное состояние не было бы плоским; случай же, когда , невозможен, тогда . Поэтому для плоского напряженного состояния круг Мора, построенный на напряжениях либо заключает в себе начало координат, либо проходит через него.
Построим круги Мора, соответствующие предельному состоянию при растяжении, при сжатии и при чистом сдвиге, как показано на рис. 266. Огибающая этих кругов АВ представляет собою часть предельной кривой, которая определяется, таким образом, достаточно надежно. Предельные круги Мора для всех возможных плоских напряженных состояний будут, в соответствии с вышесказанным, касаться предельной кривой на участке АВ. Для того чтобы продолжить предельную кривую влево, необходимо иметь опытные данные испытаний при наложенном всестороннем сжатии. Такие опыты производились многократно, и соответствующие результаты имеются. Продолжение кривой вправо от точки В носит гипотетический характер, следует ожидать, что она пересекает ось в точке .
Абсцисса этой точки представляет собою сопротивление отрыву при всестороннем растяжении, то есть при полном отсутствии пластической деформации. Форма кривой вблизи точки D совершенно неизвестна.
У хрупких материалов обычно сопротивление сжатию больше, чем сопротивление растяжению, соответствующие величины проще всего находятся из опыта. Для расчета на прочность в условиях плоского напряженного состояния в первом приближении можно заменить кривую прямой, касающейся предельных кругов Мора для растяжения и для сжатия. Действительная кривая, как показано на рис. 266, направлена выпуклостью вверх, поэтому сделанное допущение идет в запас прочности.
Рассматривая всевозможные круги Мора, касающиеся прямой АВ (рис. 267), мы найдем, что величины , для этих кругов связаны линейным соотношением. Действительно, из подобия треугольников ОАВ и КСВ следует:
Так как - радиус круга Мора, отрезки АО, ОВ и АВ фиксированы заданием предельной прямой, то вышеприведенная пропорция принимает следующий вид:
Но это есть линейное соотношение между а, и которое можно записать следующим образом:
(182.3)
При растяжении и в предельном состоянии временное сопротивление при растяжении); поэтому . При сжатии и в предельном состоянии - временное сопротивление при сжатии); поэтому . Условие достижения предельного состояния (182.3) запишется следующим образом:
Вводя запас прочности, получим следующее условие прочности:
(182.4)
Условие (182.4) справедливо как для хрупких, так и для пластических материалов, так как при оно превращается в условие Треска.
Нужно помнить, что применение формулы (182.4) обосновано только для плоского напряженного состояния, так как всякая экстраполяция линейной формулы для уравнения предельной кривой сомнительна.
Недостатком теории Мора является то, что в ней не учитывается роль среднего напряжения . Для пластических материалов условие Мора переходит в условие Треска, а мы видели, что достижение пластического состояния лучше предсказывается условием Мизеса, содержащим все три главных напряжения. Действительно, если построить круги Мора для различных предельных состояний, не ограничиваясь растяжением, сжатием и чистым сдвигом, как это показано на рис. 266, то окажется, что, строго говоря, огибающей провести нельзя.
Развивая ту же идею, которая заставила перейти от условия пластичности. Треска к условию Мизеса, можно предположить, что предельное состояние достигается тогда, когда возникает неблагоприятная комбинация октаэдрического касательного и октаэдрического нормального напряжений. Условие (182.1) при этом заменяется следующим:
Здесь (см. § 41)
Соответствующие теории развивались Шлейхером (1926 г.), Ю. И. Ягном (1931 г.), П. П. Баландиным (1937 г.). Для получения расчетных формул целесообразно задаться некоторым аналитическим выражением для функции что и было сделано упомянутыми авторами. По-видимому, теории такого типа лучше отвечают опытным данным, чем теория Мора.