Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим над полем R тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант, например, многочлен неприводим над полем вещественных чисел, поскольку его дискриминант отрицательный.
Критемрий Эмйзенштейна - признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием - но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий»
Теорема (критерий Эйзенштейна) . Пусть - многочлен над факториальным кольцом R (n >0), и для некоторого неприводимого элемента p выполняются следующие условия:
Не делится на p ,
Делится на p , для любого i от 0 до n- 1,
Не делится на.
Тогда многочлен неприводим над F полем частных кольца R .
Следствие. Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен, где n >1 и p Ї некоторое простое число.
Рассмотрим примеры применения этого критерия, когда R - кольцо целых чисел, а F - поле рациональных чисел.
Примеры :
Многочлен неприводим над Q.
Многочлен деления круга неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на p , а последний коэффициент `амен p и к тому же не делится на то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:
Над кольцом Z целых чисел, первые два многочлена - приводимые, последние два - неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).
Над полем Q рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других - неприводимыми.
Над полем R действительных чисел, первые четыре многочлена - приводимые, но является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена в поле действительных чисел имеет вид. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.
Над полем C комплексных чисел, все пять многочленов - приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен над C может быть разложен на множители вида:
где n - степень многочлена, a - старший коэффициент, - корни многочлена. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над С являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).
Поле Fназывается алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени надFимеет корень вF.
Теорема 5.1 (основная теорема алгебры многочленов). Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Следствие 5 .1.1. НадС существуют неприводимые многочлены только первой степени.
Следствие 5.1.2. Многочленn -ой степени надС имеетn комплексных корней.
Теорема 5.2. Если– комплексный корень многочленаf с действительными коэффициентами, то комплексное сопряженное число- также кореньf .
Следствие 5 .2.1. НадR существуют неприводимые многочлены только первой или второй степени.
Следствие 5.2.2. Мнимые корни многочлена надR распадаются на пары комплексных сопряженных.
Пример5.1. Разложить на неприводимые множители надС и надR многочленx 4 + 4.
Решение. Имеем
x 4 + 4 =x 4 + 4х 2 + 4 – 4х 2 = (x 2 + 2) 2 – 4х 2 = (x 2 – 2х + 2)(x 2 + 2х + 2) –
разложение над R . Найдя обычным способом комплексные корни многочленов второй степени, стоящих в скобках, получаем разложение над С :
x 4 + 4 = (x – 1 – i ) (x – 1 + i ) (x + 1 – i ) (x + 1 + i ).
Пример5.2. Построить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни 2 и 1 +i .
Решение. Согласно следствию 5.2.2, многочлен должен иметь корни 2, 1 –i и 1 +i . Коэффициенты его можно найти по формулам Виета:
1 = 2 + (1 –i ) + (1 +i ) = 4;
2 = 2(1 – i ) + 2(1 + i ) + (1 – i )(1 + i ) = 6;
3 = 2(1 – i )(1 + i ) = 4.
Отсюда f =x 3 – 4x 2 + 6x – 4.
Упражнения.
5.1. Разложите на неприводимые множители над С и надR многочлены:
а) х 3 – 6х 2 + 11х – 6;
б) х 4 – 10х 2 + 1.
5.2. Постройте многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий двойной корень 1 и простой корень 1 – 2i .
6. Многочлены над полем рациональных чисел
Теорема 6.1 (критерий Эйзенштейна). Пусть f = a 0 + a 1 x + … + a n x n – многочлен с целыми коэффициентами. Если существует такое простое числоp , чтоa 0 , a 1 , … , a n -1 делятся наp , a n не делится наp ,a 0 не делится наp 2 , тоf не приводим над полем рациональных чисел.
Упражнение 6.1. Докажите неприводимость надQ многочленов:
а) f = 2х 5 + 3х 4 – 9х 3 – 6х + 3;б)f = 5х 4 + 6х 3 – 18х 2 – 12х + 54.
Теорема
6.2.
Пусть
– несократимая дробь, являющаяся
корнем многочленаf
=
a
0 +
a
1 x
+ … +
a
n
x
n
с целыми коэффициентами. Тогда
a 0 p , a n q ;
f (1) p – q, f (–1) p + q .
Эта теорема позволяет решить задачу отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Для этого определяем все делители свободного члена и старшего коэффициента и строим из них всевозможные несократимые дроби. Все рациональные корни содержатся среди этих дробей. Для их определения можно использовать схему Горнера. Чтобы избежать в ней лишних вычислений, используем утверждение 2) теоремы 6.2.
Пример6.1. Найти рациональные корни многочлена
f = 2х 4 + 7х 3 + 3х 2 – 15х – 18.
Решение. Выписываем все дроби, числители которых p – делители 18, а знаменателиq – делители 2:
1, –1, 2, –2,
3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18, 
,
,
.
Производим их проверку по схеме Горнера:
|
Комментарий |
||||||
|
f (1) = –21 p – q |
||||||
|
f (–1) = –3 p + q |
||||||
|
х 1 = –2 |
||||||
|
х 2 = 3/2 |
||||||
Найдя корень х 1 = –2 и разделив многочлен нах + 2, получили многочлен с новым свободным членом –9 (его коэффициенты подчеркнуты). Числители остальных корней должны быть делителями этого числа, и из списка можно исключить дроби, не удовлетворяющие этому условию. Остальные целые значения исключены, так как не удовлетворяют условию f (1)p – q или f (–1)p + q . Например, для 3 имеемp = 3, q = 1, и не выполняется условиеf (1) = –21p – q (как и второе условие).
Аналогично найдя корень х 2 = 3/2, получили многочлен с новым свободным членом 3 и старшим коэффициентом 1 (когда корень дробный, следует произвести сокращение коэффициентов получившегося многочлена). Ни одно оставшееся число из списка больше не может быть его корнем, и список рациональных корней исчерпан.
Найденные корни следует проверять на кратность.
Если в процессе решения пришли к многочлену второй степени, а список дробей еще не исчерпан, то оставшиеся корни можно найти по обычным формулам как корни квадратного трехчлена.
Упражнение 6.2. Найдите рациональные корни многочлена
а) х 3 – 6х 2 + 15х – 14;
б) х 5 – 7х 3 – 12х 2 + 6х + 36;
в) 2х 4 – 11х 3 + 23х 2 – 24х + 12;
г) 4х 4 – 7х 2 – 5х – 1.
Неприводимый многочлен - многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.
Неприводимый многочлен над полем ― многочлен 
от переменных над полем является простым элементом кольца 
, то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.
Многочлен f над полем F называется неприводимым (простым), если он имеет положительную степень и не имеет нетривиальных делителей (т.е., любой делитель либо ассоциирован с ним, либо с единицей)
Предложение 1
Пусть р – неприводимый и а – любой многочлен кольца F[x]. Тогда либо р делит а , либо р и а – взаимно простые.
Предложение 2
Пусть f ∈ F[x], и степень f = 1, значит, f – неприводимый многочлен.
Например : 1. Возьмем над полем Q многочлен х+1. Его степень равна 1, значит, он неприводим.
2. х2 +1 – неприводим, т.к. не имеет корней
СЛУ. Решение системы. Совместные, несовместные, определенные и неопределенные системы. Эквивалентные системы
Системой линейных уравнений над полем F с переменными х1,…хn называется система вида
а11 х1 + … + a1n xn = b1
………………………..
am1 x1 + … + amn xn = bm
где aik , bi ∈ F, m- количество уравнений, а n - количество неизвестных. Кратко эту систему можно записать так: ai1x1 + … + ain xn = bi (i = 1,…m .)
Эта СЛУ является условием с n свободными переменными х1,….хn.
СЛУ делятся на несовместные (не имеют решений) и совместные (определенные и неопределенные). Совместная система вида называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.
Например: над полем Q
х + у =2 - несовместная система
х – у = 0 - совместная определенная (х, у = ½)
2х + 2у = 2 - совместная неопределенная
Две системы л.у. являются эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают, то есть, любое решение одной системы одновременно является решением другой. Систему, эквивалентную данной, можно получить:
1. заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число.
2. заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы.
Решение СЛУ осуществляется методом Гаусса.
45* Элементарные преобразования систем линейных уравнений (слу). Метод Гаусса.
Опр. Элементарными преобразованиями С.Л.У н-ся следущие преобразования:
1. Умножения одного из системы уравнений системы на ненулевой элемент поля.
2. Прибавления к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на элемент поля.
3. Добавления к системе или исключение из системы ненулевого уравнения 0*х1+0*х2+…+0*хn=0
4. Перемена местами уравнений
Предл. Пусть система (**)получена ил системы (*) с помощью конечного числа. Элемен-ых преобраз-ий. Тогда система (**)~ система(*). (Без док-ва)
Зам. При записи системы линейных уравнений будем использовать матричную запись.
а11 а12 … а1n в1
а21 а22 … а2n в2
………………….... …
Am1 am2 ... amn вn
Примеры: 1) 2х1 – х3 = 1 2 0 -1 1
х1 – х2 – х3 = 0 1 -1 -1 0
3х1 + 2х2 + 4х3 = 2 3 2 4 2
2) 1 0 1 х1=1
0 1 2 х2=2
3) 1 0 1 2 х1+х3=2 х1=2-х3
0 1 -1 3 х2-х3=3 х2=3+х3
Метод Гаусса
Предл. Пусть имеет система (*)
(а) если все свободные члены равны 0 все вк=0 мн-во решений = F n
(b) k вк=0 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 (решений нет)
2. не все aij=0
(a)если в системе есть уравнение вид 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0
(b)если таких уравнений нет b1. Исключим ненулевые уравнения. Найдем самый маленький индекс i1, такой что не все коэф-ты при xij=0.
0……0……….. …. Второй столбец с нулями это i1.
0……0…..*=0….. ….
0……0 ...……… …
1.перестановкой уравнений добьемся, чтобы a1i1 = 0
0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(присваивание) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1
A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. (ступенчатая
0…. 0… а2i1 … 0…..0..0… …. Матрица )
0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….
0 ….0 ..аmi1 ... 0……0…………0 ….
Через конечное число шагов получим либо система содержит уравнение вида 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0либо
0……0 1………….. L1 “прямой ход Гаусса” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “обратный ход
0.......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.........0.... .. Гаусса”
0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1.........0.... ..
.............................. .... ............................................ ..
0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0.........0....0.......1 ..
Переменные xi1, ...... xik назовем главным, остальные свободными.
k=n => c-a определенная
k
2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0
1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1
3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2
Любое комплексное число задает точку плоскости. Аргументы будут располагаться на одной комплексной плоскости, значения ф-ии распложены на другой комплексной плоскости.
F(z)- комплексная ф-я комплексного переменного. Среди комплексных функций комплексного переменного, особо выделяется класс непрерывных ф-ии.
Опр: комплексная ф-я комплексного переменного называется непрерывной, если , такого что, .+
Геометрический смысл в следующем:
Задает в комплексной плоскости круг, с центром в точке z0 и радиусом < . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .
Теорема 1: Многочлен f(z)принад. C(z) непрерывен в любой точке комплексной плоскости.
Следствие: модуль многочлена в поле комплексных чисел является непрерывной функцией.
Теорема 2: - кольцо многочленов с комплексными коэффициентами, тогда такие значения , что .
Теорема 3.(о неограниченном возрастании модуля многочлена):
Основная теорема алгебры:
Любой многочлен над полем комплексных чисел не 0 степени, имеет в поле комплексных чисел хотя бы один корень.
(При доказательстве будем использовать следующие утверждения):
Д-во: 1. Если a n =0, тогда z=0 – корень f(z).
2. если a n 0, , тогда по Теореме 3 , неравенство задает в комплексной плоскости область, лежащую вне круга радиусом S. В этой области корней нет, т.к. следовательно корни многочлена f(z) следует искать внутри области .
Рассмотрим из Т1. следует, что ф-я f(z) является непрерывной. По теореме Вейерштрасса она достигает в некоторой точке замкнутой области своего минимума, т.е. . Покажем, что точка является точкой минимума. Т.к. 0 Е, то , т.к. вне области Е значения ф-ии , то z 0 – точка минимума, на всей комплексной плоскости. Покажем, что f(z 0)=0. Предположим, что это не так, тогда по Лемме Даламбера , получаем противоречие, т.к. z 0 точка минимума.
Алгебраическая замкнутость:
Опр: поле P называется алгебраически замкнутым, если имеет над этим полем хотя бы один корень.
Теорема: поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым. (д-во следует из основной теоремы алгебры).
Поля рациональных и действительных чисел не являются алгебраически замкнутыми.
Разложимость:
Теорема: любой многочлен , над полем комплексных чисел, степени выше 1, разложим в произведение линейных множителей.
Следствие 1. Многочлен степени n, над полем комплексных чисел имеет ровно n корней.
След.2: любой многочлен над полем комплексных чисел степени больше 1, всегда приводим.
Опр: Числа мн-ва С\R, т.е. числа вида a+bi, где b не равно 0- называются мнимыми.
2. Многочлены над полем. НОД двух многочленов и алгоритм Евклида. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность.
Опр. Многочленом (полиномом) от неизвестного х над полем Р наз. Алгебраическая сумма целых не отрицательных степеней х , взятых с некоторым коэффициентом из поля Р .
Где aiÎP или
Многочлены наз. равными , если равны их коэффициенты при соответствующих степенях неизвестных.
Степенью многочлена наз. наибольшее значение показателя неизвестного, коэффициент при котором отличен от нуля.
Обозначается: N(f(x))=n
Множество всех многочленов над полем Р обозначается: Р[x].
Многочлены нулевой степени совпадают с элементами поля Р , отличными от нуля - нулевой многочлен, его степень неопределенна.
Операции над многочленами.
1. Сложение.
Пусть n³s, тогда , N(f(x)+g(x))=n=max{n,s}.
<P[x],+>
- операция сложения выполнима и однозначность следует из однозначности сложения элементов поля
- ассоциативность
- нулевой элемент
- многочлен противоположный данному
- коммутативность
2. Умножение.
Исследуем алгебраическую структуру <P[x],*>
- операция выполнима, т.к. поле выполняется операция умножения. Однозначность следует из однозначности операций в поле Р .
- ассоциативность
- единичный многочлен
- обратимыми являются только многочлены в нулевой степени
<P[x],*> - полугруппа с единичным элементом (маноид)
Выполняются дистрибутивные законы, следовательно, <P[x],+,*> - коммутативное кольцо с единицей.
Делимость многочленов
Опр: многочлен f(x), f(x)ÎP[x], P – поле делится на многочлен g(x), g(x)≠0, g(x)ÎP[x], если существует такой многочлен h(x)ÎP[x], что f(x)=g(x)h(x)
Свойства делимости:
Пример: , делим столбиком НОД=(x+3 )
Теорема о делении с остатком:
Для любых многочленов f(x), g(x)ÎP[x],
cущес-ет единственный многочлены q(x
) и r(x)
такие что f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x))
Идея док-ва: в существовании рассматриваем два случая n
Опр: f(x) и g(x), f(x), g(x)ÎP[x], h(x)ÎP[x] называется НОД f(x) и g(x) если
Алгоритм Евклида
Запишем процесс последовательного деления
f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)
g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)
r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) и т.д.
r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)
r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)
НОД(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)
Идея доказательствава: показываем, что 1) f(x) :(нацело)d(x ) и g(x ):(нацело)d(x); 2) f(x ):(нацело)h(x ) и g(x) :(нацело)h(x) показываем, что d(x):(нацело)h(x ).
Линейное представление НОД
Т: если d(x ) - НОД многочленов f(x) и g(x ), то существуют такие многочлены v(x) и u(x)ÎP[x], что f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x ).
Опр: f(x) и g(x)ÎP[x] всегда имеют общие делители, а именно многочлены нулевой степени, совпадающие с полем Р, если других общих делителей нет, то f(x) и g(x) взаимно просты. (обозначение: (f(x),g(x))=1 )
Т: f(x ) и g(x ) взаимно просты т.и.т.т.к. существуютют такие многочлены v(x) и u(x)ÎP[x], что f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
Свойства взаимно простых многочленов
- (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, то (f(x),g(x)*q(x))=1
- f(x)*g(x):(нацело)h(x) и (f(x),g(x))=1, то g(x):(нацело) h(x)
- f(x):(нацело)g(x), f(x):(нацело)h(x) и (g(x),h(x))=1 , то f(x):(нацело) g(x)*h(x)
Опр: Многочлен f(x), f(x)ÎP[x] называется приводимым над полем Р, если его можно разложить на множители, степени которых больше 0 и меньше степени f(x) т.е.
f(x)=f 1 (x)f 2 (x
), где степени f 1 и f 2 >0,
Приводимость многочленов зависит от поля над которым они рассматриваются. Многочлен неприводим (многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени) над полем Q, и приводим над полем R.
Свойства неприводимых многочленов:
- Многочлен нулевой степени приводим над любым полем
- Если многочлен f(x ) не приводим над полем Р , то и многочлен af(x ) также не приводим над полем Р .
- Пусть даны многочлены f(x) и p(x ) над полем Р , причем p(x ) – неприводим над полем Р , тогда возможны случаи
1) многочлены f(x) и p(x ) взаимно просты
2) f(x ):(нацело)р(x )