Примечание : см. также таблицу значений тригонометрических функций других углов .
Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)
Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны . Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.
45 градусов - это π/4 радиан
. Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны).
То есть, например, tg π/4 = tg 45
градусов
ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°
Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?
Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол ∠ В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.
Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С - прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то
∠
А + ∠
В + ∠
С = 180°
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
∠
А = 180° -∠
С - ∠
В = 180° - 90° - 45° = 45°
Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный , в котором оба катета равны между собой: AC = BC.
Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.
По теореме Пифагора: АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим:
АВ 2 = а 2 + а 2 = 2а 2 ,
тогда АВ=а√ 2.
В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.
Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций . Таким образом для угла α = 45 градусов:
sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC - катет, AB - гипотенуза)
cos α = AC / AB (согласно определению косинуса - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC - катет, AB - гипотенуза)
tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)
Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.
Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45 ) получаем:
Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45 (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.
Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов
Таким образом:
- тангенс 45 градусов равен единице
- синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)
Как видно из вычислений, приведенных выше, для вычисления значений соответствующей тригонометрической функции важны не длины сторон треугольника, а их соотношение, которое всегда одно и то же для одинаковых углов, независимо от размеров конкретного треугольника.
Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан
В задачах, предлагаемых для решения в старших классах и на ЗНО/ЕГЭ вместо градусной меры угла часто встречается указание на его величину, измеренную в радианах. Мера угла, выраженная в радианах, базируется на числе пи, которое выражает зависимость длины окружности от ее диаметра.
Для простоты понимания, рекомендую запомнить простой принцип перевода градусов в радианы . Диаметр окружности охватывает дугу, равную 180 градусам. Таким образом, пи радиан будет равно 180 градусам. Откуда легко пересчитать любую градусную меру угла в радианы и обратно.
Учтем, что угол 45 градусов, выраженный в радианах , равен (180 / 45 = 4) π/4 (пи на четыре). Поэтому найденные нами значения верны для той же самой градусной меры угла, выраженной в радианах:
- тангенс π/4 (пи на четыре) равен единице
- синус π/4 (пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам
Таблица тангенсов — одна из четырех наиболее используемых тригонометрических таблиц в справочнике таблиц Брадиса. Несмотря на то, что тангенс и котангенс являются по-сути производными от синуса и косинуса, часто полезно иметь готовые рассчитанные значения для тангенсов.
Тригонометрические функции и их значение в изучении геометрии
В геометрии особую роль имеют тригонометрические функции, при помощи которых определяют, как относятся между собой стороны и углы прямоугольного треугольника. Конечно, тригонометрия не стоит на месте и со времен Евклида она намного шагнула вперёд и теперь может эти функции могут выражаться через решение дифференциальных уравнений.
В данный момент используются шесть обозначений для основных тригонометрических функций , причем четыре функции из шести, они стоят в ряду последними, можно определять не только с помощью геометрии.
Синус (sin)
Косинус
(cos) 
Тангенс (tg/tan)
Котангенс (ctg/cot)
Секанс
(sec) 
Косеканс (cosec/csc) .
Рассмотрим сам прямоугольный треугольник, обозначения его сторон и углов во всех справочниках, как обычно, стандартные, какой бы стороной он не лежал бы на плоскости.
В этом треугольнике различают три угла, обозначаемые α, β, γ, при этом γ всегда 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла γ, называется гипотенузой, она обозначается буквой С. Угол α, с него начинаются все расчеты, находится напротив стороны а / ВС/, называемой противолежащей к этому углу, и сторона b /АС/, которая находится рядом, подлежит к этому углу и называется прилежащей.
По Евклидовой теории, которая верна до сих пор (и будет верна всегда), суммы углов такого треугольника, который находится в одной плоскости, будет равна 180 или числу π. И значение любого угла будут находиться в пределах между 0 и π /2.
Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.
- Синус α выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть sin α = а: с.
- Косинус α выражается через отношение катета, который прилежит к углу α, и гипотенузы с, cos α = b: с. Кстати, sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α.
- Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b: tg α = а: b.
- Котангенс угла α в соответствии равен ctg α = b: а.
- Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c: b.
- Косеканс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosecα = с: a.
Эти функции можно выразить и через окружность путем задания системы координат. Задаем систему координат с центом в точке О. Угол, на который поворачивается отрезок ОА, изображенный на чертеже, будем считать произвольным, назовем его θ.
Тогда тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Следовательно, если ctg α = b: а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ: cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ: sin θ или 1: tgθ.
Онлайн калькулятор расчета тангенса угла
К основным тригонометрическим функциям относятся: синус, косинус , тангенс, котангенс , секанс и косеканс. Исходя из этого, тангенс угла в тригонометрии определяют как тригонометрическую функцию, которая выражает отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла. Если необходимо определить тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, то его можно вычислить геометрически, так как тангенс в этом случае будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника. Сам термин «тангенс» является заимствованным из латинского языка, его дословный перевод означает «касающийся». Обозначается тангенс латинскими буквами. Тангенс угла х будет обозначен как «tg x», хотя западные математики традиционно обозначают тангенс сокращением от английского слова: тангенс угла х там обозначается как «tan x».
Чему равен тангенс 30 градусов
Исходя из того, что тангенс угла равен отношению синуса угла к косинусу этого же угла, тангенс угла в 30 градусов можно получить, разделив значение синуса угла в 30 градусов на значение косинуса этого же угла. Тангенс будет равен 0.5774.
Чему равен тангенс 60 градусов
Схожим образом вычисляется тангенс угла в 60 градусов: деление синуса угла в 60 градусов на значение косинуса этого же угла дает число 1.7321, которое и является тангенсом 60 градусов.
Чему равен тангенс 45 градусов
Так как значение синуса угла в 45 градусов равно значению косинуса того же угла, значение тангенса угла в 45 градусов, получаемое делением синуса на косинус даёт единицу (тангенс равен 1).
Чему равен тангенс 90 градусов
Тангенс угла в 90 градусов вычислить невозможно, так как косинус угла в 90 градусов равен нулю, а одним из основных правил деления является правило, согласно которому «на ноль делить нельзя», в то время как тангенс в этом случае нужно получить именно делением синуса на косинус, то есть на ноль. Значение тангенса 90 градусов не определяется.
Чему равен тангенс 120 градусов
Схожим образом, вычисляя тангенс угла в 120 градусов, можно получить число -1.7321 (отрицательное), которое и будет тангенсом угла в 120 градусов.
Чему равен тангенс 0 градусов
В силу того, что синус угла в 0 градусов равен нулю, а косинус этого же угла равен 1, тангенс получаем путем деления нуля на единицу, что дает 0. Тангенс 0 градусов, таким образом, равен 0.
Чему равен тангенс 135 градусов
Тангенс 135 градусов равен -1 (минус единице) посредством схожего исчисления.