Что такое единичная окружность . Единичная окружность -- это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат. Вспомните, что уравнение окружности выглядит как x 2 +y 2 =1. Такая окружность может быть использована для нахождения некоторых "особых" тригонометрических соотношений, а также при построении графических изображений. С помощью нее и заключенной в ней линии можно оценивать и численные значения тригонометрических функций.
Запомните 6 тригонометрических соотношений. Помните, что
- sinθ=противолежащий катет/гипотенуза
- cosθ=прилежащий катет/гипотенуза
- tgθ=противолежащий катет/прилежащий катет
- cosecθ=1/sin
- secθ=1/cos
- ctgθ=1/tg.
Что такое радиан . Радиан -- одна из мер для определения величины угла. Один радиан -- это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса. Заметьте, что при этом величина и расположение окружности не играют никакой роли. Следует также знать, чему равно число радиан для полной окружности (360 градусов). Вспомните, что длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза. Поскольку по определению 1 радиан -- это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
Умейте перевести радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
- 2π радиан=360 градусов
- 1 радиан=(360/2π) градусов
- 1 радиан=(180/π) градусов
- 360 градусов=2π радиан
- 1 градус=(2π/360) радиан
- 1 градус=(π/180) радиан
Выучите "особые" углы. Эти углы в радианах составляют π/6, π/3, π/4, π/2, π и произведения данных величин (например, 5π/6)
Изучите и запомните значения тригонометрических функций для особых углов. Для определения их величин вы должны взглянуть на единичную окружность. Вспомните об отрезке известной длины, заключенном в единичной окружности. Точка на окружности соответствует количеству радиан в образованном угле. Например, углу π/2 соответствует точка на окружности, радиус к которой образует с положительным горизонтальным радиусом угол величиной π/2. Для нахождения значения тригонометрической функции какого-либо угла определяются координаты точки, соответствующей этому углу. Гипотенуза всегда равна единице, поскольку она является радиусом круга, и так как любое число, поделенное на 1, равно самому себе, а противоположный катет равен длине вдоль оси Оy, отсюда следует, что значение синуса какого-либо угла -- это координата y соответствующей точки на окружности. Значение косинуса можно найти схожим образом. Косинус равен длине прилежащего катета, деленной на длину гипотенузы; поскольку последняя равна единице, а длина прилежащего катета равна координате x точки на окружности, отсюда следует, что косинус равен значению этой координаты. Найти тангенс немного сложнее. Тангенс угла прямоугольного треугольника равен противолежащему катету, деленному на прилежащий. В данном случае, в отличие от предыдущих, частное не является константой, поэтому вычисления несколько усложняются. Вспомним, что длина противолежащего катета равна координате y, а прилежащего -- координате x точки на единичной окружности; подставив эти значения, получим, что тангенс равен y/x. Поделив 1 на найденные выше значения, можно легко найти соответствующие обратные тригонометрические функции. Таким образом, можно рассчитать все основные тригонометрические функции:
- sinθ=y
- cosθ=x
- tgθ=y/x
- cosec=1/y
- sec=1/x
- ctg=x/y
Найдите и запомните значения шести тригонометрических функций для углов, лежащих на координатных осях , то есть углов, кратных π/2, таких как 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т. д. Для точек круга, находящихся на координатных осях, это не представляет никаких проблем. Если точка лежит на оси Оx, синус равен нулю, а косинус -- 1 или -1, в зависимости от направления. Если же точка лежит на оси Оy, синус будет равняться 1 или -1, а косинус -- 0.
Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/6. Нанесите угол π/6 на единичную окружность. Вы знаете, как находить длины всех сторон особых прямоугольных треугольников (с углами 30-60-90 и 45-45-90) по известной длине одной из сторон, а поскольку π/6=30 градусов, данный треугольник является одним из особых случаев. Для него, как вы помните, короткий катет равен 1/2 гипотенузы, то есть координата y составляет 1/2, а длинный катет длиннее короткого в √3 раз, то есть равен (√3)/2, так что координата x будет (√3)/2. Таким образом, получаем точку на единичной окружности со следующими координатами: ((√3)/2,1/2). Пользуясь приведенными выше равенствами, находим:
- sinπ/6=1/2
- cosπ/6=(√3)/2
- tgπ/6=1/(√3)
- cosecπ/6=2
- secπ/6=2/(√3)
- ctgπ/6=√3
Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/3. Угол π/3 отображается на окружности точкой, у которой координата x равна координате y угла π/6, а координата y такая же, как x для этого угла. Таким образом, точка имеет координаты (1/2, √3/2). В итоге получаем:
- sinπ/3=(√3)/2
- cosπ/3=1/2
- tgπ/3=√3
- cosecπ/3=2/(√3)
- secπ/3=2
- ctgπ/3=1/(√3)
Найдите и запомните значения 6 тригонометрических функций для особого угла π/4. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с углами 45-45-90 относится к длинам его катетов как √2 к 1, так же будут соотноситься и значения координат точки на единичной окружности. В итоге имеем:
- sinπ/4=1/(√2)
- cosπ/4=1/(√2)
- tgπ/4=1
- cosecπ/4=√2
- secπ/4=√2
- ctgπ/4=1
- Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
- Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cosec, отрицательны.
- В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
- В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.
Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.
Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).
Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .
Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R
Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R
Площадь круга : S=\pi R^{2}
Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.
Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.
Длину дуги можно найти по формуле:
- Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
- Используя радианную меру: CD = \alpha R
Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.
В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Касательная к окружности
Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .
Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
AC = CB
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
AC^{2} = CD \cdot BC
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Углы в окружности
Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}
Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
S = pr ,
p — полупериметр многоугольника,
r — радиус вписанной окружности.
Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
r = \frac{S}{p}
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
AB + DC = AD + BC
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r = \frac{S}{p} ,
где p = \frac{a + b + c}{2}
Описанная окружность
Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .
В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.
Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}
Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.
Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}
R = \frac{abc}{4 S}
a , b , c — длины сторон треугольника,
S — площадь треугольника.
Теорема Птолемея
Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.
Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние от данной точки, называемой центром окружности, есть величина постоянная, называемая радиусом окружности.
Выведем
уравнение окружности. Пусть точка
произвольная точка окружности радиуса
.
Введем прямоугольную систему координат,
у которой начало совпадает с центром
окружности
.
В этом случае точка
имеет координаты
.
По определению окружности
.
Учитывая, что
,
получим
,
или
.
(1.27)
Выражение (1.27)
называется уравнением окружности с
центром в точке
и радиуса
.
Покажем,
что любая точка, координаты которой
удовлетворяют уравнению (1.27), принадлежит
окружности с центром в точке
и радиуса
.
Пусть
координаты точки
удовлетворяют уравнению (1.27). Тогда,
т. е.
является точкой окружности.
С
учетом формулы преобразования
прямоугольных координат точки при
параллельном переносе осей получим
уравнение окружности с центром в точке
и радиуса
:
П
р и м е р 13.
Составить
уравнение окружности, проходящей через
начало координат, центр которой находится
на одинаковом расстоянии от параллельных
прямых
и
.
Решение.
Для того чтобы составить уравнение
окружности вида
,
необходимо найти координаты
ее центра
и радиус
.
Искомая окружность касается прямых
и
,
поэтому радиус
равен половине расстояния
между этими прямыми. Расстояние между
параллельными прямыми равно расстоянию
от произвольной точки одной прямой до
другой прямой. На прямой, задаваемой
уравнением
,
возьмем произвольную точку
,
тогда
.
По формуле (1.15) имеем:
.
Таким образом,
.
Центр окружности равноудален от заданных
прямых, поэтому координаты
ее центра
должны удовлетворять равенству
,
т. е.
.
Известно, что окружность проходит через
начало координат, поэтому.
Получили систему уравнений относительно
координат центра
окружности:
.
Ее решениями будут
.
Итак, существует два уравнения,
удовлетворяющих условиям задачи:
.
1.12. Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Выберем
прямоугольную систему координат таким
образом, чтобы ось абсцисс проходила
через фокусы
и
,
а начало координат
совпадало
с серединой отрезка
.
Обозначим
,
,
,
где
,
фокальные радиусы (расстояния от точки
до фокусов) точки эллипса. Тогда фокусы
и
имеют координаты
,
.
Пусть
произвольная точка эллипса. Имеем:
,
.
Из определения эллипса
,
(1.29)
или
искомое уравнение эллипса, которое
неудобно для использования. Из последнего
равенства следует, что
.Так
как
,
то можем обе части уравнения возвести
в квадрат и после эквивалентных
преобразований получим:
.
Следовательно,.
Введем новую переменную
.
Имеем:
.
Из этого равенства следует, что
.
(1.30)
Уравнение (1.30) называется каноническим (простейшим) уравнением эллипса. Это уравнение является уравнением второго порядка. Таким образом, любая точка эллипса, удовлетворяющая уравнению (1.29), удовлетворяет и уравнению (1.30). Докажем, что все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.30), являются точками эллипса, т. е. их координаты удовлетворяют уравнению (1.29).
Для
фокального радиуса
выполняется соотношение
.
Из уравнения (1.30) имеем:
.
Поэтому
,
или
.
Аналогично находим, что
.
Следовательно,
.
Эллипс
симметричен относительно координатных
осей, так как содержит только четные
степени
и
,
и относительно начала координат. Оси
симметрии эллипса называются его осями,
а центр симметрии
центром эллипса.
Эллипс
пересекает координатные оси в точках
,
,
,
.
Эти точки называются вершинами эллипса.
При
эллипс вырождается в окружность радиусом
и центром в начале координат. Вершины
эллипса ограничивают на осях отрезки
длиной
и
,
причем
(это следует из того, что
).
Величины
и
называются большой и малой полуосями
эллипса, оси эллипса
соответственно большой и малой осью.
Определение. Эксцентриситетом эллипса
называется отношение,
где
половина расстояния между фокусами,
большая полуось, т. е.
.
(1.31)
Учитывая,
что
,
получим
.
Так как
,
то
.
Если
,
т. е. эллипс приближается к окружности,
то
.
Если
,
а
к нулю не стремится, то эллипс вытянут
вдоль большой оси. Таким образом,
эксцентриситет эллипса характеризует
меру его вытянутости вдоль большой оси.
Если
фокусы эллипса
и
расположены на оси ординат, то в этом
случае
и большой является полуось
.
Уравнение эллипса также имеет вид
(1.30), но
,
а его эксцентриситет вычисляется по
формуле
.
П
р и м е р 14.
Составить
уравнение эллипса, фокусы которого
лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная,
что расстояние между его фокусами
и эксцентриситет
.
Решение.
Половина расстояния между фокусами
.
Фокусы эллипса расположены на оси
абсцисс, поэтому большой полуосью
является
.
Из (1.31) следует, что
.
Тогда.
Таким образом, уравнение эллипса имеет
вид
.
П
р и м е р 15.
Дан
эллипс
.
Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет.
Решение.
Приведем
уравнение эллипса к каноническому виду.
Для этого обе части уравнения разделим
на 45, получим
.
Таким образом, его полуось
,
.
Большой полуосью является полуось
,
поэтому фокусы эллипса расположены на
оси ординат и
,
следовательно, фокусы находятся в точках
и
.
Эксцентриситет эллипса равен отношению
половины расстояния между фокусами к
большой полуоси, т. е.
.
П
р и м е р 16.
Вычислить
площадь четырехугольника
,
две вершины
и
которого лежат в фокусах эллипса
,
две другие
и
совпадают с концами его малой оси.
Решение.
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид
,
поэтому
,
.
Следовательно, вершины четырехугольника
и
имеют соответственно координаты
и
.
Найдем координаты вершин
и
.
Так как
,
то
,
.
Полученный четырехугольник симметричен
относительно координатных осей и
относительно начала координат
,
следовательно,
.
Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».
Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: и
Можно схитрить: в частности для угла в градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен градусам, то второй - градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:
Тогда так как, то и. Так как, то и. C градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен градусам, то и другой тоже равен градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.
Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.
Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в градусов и градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!
У тебя должно было получиться:
Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:
Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!
Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:
Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти . Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса градусов. Это неспроста!
В частности:
Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:
- Угол лежит в пределах от до градусов
- Угол больше градусов
Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.
Если угол лежит в 1 четверти - то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.
Теперь же пусть наш угол больше градусов и не больше чем. Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.
Как мы поступаем? Да точно так же!
Давай рассмотрим вместо вот такого случая...
...вот такой:
То есть рассмотрим угол, лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?
У точки, которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты и.
Причем первая координата отрицательная, а вторая - положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус - положителен!
Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.
Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен? А у каких равен синус?
Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).
Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.
Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.
Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:
Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:
Выяснить, какой знак имеют следующие величины:
Проверим?
- градусов - это угол, больший и меньший, а значит лежит в 3 четверти. Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Тогда.
градусов - угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус - отрицательный. Плюс делить на минус - будет минус. Значит.
градусов - угол, больший и меньший. Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит - C радианами работаем аналогично: это угол второй четверти (так как и. Синус второй четверти положительный.
.
, это угол четвертой четверти. Там косинус положительный.
- угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус - отрицательный. Тогда тангенс будет меньше нуля:
Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же.
Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.
Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:
На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:
Задача
Найдите, если и.
На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:
Решение
Так как, то подставим сюда значение, тогда. Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи: . Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед. , тогда.
Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье « ». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.
Углы больше градусов
Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье - это как быть с углами, большими чем градусов?
Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в градусов (радиан) и пойду от него против часовой стрелки…
На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.
Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (градусов или радиан)?
Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!
Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:
Взяв произвольный угол и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол.
Что же нам это даст? А вот что: если, то
Откуда окончательно получим:
Для любого целого. Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом .
Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.
Например, найти знак:
Проверяем:
- В градусов умещается раза по градусов (градусов):
осталось градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит - . градусов. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Тогда
- . . Так как, то - угол первой четверти. Там косинус положителен. Тогда cos
- . . Так как, то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный.
Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше:
Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.
Но у нас осталось еще очень много вопросов:
- А что такое отрицательные углы?
- Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
- Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
- Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:
- Что такое отрицательные углы?
- Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
- Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
- Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?
Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?
Отрицательные углы
Отрицательные углы в тригонометрии
откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:
Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси против часовой стрелки :
Тогда на нашем рисунке построен угол, равный. Аналогичным образом мы строили все углы.
Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси по часовой стрелке .
Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными :
На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:
В целом правило можно сформулировать вот так:
- Идем против часовой стрелки - получаем положительные углы
- Идем по часовой стрелке - получаем отрицательные углы
Схематично правило изображено вот на этом рисунке: 
Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда - отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.
Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном .
Посмотри на следующую картинку:
Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.
Что мы с тобой видим? А вот что:
- Синусы у углов и противоположны по знаку! Тогда если
- Косинусы у углов и совпадают! Тогда если
- Так как, то:
- Так как, то:
Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.
Кстати, вспомни-ка, как называется функция, у которой для любого допустимого выполняется: ?
Такая функция называется нечетной .
А если же для любого допустимого выполняется: ? То в таком случае функция называется четной .
Таким образом, мы с тобой только что показали, что:
| Синус, тангенс и котангенс - нечетные функции, а косинус - четная. |
Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.
С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый - строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй - запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:
Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.
Формулы приведения
Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :
если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):
То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить. Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:
Во-первых, нам понадобятся следующие знания:
- Синус и косинус имеют период (градусов), то есть
Тангенс (котангенс) имеют период (градусов)
Любое целое число
- Синус и тангенс - функции нечетные, а косинус - четная:
Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.
Непосредственно правило приведения выглядит вот так:
- Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла - делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:
- Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: (по градусов), а для тангенса - (градусов). Например:
- Если оставшийся «уголок» меньше градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
- Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол: это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
- Представляем угол в одной из следующих форм:
(если во второй четверти)
(если во второй четверти)
(если в третьей четверти)
(если в третьей четверти)
(если в четвертой четверти)так, чтобы оставшийся угол был больше нуля и меньше градусов. Например:
В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.
- Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через или градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь или и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через или градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс - на тангенс.
- Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.
Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:
- Вычислить
- Вычислить
- Най-ди-те зна-че-ние вы-ра-же-ния:
Начнем по порядку:
- Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для:
В общем, делаем вывод, что в угол помещается целиком 5 раз по, а сколько осталось? Осталось. Тогда
Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком. лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:
Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с градусами, тогда отбрасываем и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!
градусов - угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:
Тогда получим окончательный ответ:
Ответ:
- все то же самое, но вместо градусов - радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что
Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:
Отбрасываем - это два целых круга. Осталось вычислить. Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. можно представить как. Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа (или), тогда функция не меняется:
Тогда.
Ответ: . - . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток: и градусов - углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус - «плюс». можно представить как: , а как, тогда
Оба случая - «половинки от целого ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус - на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:
Ответ: .
Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:
А вот и решения:
Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус - функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:Отбрасываем целое количество кругов - то есть три круга ().
Остается вычислить: .
Так же поступаем и со вторым углом:Удаляем целое число кругов - 3 круга () тогда:
Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до всего. Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим. Так как вычитаем мы из целого количества, то знак косинуса не меняем:
Подставляем все полученные данные в формулу:
Ответ: .
Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что.
Осталось сосчитать косинус градусов. Уберем целые круги: . ТогдаТогда.
Ответ: .- Действуем, как в предыдущем примере.
Поскольку ты помнишь, что период у тангенса - (или) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество.
градусов - угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! можно записать как. Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:
Тогда.
Ответ: .
Ну что же, осталось совсем немного!
Ось тангенсов и ось котангенсов
Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться - это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:
- Ось - ось косинусов
- Ось - ось синусов
На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами?
Неужели, для них нет никакой графической интерпретации?
На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке:
В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:
- Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
- Они положительны в 1 и 3 четверти
- Они отрицательны во 2 и 4 четверти
- Тангенс не определен в углах
- Котангенс не определен в углах
Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь на продвинутом уровне, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений.
Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:
- В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
- В ответе получается уж слишком много серий корней
Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы:
Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.
Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:
Решите уравнение:
Ну что же. Решить само уравнение несложно.
Обратная замена:
Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:
В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»!
Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для и для):
Обрати внимание: какой угол получился между углами и? Это угол. Теперь проделаем то же самое и для серии: .
Между корнями уравнения снова получился угол в. А теперь совместим эти две картинки:
Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны. А что это значит?
Если мы стартуем от угла и будем брать углы, равные (для любого целого), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:
Можно объединить в одну:
Увы, для серий корней:
Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:
Тогда исходное уравнение имеет корни:
Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты.
Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды.
Второй пример - уравнения, которые имеют «некрасивые корни».
Например:
- Решите уравнение.
- Найдите его корни, принадлежащие промежутку.
Первая часть не представляет из себя ничего сложного.
Поскольку ты уже знаком с темой , то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.
тогда или
Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного.
Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение).
Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:
Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:
Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку: .
Во-первых, в него попадает само число, затем (см. рис).
также принадлежит отрезку.
Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.
У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами?
На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:
В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.
Пример
Дано уравнение.
- Решите данное уравнение.
- Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку.
Решение:
Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:
Из рисунка можно понять, что:
Или даже более того: так как, то
Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку.
, (так как)
Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку, наше уравнение не имеет.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Главный инструмент тригонометрии - это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.
Есть два способа измерять углы.
- Через градусы
- Через радианы
И наоборот: от радиан к градусам:
Чтобы найти синус и косинус угла нужно:
- Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.
- Найти точку пересечения этого угла с окружностью.
- Её «иксовая» координата - это косинус искомого угла.
- Её «игрековая» координата - это синус искомого угла.
Формулы приведения
Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.
Эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу:
Подведение итогов
Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии.
Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок.
Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить!
Теперь я хочу услышать тебя!
Удалось ли тебе разобраться с этой сложной темой?
Что тебе понравилось? Что не понравилось?
Может быть ты нашел ошибку?
Пиши в комментариях!
И удачи на экзамене!
В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:
Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли