Положение плоскости в пространстве может быть определено на чертеже одним из следующих способов:
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 35 ).
2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой (рис. 36 ).
3. Двумя пересекающимися прямыми (рис. 37) .
4. Двумя параллельными прямыми (рис. 38 ).
5. Плоской фигурой (рис. 39 ).
6. Следами (рис. 40, 41 ).
7. Параметрами плоскости.
 |
|
 |  |
 | |
 |  |
Следы плоскости
Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. След плоскости обозначается той же буквой, что и плоскость с подстрочным знаком, соответствующим имени плоскости проекций, с которой пересекается данная. Если плоскость (назовем ее P ) не параллельна, какой-либо плоскости проекций, то она пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа – горизонтальный P H , фронтальный P V и профильный P W (рис. 40, 41 ). Как и любая прямая, любой след плоскости имеет три проекции, но, для облегчения чтения эпюра, принято обозначать только ту проекцию следа, которая не совпадает с осью проекций. Положение любого следа плоскости, как и любой прямой, определяется положением двух ее точек. Для следов плоскости такими точками могут являться точки, называемые точками схода следов , то есть точки, в которых плоскость пересекает оси координат – P x , P y , P z . Численные значения координат x , y , и z точек схода следов называются параметрами плоскости .
Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено одним из хорошо известных в геометрии элементов. В соответствии с этим плоскость может быть задана одним из шести способов:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;
в) двумя параллельными прямыми;
г) двумя пересекающимися прямыми;
д) плоской фигурой;
е) следами.
Тогда на чертеже (рис. 3.1) соответствующие геометрические объекты (точки, прямые) выглядят в виде проекций.
Рис. 3.1. Безосный двухкартинный комплексный чертеж геометрических объектов, задающих плоскость.
3.2. Плоскости частного и общего положения
3.2.1. Плоскости уровня
Плоскостью уровня называется плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, а следовательно, перпендикулярная двум другим. Тогда проекциями плоскости уровня будут прямые, параллельные соответствующим осям (рис. 3.2), вне зависимости от того, чем задана плоскость. От способа задания плоскости зависит лишь ее проекция на ту плоскость проекций, которой заданная плоскость параллельна.
Плоскость, параллельная П 1 , называется горизонтальной плоскостью уровня (Г ). На рис. 3.2а она задана тремя точками.
Плоскость, параллельная П 2 , называется фронтальной плоскостью уровня (Ф ). Зададим ее параллельными прямыми (рис. 3.2б).
Плоскость, параллельная П 3 , называется профильной плоскостью уровня (Р ). Считаем ее заданной пересекающимися прямыми (рис. 3.2в).
Рис. 3.2. Плоскости уровня на комплексном чертеже.
3.2.2. Проецирующие плоскости
Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Исходя из определения, такая плоскость вырождается в прямую при проецировании на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.
Рис. 3.3. Проецирующие плоскости на комплексном чертеже.
Горизонтально-проецирующей называется плоскость, перпендикулярная П 1 , фронтально-проецирующей – перпендикулярная П 2 , и профильно-проецирующей – плоскость, перпендикулярная П 3 . На чертеже, первая из них задана плоской фигурой (рис. 3.3а), вторая – точкой и прямой (рис. 3.3б), третья - двумя параллельными прямыми (рис. 3.3в).
3.2.3.Плоскости общего положения
Плоскостью общего положения называется плоскость, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей проекций, а значит, расположенная под произвольным углом к каждой из них.
У такой плоскости все проекции будут плоские фигуры (рис. 3.4). 
Рис. 3.4. Плоскость общего положения, заданная треугольником
3.3. Принадлежность точки и прямой плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:
а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;
б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.
3.4. Главные линии плоскости
Главными линиями плоскости называются линии уровня, лежащие в данной плоскости. Рассмотрим построение главных линий плоскости, заданной треугольником (рис. 3.5).
Горизонталь плоскости DАВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h 2 , которая, как известно, параллельна оси ОХ . Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости DАВС , а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А 2 и 1 2 , по линии связи получим горизонтальные проекции 1 1 . Соединив точки А 1 и 1 1 , имеем горизонтальную проекцию h 1 горизонтали плоскости DАВС . Профильная проекция h 3 горизонтали плоскости DАВС будет параллельна оси ОХ по определению.
Фронталь плоскости DАВС строится аналогично (рис. 3.5) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f 1 , так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f 3 фронтали должна быть параллельна оси ОZ .
Профильная линия плоскости DАВС имеет горизонтальную р 1 и фронтальную р 2 проекции, параллельные осям OY и OZ , а профильную проекцию р 3 можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с D АВС .
При построении главных линий плоскости необходимо помнить лишь одно правило: для решения задачи всегда нужно получить две точки пересечения с данной плоскостью.
Рис. 3.5. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником
3.5. Взаимное положение прямых и плоскостей
3.5.1. Параллельность прямых и плоскостей
а). Если прямые параллельны друг другу, тогда параллельны и их одноименные проекции. б). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой - либо прямой, лежащей в этой плоскости
Рис. 3.6. Построение параллельно расположенных геометрических объектов.
Тогда для построения параллельной прямой а (рис. 3.6а) необходимо, чтобы обе ее проекции были параллельны одноименным проекциям прямой (например, АВ ), лежащей в данной плоскости. в) Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые одной плоскости попарно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Для интерпретации этого свойства достаточно дополнить построения на рис. 3.6а еще одной прямой в, пересекающей а и параллельной ВС (рис. 3.6б).
3.5.2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
а). Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, одна из которых фронталь, а другая горизонталь.
Хотя для перпендикулярности вполне достаточно, чтобы указанными пересекающимися прямыми были любые прямые в данной плоскости, однако только горизонталь и фронталь позволяют получить без искажений проекции прямого угла, образованного перпендикуляром к плоскости и фронталью (на П 2) и перпендикуляром к плоскости и горизонталью (на П 1). Тогда очевидно, что горизонтальная проекция этого перпендикуляра расположена под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.
Рис. 3.7. Построение перпендикулярно расположенных геометрических объектов.
б). Плоскости перпендикулярны друг к другу, если одна из них содержит перпендикуляр к другой.
Обратимся к рис. 3.7а, где перпендикуляр g к плоскости уже построен, необходимо через точку D провести произвольную прямую q (рис. 3.7б).
3.6. Позиционные задачи на плоскости
Позиционными называются задачи на определение каких-либо общих элементов геометрических объектов, например, точки пересечения прямой и плоскости, линии пересечения двух плоскостей.
3.6.1. Пересечение прямой и плоскости
Задачу на пересечение прямой и плоскости можно решать с помощью вспомогательной секущей плоскости, которая должна удовлетворять следующим условиям:
а) быть плоскостью частного положения, так как именно плоскость частного положения проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде прямой;
б) проходить через прямую, точку пересечения которой с плоскостью мы отыскиваем.
Рассмотрим сначала частный случай. Пусть плоскость занимает частное положение в пространстве, например, является горизонтально - проецирующей и задана треугольником АВС (рис. 3.8 а). Необходимо найти точку пересечения ее с прямой а , заданной произвольно. Поскольку на П 1 горизонтально–проецирующая плоскость вырождается в прямую S 1 , то горизонтальной проекцией точки пересечения будет К 1 . Далее по линии связи на прямой а 2 (очевидно точка пересечения К принадлежит прямой а) найдем фронтальную проекцию К 2 точки пересечения.
Осталось определить видимые участки прямой а , поскольку на П 2 часть указанной прямой будет закрыта от наблюдателя плоскостью DАВС . Для этого необходимо рассмотреть точку, где пересекаются фронтальные проекции а и какой-либо прямой (например, АС ), лежащей в плоскости DАВС . Обозначим эту точку 1 2 . Но пересекаться прямая а и DАВС могут только в одной точке, которую мы отыскали (К 2). Все остальные точки будут точками, где они скрещиваются. Следовательно, прямая а и АС скрещиваются в пространстве. Значит, все точки, где пересекаются их проекции, будут конкурирующими, а именно 1 2 =2 2 . Тогда на П 1 имеем по линии связи 1 1 ÎА 1 С 1 и 2 1 Î а 1 . Видимой является точка 2, которая принадлежит прямой а . Это сохраняется до точки пересечения К 2 . Затем, естественно, участок прямой а будет невидим (обозначается пунктирной линией) до выхода из-под плоскости DАВС . Теперь задачу можно считать полностью решенной.
Рассмотрим общий случай пересечения прямой и плоскости, когда обе они занимают общее положение в пространстве. Пусть плоскость задана треугольником DАВС . Здесь и в дальнейшем используем задание плоскости в основном треугольником, так как в этом случае решение задачи наиболее наглядно. Необходимо найти точку пересечения произвольно заданной прямой в с DАВС (рис. 3.8, б).
Как указано выше, нужно через прямую в провести плоскость частного положения (например, фронтально-проецирующую). Линия пересечения этой плоскости совпадает с прямой в на П 2, т.е. S 2 =в 2 . Тогда по точкам пересечения 3 2 и 4 2 построим точки 3 1 и 4 1 , а следовательно, и прямую 3 1 4 1 , являющуюся горизонтальной проекцией линии пересечения плоскости S и DАВС . Но так как прямая 34ÌDАВС, то точка К 1 будет горизонтальной проекцией точки пересечения прямой в и DАВС. По ней найдем и фронтальную проекцию К 2 , которая, очевидно, должна быть расположена на в 2 (ведь точка пересечения принадлежит и прямой в и D АВС).
Рис. 3.8. Пересечение прямой и плоскости
Определим видимые участки прямой в на обеих проекциях по конкурирующим точкам. Для определения видимости на П 2 используем фронтально-конкурирующие точки (например, точки 3 2 =5 2 , где скрещиваются в 2 и А 2 В 2). Очевидно, что точка 3 1 ближе к нам, чем точка 5 1 . Следовательно, на П 2 выше 3 2 , тогда в этой точке А 2 В 2 выше, а в 2 лежит под ней. Это верно только до точки пересечения К 2 . Далее, естественно, выше будет в 2 . Аналогично по горизонтально–конкурирующим точкам (например, 6 1 =7 1) определяем, что в точках 6 1 =7 1 прямая В 1 С 1 лежит выше, чем в 1 , так как точка 7 2 расположена выше, чем точка 6 2 . Невидимый участок прямой в обозначаем пунктирной линией.
3.6.2. Пересечение плоскостей. Метод вспомогательных секущих плоскостей
Поскольку линией пересечения двух плоскостей является прямая, то для ее построения необходимо определить лишь две точки пересечения плоскостей.
Для решения указанной задачи применяется метод вспомогательных секущих плоскостей, который заключается в следующем.
Вводятся две дополнительные плоскости, пересекающие заданные. Для каждой дополнительной (вспомогательной) плоскости строим линию ее пересечения с заданными плоскостями. Точка пересечения двух полученных линий и будет точкой пересечения заданных плоскостей. Поскольку дополнительных плоскостей две, то и точек пересечения заданных плоскостей тоже две. Соединяя их, получаем линию пересечения плоскостей. Разумеется, каждая дополнительная плоскость должна занимать частное положение в пространстве, тогда на плоскость проекций, к которой вспомогательная плоскость перпендикулярна, она проецируется в прямую. Иначе, если вспомогательная плоскость занимает общее положение, введение дополнительной плоскости не упрощает решение задачи.
Проиллюстрируем на двух примерах.
Найти линию пересечения двух треугольников АВС и DEF и определить видимость сторон (рис. 3.9). Построим линию пересечения треугольников, воспользовавшись методом дополнительных секущих плоскостей. Для упрощения решения задачи секущие плоскости будем проводить через стороны треугольников.
Рис. 3.9. Пересечение двух треугольников
Пусть дополнительная горизонтально–проецирующая плоскость S проходит через сторону DE . Тогда S 1 = D 1 E 1 . Это и есть горизонтальная проекция линии пересечения S с DАВС и DDEF . Построим фронтальную проекцию. Для DDEF таковой является, очевидно, D 2 E 2 . Для DАВС по горизонтальным проекциям 1 1 и 2 1 точек пересечения найдем их фронтальные проекции 1 2 и 2 2 , соединив которые, получим фронтальную проекцию линии пересечения плоскости S и DАВС . Продлив линии D 2 E 2 и 1 2 2 2 , найдем точку их пересечения N 2 *, которая и является точкой пересечения плоскостей, заданных треугольниками. Надо заметить, что точка N 2 * не принадлежит треугольникам, поэтому и является точкой пересечения не треугольников, а плоскостей, в которых лежат треугольники.
Аналогично, вводя дополнительную горизонтально–проецирующую плоскость S*, проходящую через сторону ВС треугольника АВС , найдем точку М 2 пересечения заданных треугольников.
Соединив точки N 2 * и M 2 , найдем фронтальную проекцию линии пересечения плоскостей треугольников АВС и DEF. Выделив участок N 2 M 2 , лежащий в плоскости обоих треугольников, получаем фронтальную проекцию линии пересечения треугольников АВС и DEF. По токам N 2 M 2 , определяем и горизонтальную проекцию N 1 M 1 линии пересечения заданных треугольников. Следует заметить, что дополнительные плоскости выбраны нами совершенно произвольно. Видимость сторон, а вместе с ними и отдельных частей треугольников определяется с помощью конкурирующих точек. Две такие точки уже имеются (2 1 =3 1). Из рассмотрения фронтальных проекций, очевидно, что 2 1 невидимая. Значит, в этой точке прямая D 1 E 1 выше В 1 С 1 , а следовательно, она выше по всей длине, так как плоскость треугольника DА 1 В 1 С 1 нигде не пересекает. Тогда с другой стороны от N 1 M 1 плоскость треугольника D 1 E 1 F 1 будет ниже. Аналогично определяем видимость на фронтальной проекции, рассматривая кокурирующие точки 5 и 6 на скрещивающихся прямых DE и АВ (рис. 3.9). В случае затруднений в определении видимости можно использовать несколько пар скрещивающихся сторон заданных треугольников.
5.1 Задание плоскости
Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадлежащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:
· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);
· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б );
· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в );
· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г );
· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д ).
Рисунок 5.1
Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости определяется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.
Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П 1 П 2 , П 3 . Кроме этого- это задание плоскости следами, при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).
Рисунок 5.2
5.2 Следы плоскости.
Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П 1 , П 2 , П 3 ) называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости - это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П 1 и обозначается , фронтальный - с плоскостью П 2 (), профильный - с плоскостью П 3 (). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией , фронтальная его проекция находится на оси х , а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П 1 ,П 2 , П 3 .
5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П 1 (рисунок 5.3).
Рисунок 5.3
Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом 1 . Угол, который образуется между плоскостями и П 2 , проецируется на П 1 без искажения. Фронтальный след 2 перпендикулярен к оси x.
Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П 2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2 . Угол , который образуется между заданной плоскостью и П 1 , проецируется на П 2 без искажения. Горизонтальный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.
Рисунок 5.4
Профильно-проецирующая плоскость Т (T 1 , T 2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П 3 (рисунок 5.5).
Рисунок 5.5
Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т 3 . Углы и , которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций П 1 и П 2 (= T^П 1 ; = Т^П 2 ), проецируются на плоскость П 3 без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.
Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).
Рисунок 5.6
Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П 1 и П 2 . Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):
· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 2 , П 3 и параллельна П 1 (рисунок 5.7, а);
· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 ,П 3 и параллельна П 2 (рисунок 5.7, б);
· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 , П 2 и параллельна П 3 (рисунок 5.7 в ).
Рисунок 5.7
Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.
5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:
· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;
· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;
· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.
Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П 1 П 2 , П 3 . Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.
Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.
Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.
Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x , горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).
Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости - нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).
Рисунок 5.8
Рисунок 5.9
К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П 3 .
К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.
5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций
Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П 1 - линия ската, к П 2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П 2 .
Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).
Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.
В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.
Прямые и точки, размещенные в пространстве, мы будем обозначать аналогично размещенным на плоскости – с помощью строчных и прописных латинских букв (B , A , d , q и др.) Если в условиях задачи у нас есть две точки, которые расположены на прямой, то можно выбрать такие обозначения, которые будут соответствовать друг другу, например, прямая D B и точки D и B .
Чтобы обозначить плоскость на письме, традиционно используются маленькие греческие буквы, например, α , γ или π .
Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.
Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.
Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:
Определение 1
В любой плоскости есть точки.
Такой вариант расположения также называется прохождением плоскости через точку. Чтобы обозначить это на письме, используется символ ∈ . Так, если нам нужно записать в буквенном виде, что через точку A проходит некая плоскость π , то мы пишем: A ∈ π .
Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.
Определение 2
Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Зная это правило, можно ввести новое обозначение плоскости. Вместо маленькой греческой буквы мы можем использовать названия точек, лежащих в ней, например, плоскость А В С.
Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:
Определение 3
Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.
Выше мы уже отмечали, что для обозначения плоскости в пространстве будет достаточно трех точек, а четвертая может находиться как в ней, так и вне ее. Если нужно обозначить отсутствие принадлежности точки к заданной плоскости на письме, то используется знак ∉ . Запись вида A ∉ π правильно читается как «точка A не принадлежит плоскости π »
Графически последнюю аксиому можно представить так:
Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:
Определение 4
Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.
Чтобы записать принадлежность прямой некой плоскости, используем тот же символ, что и для точки. Если мы напишем « a ∈ π », то это будет означать, что у нас есть прямая a , которая расположена в плоскости π . Изобразим это на рисунке:
Второй вариант взаимного расположения – это когда прямая пересекает плоскость. В таком случае у них будет всего одна общая точка – точка пересечения. Для записи такого расположения в буквенном виде используем символ ∩ . Например, выражение a ∩ π = M читается как «прямая a пересекает плоскость π в некоторой точке M ». Если у нас есть точка пересечения, значит, у нас есть и угол, под которым прямая пересекает плоскость.
Графически этот вариант расположения выглядит так:
Если у нас есть две прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая ее пересекает, то они являются перпендикулярными друг другу. На письме это обозначается символом ⊥ . Особенности такой позиции мы рассмотрим в отдельной статье. На рисунке это расположение будет выглядеть следующим образом:
Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.
Определение 5
Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.
Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:
Третий случай взаимного расположения прямой и плоскости – это их параллельность. В таком случае ни одной общей точки у них нет. Для указания таких отношений на письме используется символ ∥ . Если у нас есть запись вида a ∥ π , то ее следует читать так: «прямая a является параллельной плоскости ∥ ». Подробнее этот случай мы разберем в статье про параллельные плоскости и прямые.
Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.
Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.
1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.
2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:
Определение 6
Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.
На графике это будет выглядеть так:
В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.
3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.
Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.
В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.
1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.
Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:
2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:
3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:
4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.
На рисунке этот способ будет выглядеть так:
Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:
Определение 7
Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.
Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).
Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:
Определение 8
Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.
Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.
Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.
Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Здесь из принятых нами аксиом стереометрии мы получим важные теоремы и следствия о прямых и плоскостях. Сами по себе они достаточно очевидны. Рассмотрим их доказательства, которые показывают, как какое-либо утверждение можно строго вывести из аксиом со всеми необходимыми ссылками.
2.1 Задание прямой двумя точками
Доказательство. В п. 1.1 уже доказано, что через каждые две точки А, В проходит прямая а.
Докажем, что эта прямая только одна. Прямая а лежит в некоторой плоскости а. Допустим, что, кроме прямой а, через точки А, В проходит ещё прямая b (рис. 31). По аксиоме 3 прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, лежит в этой плоскости. Так как прямая b имеет с а общие точки А и B, то b лежит в плоскости α.
Рис. 31
Но в плоскости а выполняется планиметрия, и, следовательно, через две точки А и B проходит только одна прямая. Значит, прямые а и b совпадают. Таким образом, через точки А и В проходит только одна прямая.
Следствие. В пространстве (как и на плоскости) две различные прямые не могут иметь более одной общей точки.
Две прямые, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.
Замечание. Не всегда предложение, справедливое в планиметрии, верно и в стереометрии. Так, например, в плоскости через две данные точки N, S проходит лишь одна окружность с диаметром NS, а в пространстве таких окружностей бесконечное множество - в каждой плоскости, проходящей через точки N, S, лежит такая окружность (рис. 32, а).
Рис. 32
Но прямая, проходящая через точки N, S в пространстве, лишь одна. Эта общая прямая всех плоскостей, проходящих через точки N, S (рис. 32, б).
Доказав, что в пространстве через каждые две точки проходит единственная прямая, мы можем задавать прямую в пространстве любой парой её точек, не заботясь о том, в какой плоскости эта прямая лежит. Прямая, проходящая через точки А, B, обозначается (АВ).
Аналогичное верно и для отрезков: каждые две точки в пространстве служат концами единственного отрезка.
2.2 Задание плоскости тремя точками
Доказательство. Пусть точки А, B, С не лежат на одной прямой. По аксиоме плоскости через эти точки проходит некоторая плоскость а (см. рис. 6). Докажем, что она только одна.
Допустим, что через точки А, B, С проходит ещё одна плоскость (3, отличная от а. Плоскости а и р имеют общие точки (например, точку А). По аксиоме 2 пересечением плоскостей α и β является их общая прямая. На этой прямой лежат все общие точки плоскостей α и β, а значит, точки A, B, С. Но это противоречит условию теоремы, так как согласно ему A, B, С не лежат на одной прямой. Итак, через точки А, В, С проходит лишь одна плоскость α.
Плоскость, проходящую через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, обозначают (ABC).
Легко проиллюстрировать теорему 2. Например, положение двери фиксируется двумя дверными петлями и замком.
2.3 Задание плоскости прямой и точкой и двумя прямыми
Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. Возьмём на прямой а две точки B и С (рис. 33). Точка А не лежит с ними на одной прямой, так как через точки B и С проходит лишь одна прямая - это прямая а, а точка А не лежит на ней по условию теоремы.
Рис. 33
Через точки А, B, С, не лежащие на одной прямой, проходит (по теореме 2) единственная плоскость АBС. Прямая а имеет с ней две общие точки B и С и, значит, по аксиоме 3 лежит в ней. Таким образом, плоскость АBС и есть плоскость, проходящая через прямую а и точку А.
Единственность такой плоскости докажем способом от противного.
Пусть есть ещё одна плоскость β, содержащая прямую а и точку А. Тогда она содержит точки B и С. По теореме 2 она должна совпадать с плоскостью АBС. Полученное противоречие и доказывает единственность.
Вот иллюстрация этой теоремы: поворачивая переплёт книги, вы в каждый момент пальцами фиксируете его положение.
Доказательство. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Возьмём на прямой b другую точку B (рис. 34). По теореме 3 через прямую а и точку В проходит плоскость а. Согласно аксиоме 3 прямая Ь лежит в этой плоскости, так как имеет с ней две общие точки А и В. Значит, плоскость а проходит через прямые а и b. Единственность такой плоскости докажите самостоятельно способом от противного.
Рис. 34
Теперь мы знаем три способа задания плоскости:
- тремя точками, не лежащими на одной прямой;
- прямой и не лежащей на ней точкой;
- двумя пересекающимися прямыми.
Вопросы для самоконтроля
- Какие вы знаете способы задания прямой в пространстве?
- Какие вы знаете способы задания плоскости?