а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
б) \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].
Показать решениеРешение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac{9\pi }4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac{7\pi }3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac{5\pi }3.
Ответ
а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac{5\pi }3, \frac{7\pi }3, \frac{9\pi }4.
Условие
а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt {tgx}=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right] ;
Показать решениеРешение
а) ОДЗ: \begin{cases} tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end{cases}
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
\left[\!\!\begin{array}{l} 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end{array}\right.
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi {12}+\frac{\pi n}2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right].
x=\frac\pi {12}, x=\frac{5\pi }{12}; x=\pi ; x=\frac{13\pi }{12}; x=\frac{17\pi }{12}.
Ответ
а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) \pi; \frac\pi {12}; \frac{5\pi }{12}; \frac{13\pi }{12}; \frac{17\pi }{12}.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left(\frac{7\pi }2;\,\frac{9\pi }2\right].
Показать решениеРешение
а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 9}4=\frac{1\pm3}4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac{2\pi }3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac{11\pi }3, x_2=4\pi , x_3 =\frac{13\pi }3.
Ответ
а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac{11\pi }3, 4\pi , \frac{13\pi }3.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac{11+5ctg\left(\dfrac{3\pi }2-x\right) }{1+tgx}.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left(-2\pi ; -\frac{3\pi }2\right).
Показать решениеРешение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left(\frac{3\pi }2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac{11+5tgx}{1+tgx}.
Заметим, что \frac{11+5tgx}{1+tgx}= \frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+\frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac{6}{1+tgx}. Отсюда \cos x =\frac{\dfrac65}{1+tgx}, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac{3\sqrt 2}5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
\frac{\sqrt 2}{2}<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Действительно, \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{5\sqrt 2}{10}<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Заметим также, что \left(\frac{3\sqrt 2}5\right) ^2=\frac{18}{25}<1^2=1, значит \frac{3\sqrt 2}5<1.
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
arccos 1 0 Отсюда \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель: Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем: Первое уравнение имеет корни: А второе: На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:
Промежуток вот такой: Или его еще можно записать вот так: Ну что, давай отбирать корни: Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)
Так как наш промежуток - целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные, все равно они дадут неотрицательные корни. Возьмем, тогда - многовато, не попадает. Пусть, тогда - снова не попал. Еще одна попытка - , тогда - есть, попал! Первый корень найден! Стреляю еще раз: , тогда - еще раз попал! Ну и еще разок: : - это уже перелет. Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .
Работаем со второй серией (возводим
в степень по правилу):
Недолет! Снова недолет! Опять недолет! Попал!
Перелет! Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни: Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере. Решение:
Опять пресловутые формулы приведения: Опять не вздумай сокращать! Первое уравнение имеет корни: А второе: Теперь снова поиск корней. Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие: Теперь первая серия и она попроще: Если - подходит Если - тоже годится Если - уже перелет. Тогда корни будут следующие: Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры: И снова формула приведения: Первая серия корней: Вторая серия корней: Начинаем отбор для промежутка Ответ:
, . Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла): тогда или Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса - вот такая досада! Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как, то. Составим таблицу: промежуток: Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi
Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла: Сократим на 2: Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители: Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе: Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать... Уравнения вида:
Данное уравнение решается делением обеих частей на: Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней: Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: . Опять построим табличку, как я делал и ранее: Ответ:
. Уравнения, сводящиеся к виду:
Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида Решается делением обеих частей на косинус: Пример 1.
Первое - ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла: Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на Делаем отсев корней: Промежуток: Ответ:
Пример 2.
Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа: Основное тригонометрическое тождество: Синус двойного угла: Окончательно получим: Отсев корней: промежуток. Ответ:
. Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример
, чтобы ты мог поупражняться: Давай сверяться: Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на: Отсев корней: Ответ:
. Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак: Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле: Пример.
Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки! Тогда наше уравнение превратится вот в такое: Первое уравнение имеет корни: А второе вот такие: Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку Ответ:
. Давай вместе разберем чуть более сложный пример
: Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать? Можем, например, представить А заодно и Тогда мое уравнение примет вид: А теперь внимание, фокус: Давай разделим обе части уравнения на: Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно! Сделаем замену, тогда получим: Уравнение имеет следующие корни: Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке. Нам также нужно учитывать, что Так как и, то Ответ:
Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение
: Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням! Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус: Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству: И, наконец, приведу все к общему знаменателю: Теперь я могу перейти к уравнению: Но при (то есть при). Теперь все готово для замены: Тогда или Однако обрати внимание, что если, то при этом! Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль). Таким образом, корни уравнения следующие: Теперь производим отсев корней на промежутке: Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке, и он равен. Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!). Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного - самостоятельно решить две задачи. Вот они. Решил? Не очень сложно? Давай сверяться: Подставляем в уравнение: Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену: Теперь легко сделать замену: Ясно, что - посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда: Ищем нужные нам корни на промежутке
Ответ:
. Тогда или Ответ:
Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня. В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным
. Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры. Пример 1.
Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку. Решение:
У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение - это все равно, что решить систему Решим каждое из уравнений: А теперь второе: Теперь давай посмотрим на серию: Ясно, что нам не подходит вариант, так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения) Если же - то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , . Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку. Тогда корни следующие: Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность. Пример 2.
Решите уравнение: Решение:
Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность: И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда: Решение этого неравенства: Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство. Для этого можно опять воспользоваться таблицей: Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить. Тогда ответ можно записать в следующем виде: Ответ:
Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция. Пример 3.
Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали. Теперь второе уравнение: Теперь самое сложное - выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения: Число надо понимать как радианы. Так как радиана - это примерно градусов, то радианы - порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение: Оно меньше нуля! А значит - не является корнем уравнения. Теперь черед. Сравним это число с нулем. Котангенс - функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы - это примерно градусов. В то же время так как, то, а значит и Ответ:
. Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения - снова тригонометрическая функция. Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше: Пример 4.
Корень не годится, ввиду ограниченности косинуса Теперь второе: В то же время по определению корня: Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти. Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия - ей диаметрально противоположная - и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит. Ответ:
, И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью»
. Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе! Пример 5.
Ну, ничего не поделаешь - поступаем как и раньше. Теперь работаем со знаменателем: Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней: Если - четное, то имеем: так как, то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство Если же -нечетное, то: В какой четверти лежит угол? Это угол второй четверти. Тогда все углы - снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия: Подходит! Точно так же разбираемся со второй серией корней: Подставляем в наше неравенство: Если - четное, то Углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если - нечетное, то: тоже подходит! Ну вот, теперь записываем ответ! Ответ:
Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи
для самостоятельного решения. Решения:
Второе уравнение: Отбор корней, которые принадлежат промежутку
Ответ:
Или Рассмотрим: . Если - четное, то Ответ:
, . Или Вторая часть: В то же время по ОДЗ требуется, чтобы Проверяем найденные в первом уравнении корни: Если знак: Углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит! Угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ: Ответ:
, . Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому. Тригонометрическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.
Существует два способа
решения тригонометрических уравнений: Первый способ
- с использованием формул. Второй способ
- через тригонометрическую окружность. Позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!
Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения
Самостоятельная работа. 3 уравнения.
Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие промежутку.
Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку
Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.Уравнение 1.
Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.
Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.
Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.Решение тригонометрических уравнений заменой переменной
- подходит
- перебор
Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
Ука-жи-те корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
Здесь замена видна сразу:
- подходит!
- подходит!
- подходит!
- подходит!
- много!
- тоже много!
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
- не подходит
- подходит
- подходит
- подходит
перебор
перебор
: , но
Нет!
Да!
Да!
,Тренировка
Первое уравнение:
или
ОДЗ корня:
или
Но
- не подходит!
Если - нечетное, : - подходит!
Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
или
Отбор корней на промежутке:
- не подходит
- подходит
- подходит
- много
- подходит
много
Так как, то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!
Если знак:КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ