На предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла как заключенного в треугольник, так и свободного. Треугольник включает в себя три угла и для каждого из них рассмотренные свойства биссектрисы сохраняются.
Теорема:
Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .
Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:
Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.
Получили следующие равенства:
, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.
Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .
Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Кроме того, треугольник состоит из трех отрезков, значит, нам следует рассмотреть свойства отдельного отрезка.
Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.
Доказать, что (рис. 2).
Доказательство:
Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть, , что и требовалось доказать.
Справедлива обратная теорема.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка. Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.
Прямую и обратную теоремы можно обобщить.
Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.
Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.
Теорема:
Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.
Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ.
Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
Рассмотрим два серединных перпендикуляра Р 2 и Р 3 , они пересекаются, точка пересечения О существует. Докажем этот факт от противного - пусть перпендикуляры Р 2 и Р 3 параллельны. Тогда угол развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка О пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, значит, она равноудалена от концов отрезка АВ: . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, значит, . Получили следующие равенства.
Раздаточный материал (Приложение №1)
Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:
I. Анализ : Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.
II. Построение : По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.
III. Доказательство : Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
IV. Исследование : Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, сколько решений (выполняют не во всех задачах).
Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:
1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее).
2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:
- построить середину данного отрезка;
- построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).
3. Построение биссектрисы угла.
4. Построение угла равного данному.
Серединный перпендикуляр к отрезку.
Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
Задача: “Построить серединный перпендикуляр к отрезку”. Презентация
О – середина АВ
Описание построения (слайд №4 ):
Луч а; А – начало луча
Окружность (А; r =m)
Окружность а = В; АВ = m
Окружность 1 (А; r 1 > m/2)
Окружность 2 (В; r 1)
Окружность 1 Окружность 2 =
MN ; MN AB =0, (МN = L)
где MN AB, O – середина AB
III. Доказательство (слайд №5, 6)
1. Рассмотрим AMN и BNM:
AM = MB=BN=AN=r 2 , следовательно AM = BN , AN = BM MN – общая сторона
(Рисунок 3)
Следовательно, AMN = BNM (по 3-м сторонам),
Следовательно
1= 2 (по определению равных )
3= 4 (по определению равных )
2. MAN и NBM – равнобедренные (по определению) ->
1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных )
3. Из пунктов 1 и 2 -> 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного AMB
4. Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB
IV. Исследование
Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.
Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)
Известные вам ГМТ:
- Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
- Биссектриса угла – множество точек, равноудаленных от сторон угла
Итак, докажем теорему:
Теорема: “Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка”.
(Рисунок 4)
Дано: АВ; МО – серединный перпендикуляр
Доказать: АМ = ВМ
Доказательство: 1. МО – серединный перпендикуляр (по условию) -> O – середина отрезка АВ, MOАВ 2. Рассмотрим АМО и ВМО - прямоугольные МО – общий катет |
АО = ВО (О – середина АВ) -> АМО =
ВМО (по 2-м катетам) ->АМ=ВМ (по определению
равных треугольников, как соответствующие
стороны) Что и требовалось доказать |
Домашнее задание: “Доказать теорему, обратную данной”
Теорема: “Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку”.
(Рисунок 5)
Дано: АВ; МА=МВ
Доказать : Точка М лежит на серединном перпендикуляре
Доказательство:
Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.
Практикум
Материально техническое оснащение:
Дистрибутив: 29 574 Кбайт
ОС: Windows 9x/2000/XP
Сайт: http://www.ascon.ru
Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)
Полученные ранее знания и умения необходимо применить на конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас времени не больше, чем построение в тетради. Кроме всего прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет команды человека по построению плоскостных фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробным образом расписаны ваши шаги построения. Загрузить программу и открыть новый чертеж (слайд №8 , 9).
Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины (слайд №10 ).
Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки "Инструменты " текст.
Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №11 ).
m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №12, 13 ).
Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2 точками” (слайд №14, 15, 16 ).
Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую (слайд №17,18 ).
Используемая литература:
- Угринович Н.Д “Информатика. Базовый курс” 7 класс. - М.: БИНОМ – 2008 – 175 с.
- Угринович Н.Д “Практикум по информатике и информационным технологиям”. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2004-2006. -
- Угринович Н.Д “Преподавание курса “Информатика и ИКТ” в основной и старшей школе 8-11 классы М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2008. - 180 с.
- Угринович Н.Д Компьютерный практикум на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2004-2006.
- Богуславский А.А., Третьяк Т.М. Фарафонов А.А. “Компас – 3D v 5.11-8.0 Практикум для начинающих” – М.: СОЛОН – ПРЕСС, 2006 – 272 с.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных школ” – М: Просвещение 2006 – 384 с.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Изучение геометрии 7-9 класс. Методические рекомендации к учебнику” – М: Просвещение 1997 г. – 255 с.
- Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. “Поурочные планы по учебнику 8 класса Атанасяна Л.С.” - Волгоград “Учитель” 2010 г., 166 с.
Приложение № 1
План решения задач на построение циркулем и линейкой.
- Анализ.
- Построение.
- Доказательство.
- Исследование.
Пояснение
- При выполнении анализа схематично чертят искомую фигуру и устанавливают связь между данными задачи и искомыми элементами.
- По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.
- Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
- Проводят исследование: при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений?
Примеры элементарных задач на построение
- Отложить отрезок, равный данному.
- Построить серединный перпендикуляр к отрезку.
- Построить середину отрезка.
- Построить прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярно заданной прямой (Точка может лежать или не лежать на заданной прямой).
- Построить биссектрису угла.
- Построить угол равный данному.
Приложение №2
Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством.
Примеры ГМТ:
- Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудалённых от концов отрезка.
- Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.
- Биссектриса угла – это множество точек, равноудалённых от сторон угла.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
пересекаются в одной точке
. |
|
|
||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного внутри треугольника. | |
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного
середина гипотенузы
. |
|
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | |
, |
||
Площадь треугольника | S = 2R 2 sin A sin B sin C , |
|
Радиус описанной окружности | Для любого треугольника справедливо равенство: |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке . |
Окружность, описанная около треугольника |
Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. |
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы . |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Площадь треугольника |
Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R 2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Радиус описанной окружности |
Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство.
Словарь терминов планиметрии - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
Коллинеарные точки
Конкурентные прямые - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Окружность Аполония - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Преобразование плоскости - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Чевиана - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Глоссарий планиметрии - Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия
Задача Аполлония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия
Задача Аполония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была… … Википедия
Диаграмма Вороного - случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия
В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.
Точка пересечения медиан треугольника
Теорема 1
О пересечении медиан треуголника : Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).
Рисунок 1. Медианы треугольника
По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда
Аналогично доказывается, что
Теорема доказана.
Точка пересечения биссектрис треугольника
Теорема 2
О пересечении биссектрис треугольника : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\ BP,\ CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ - точка пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).
Рисунок 2. Биссектрисы треугольника
Теорема 3
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
По теореме 3, имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.
Теорема доказана.
Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника
Теорема 4
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).
Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника
Для доказательства нам потребуется следующая теорема.
Теорема 5
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.
По теореме 3, имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.
Теорема доказана.
Точка пересечения высот треугольника
Теорема 6
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).
Рисунок 4. Высоты треугольника
Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ -- середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ -- середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ -- середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1\bot A_2B_2,\ {BB}_1\bot A_2C_2,\ {AA}_1\bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ -- серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ пересекаются в одной точке.