7 однородная система линейных уравнений. Системы линейных однородных уравнений. Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений

Линейное уравнение называется однородным , если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема . Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных .

Доказательство : Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1 : Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство : Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2 : Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство : Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Однородная система линейных алгебраических уравнений .

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A (n. Всякая лин. комбинация

решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.

Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме

общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

7.Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка. Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства - это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если - базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, наверняка, системы уравнений. Но не многие знают, что существует несколько способов их решения. Сегодня мы подробно разберём все методы решения системы линейных алгебраических уравнений, которые состоят более чем из двух равенств.

История

На сегодняшний день известно, что искусство решать уравнения и их системы зародилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Однако равенства в их привычном для нас виде появились после возникновения знака равенства "=", который был введён в 1556 году английским математиком Рекордом. Кстати, этот знак был выбран не просто так: он означает два параллельных равных отрезка. И правда, лучшего примера равенства не придумать.

Основоположником современных буквенных обозначений неизвестных и знаков степеней является французский математик Однако его обозначения значительно отличались от сегодняшних. Например, квадрат неизвестного числа он обозначал буквой Q (лат."quadratus"), а куб - буквой C (лат. "cubus"). Эти обозначения сейчас кажутся неудобными, но тогда это был наиболее понятный способ записать системы линейных алгебраических уравнений.

Однако недостатком в тогдашних методах решения было то, что математики рассматривали только положительные корни. Возможно, это связано с тем, что отрицательные значения не имели никакого практического применения. Так или иначе, но первыми считать отрицательные корни начали именно итальянские математики Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в 16 веке. А современный вид, основной метод решения (через дискриминант) был создан только в 17 веке благодаря работам Декарта и Ньютона.

В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Крамер нашёл новый способ для того, чтобы сделать решение систем линейных уравнений проще. Этот способ был впоследствии назван его именем и по сей день мы пользуемся им. Но о методе Крамера поговорим чуть позднее, а пока обсудим линейные уравнения и методы их решения отдельно от системы.

Линейные уравнения

Линейные уравнения - самые простые равенства с переменной (переменными). Их относят к алгебраическим. записывают в общем виде так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b. Представление их в этом виде нам понадобится при составлении систем и матриц далее.

Системы линейных алгебраических уравнений

Определение этого термина такое: это совокупность уравнений, которые имеют общие неизвестные величины и общее решение. Как правило, в школе все решали системы с двумя или даже тремя уравнениями. Но бывают системы с четырьмя и более составляющими. Давайте разберёмся сначала, как следует их записать так, чтобы в дальнейшем было удобно решать. Во-первых, системы линейных алгебраических уравнений будут выглядеть лучше, если все переменные будут записаны как x с соответствующим индексом: 1,2,3 и так далее. Во-вторых, следует привести все уравнения к каноническому виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b.

После всех этих действий мы можем начать рассказывать, как находить решение систем линейных уравнений. Очень сильно для этого нам пригодятся матрицы.

Матрицы

Матрица - это таблица, которая состоит из строк и столбцов, а на их пересечении находятся её элементы. Это могут быть либо конкретные значения, либо переменные. Чаще всего, чтобы обозначить элементы, под ними расставляют нижние индексы (например, а 11 или а 23). Первый индекс означает номер строки, а второй - столбца. Над матрицами, как и над любым другим математическим элементом можно совершать различные операции. Таким образом, можно:

2) Умножать матрицу на какое-либо число или вектор.

3) Транспонировать: превращать строчки матрицы в столбцы, а столбцы - в строчки.

4) Умножать матрицы, если число строк одной их них равно количеству столбцов другой.

Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они пригодятся нам в дальнейшем. Вычитание и сложение матриц происходит очень просто. Так как мы берём матрицы одинакового размера, то каждый элемент одной таблицы соотносится с каждым элементом другой. Таким образом складываем (вычитаем) два этих элемента (важно, чтобы они стояли на одинаковых местах в своих матрицах). При умножении матрицы на число или вектор необходимо просто умножить каждый элемент матрицы на это число (или вектор). Транспонирование - очень интересный процесс. Очень интересно иногда видеть его в реальной жизни, например, при смене ориентации планшета или телефона. Значки на рабочем столе представляют собой матрицу, а при перемене положения она транспонируется и становится шире, но уменьшается в высоте.

Разберём ещё такой процесс, как Хоть он нам и не пригодится, но знать его будет всё равно полезно. Умножить две матрицы можно только при условии, что число столбцов одной таблицы равно числу строк другой. Теперь возьмём элементы строчки одной матрицы и элементы соответствующего столбца другой. Перемножим их друг на друга и затем сложим (то есть, например, произведение элементов a 11 и а 12 на b 12 и b 22 будет равно: а 11 *b 12 + а 12 *b 22). Таким образом, получается один элемент таблицы, и аналогичным методом она заполняется далее.

Теперь можем приступить к рассмотрению того, как решается система линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этой тему начинают проходить еще в школе. Мы хорошо знаем понятие "система двух линейных уравнений" и умеем их решать. Но что делать, если число уравнений больше двух? В этом нам поможет

Конечно, этим методом удобно пользоваться, если сделать из системы матрицу. Но можно и не преобразовывать её и решать в чистом виде.

Итак, как решается этим методом система линейных уравнений Гаусса? Кстати, хоть этот способ и назван его именем, но открыли его ещё в древности. Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом - три неизвестных, во втором - два, в третьем - одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Метод Крамера

Для освоения этого метода жизненно необходимо владеть навыками сложения, вычитания матриц, а также нужно уметь находить определители. Поэтому, если вы плохо всё это делаете или совсем не умеете, придется поучиться и потренироваться.

В чём суть этого метода, и как сделать так, чтобы получилась система линейных уравнений Крамера? Всё очень просто. Мы должны построить матрицу из численных (практически всегда) коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений. Для этого просто берём числа перед неизвестными и расставляем в таблицу в том порядке, как они записаны в системе. Если перед числом стоит знак "-", то записываем отрицательный коэффициент. Итак, мы составили первую матрицу из коэффициентов при неизвестных, не включая числа после знаков равенства (естественно, что уравнение должно быть приведено к каноническому виду, когда справа находится только число, а слева - все неизвестные с коэффициентами). Затем нужно составить ещё несколько матриц - по одной для каждой переменной. Для этого заменяем в первой матрице по очереди каждый столбец с коэффициентами столбцом чисел после знака равенства. Таким образом получаем несколько матриц и далее находим их определители.

После того как мы нашли определители, дело за малым. У нас есть начальная матрица, и есть несколько полученных матриц, которые соответствуют разным переменным. Чтобы получить решения системы, мы делим определитель полученной таблицы на определитель начальной таблицы. Полученное число и есть значение одной из переменных. Аналогично находим все неизвестные.

Другие методы

Существует ещё несколько методов для того, чтобы получить решение систем линейных уравнений. Например, так называемый метод Гаусса-Жордана, который применяется для нахождения решений системы квадратных уравнений и тоже связан с применением матриц. Существует также метод Якоби для решения системы линейных алгебраических уравнений. Он легче всех адаптируется для компьютера и применяется в вычислительной технике.

Сложные случаи

Сложность обычно возникает, если число уравнений меньше числа переменных. Тогда можно наверняка сказать, что, либо система несовместна (то есть не имеет корней), или количество её решений стремится к бесконечности. Если у нас второй случай - то нужно записать общее решение системы линейных уравнений. Оно будет содержать как минимум одну переменную.

Заключение

Вот мы и подошли к концу. Подведём итоги: мы разобрали, что такое система и матрица, научились находить общее решение системы линейных уравнений. Помимо этого рассмотрели другие варианты. Выяснили, как решается система линейных уравнений: метод Гаусса и Поговорили о сложных случаях и других способах нахождения решений.

На самом деле эта тема гораздо более обширна, и если вы хотите лучше в ней разобраться, то советуем почитать больше специализированной литературы.

6.3. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть теперь в системе (6.1) .

Однородная система всегда совместна. Решение ( ) называется нулевым , или тривиальным .

Однородная система (6.1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг () меньше числа неизвестных. В частности, однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, обладает ненулевым решением тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Поскольку на этот раз все , вместо формул (6.6) получим следующие:

(6.7)

Формулы (6.7) содержат любое решение однородной системы (6.1).

1. Совокупность всех решений однородной системы линейных уравнений (6.1) образует линейное пространство.

2. Линейное пространство R всех решений однородной системы линейных уравнений (6.1) с n неизвестными и рангом основной матрицы, равным r , имеет размерность n – r .

Любая совокупность из (n – r ) линейно независимых решений однородной системы (6.1) образует базис в пространстве R всех решений. Она называется фундаментальной совокупностью решений однородной системы уравнений (6.1). Особо выделяют «нормальную» фундаментальную совокупность решений однородной системы (6.1):

(6.8)

По определению базиса, любое решение Х однородной системы (6.1) представимо в виде

(6.9)

где – произвольные постоянные.

Поскольку в формуле (6.9) содержится любое решение однородной системы (6.1), то она дает общее решение этой системы.

Пример.

Система m линейных уравнений c n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

где а ij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n ) - заданные числа; х i – неизвестные.

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как r (А) = r (). Она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное ) решение (0; 0; …; 0).

Рассмотрим при каких условиях однородные системы имеют ненулевые решения.

Теорема 1. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы r меньше числа неизвестных n , т.е. r < n .

□ 1). Пусть система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r ≤ n . Пусть r = n . Тогда один из миноров размера n n отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: , , . Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n .

2). Пусть r < n . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределённой. Значит, она имеет бесконечное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения. ■

Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений c n неизвестными:

(2)

Теорема 2. Однородная система n линейных уравнений c n неизвестными (2) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю: = 0.

□ Если система (2) имеет ненулевое решение, то = 0. Ибо при система имеет только единственное нулевое решение. Если же = 0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r < n . И, значит, система имеет бесконечное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения. ■

Обозначим решение системы (1) х 1 = k 1 , х 2 = k 2 , …, х n = k n в виде строки .

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если строка - решение системы (1), то и строка - решение системы (1).

2. Если строки и - решения системы (1), то при любых значениях с 1 и с 2 их линейная комбинация - тоже решение системы (1).

Проверить справедливость указанных свойств можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Система линейно независимых решений е 1 , е 2 , …, е р называется фундаментальной , если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией этих решений е 1 , е 2 , …, е р .

Теорема 3. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа переменных n , то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из n – r решений.

Поэтому общее решение системы линейных однородных уравнений (1) имеет вид:

где е 1 , е 2 , …, е р – любая фундаментальная система решений системы (9), с 1 , с 2 , …, с р – произвольные числа, р = n – r .

Теорема 4. Общее решение системы m линейных уравнений c n неизвестными равно сумме общего решения соответствующей ей системы линейных однородных уравнений (1) и произвольного частного решения этой системы (1).

Пример. Решите систему

Решение. Для данной системы m = n = 3. Определитель

по теореме 2 система имеет только тривиальное решение: x = y = z = 0.

Пример. 1) Найдите общее и частные решения системы

2) Найдите фундаментальную систему решений.

Решение. 1) Для данной системы m = n = 3. Определитель

по теореме 2 система имеет ненулевые решения.

Так как в системе только одно независимое уравнение

x + y – 4z = 0,

то из него выразим x =4z - y . Откуда получим бесконечное множество решений: (4z - y , y , z ) – это и есть общее решение системы.

При z = 1, y = -1, получим одно частное решение: (5, -1, 1). Положив z = 3, y = 2, получим второе частное решение: (10, 2, 3) и т.д.

2) В общем решении (4z - y , y , z ) переменные y и z являются свободными, а переменная х – зависимая от них. Для того, чтобы найти фундаментальную систему решений, придадим свободным переменным значения: сначала y = 1, z = 0, затем y = 0, z = 1. Получим частные решения (-1, 1, 0), (4, 0, 1), которые и образуют фундаментальную систему решений.

Иллюстрации :

Рис. 1 Классификация систем линейных уравнений

Рис. 2 Исследование систем линейных уравнений

Презентации:

· Решение СЛАУ_матричный метод

· Решение СЛАУ_метод Крамера

· Решение СЛАУ_метод Гаусса

· Пакеты решения математических задач Mathematica, MathCad : поиск аналитического и числового решения систем линейных уравнений

Контрольные вопросы :

1. Дайте определение линейного уравнения

2. Какой вид имеет система m линейных уравнений с n неизвестными?

3. Что называется решением систем линейных уравнений?

4. Какие системы называются равносильными?

5. Какая система называется несовместной?

6. Какая система называется совместной?

7. Какая система называется определенной?

8. Какая система называется неопределенной

9. Перечислите элементарные преобразования систем линейных уравнений

10. Перечислите элементарные преобразования матриц

11. Сформулируйте теорему о применении элементарных преобразований к системе линейных уравнений

12. Какие системы можно решать матричным методом?

13. Какие системы можно решать методом Крамера?

14. Какие системы можно решать методом Гаусса?

15. Перечислите 3 возможных случая, возникающих при решении систем линейных уравнений методом Гаусса

16. Опишите матричный метод решения систем линейных уравнений

17. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений

18. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений

19. Какие системы можно решать с применением обратной матрицы?

20. Перечислите 3 возможных случая, возникающих при решении систем линейных уравнений методом Крамера

Литература :

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Похожая информация.

Однородная система всегда совместна и имеет тривиальное решение
. Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы ранг матрицыбыл меньше числа неизвестных:

Фундаментальной системой решений однородной системы
называют систему решений в виде векторов-столбцов
, которые соответствуют каноническому базису, т.е. базису, в котором произвольные постоянные
поочередно полагаются равными единице, тогда как остальные приравниваются нулю.

Тогда общее решение однородной системы имеет вид:

где
- произвольные постоянные. Другими словами, общее решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

Таким образом, базисные решения могут быть получены из общего решения, если свободным неизвестным поочередно придавать значение единицы, полагая все остальные равные нулю.

Пример . Найдем решение системы

Примем , тогда получим решение в виде:

Построим теперь фундаментальную систему решений:

Общее решение запишется в виде:

Решения системы однородных линейных уравнений имеют свойства:

Другими словами, любая линейная комбинация решений однородной системы есть опять решение.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений интересует математиков несколько столетий. Первые результаты были получены в XVIII веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил новый метод решения, известный как метод исключения.

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Такие системы позволяют последовательно находить все неизвестные в определенном порядке.

Предположим, что в системе (1)
(что всегда возможно).

(1)

Умножая поочередно первое уравнение на так называемые подходящие числа

и складывая результат умножения с соответствующими уравнениями системы, мы получим эквивалентную систему, в которой во всех уравнениях, кроме первого, будет отсутствовать неизвестная х 1

(2)

Умножим теперь второе уравнение системы (2) на подходящие числа, полагая, что

и складывая его с нижестоящими, исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая этот процесс, после
шага мы получим:

(3)

Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна. Обратно, для любой совместной системы числа
равны нулю. Число- это ни что иное, как ранг матрицы системы (1).