Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство
Обозначается предел .
Определение 2.
Функция
называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и 
.
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.
На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.
2)Случайная величина - одно из основных понятий теории вероятностей. Случайная величина - этоизмеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве
Дискретной называется случайная величина, которая при испытаниях может принимать одно из изолированных значений, количество которых конечно. К ним относятся величины из первой группы.
Непрерывной называют случайную величину, которая в пределах ее изменения может принимать любые значения, которые могут быть конечными или бесконечными. К ним относятся величины из второй группы.
Билет №6
1)Возведение в степень - бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называетсястепенью с основанием и показателем .
Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что
для любого
Формула названа по имени установившего её в 1707 году математика И. Муавра, друга великого И. Ньютона; современный вид формуле придал Л. Эйлер.
Доказательство [править]
Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где b - целое число.
Применение [править]
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:
где k = 0, 1, …, n -1.
Вероятность гипотез
Вероятность гипотез.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)
Формула Байеса :
,
Априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);
Вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
Вероятность наступления события B при истинности гипотезы A ;
Полная вероятность наступления события B .
Пример:
Пример расчёта
Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего - , а у третьего - . Первый изготовил деталей, второй - деталей, а третий - деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?
Cобытие - брак детали, событие - деталь произвёл рабочий . Тогда 
, где , а 
. По формуле полной вероятности
По формуле Байеса получим:
Билет №12
1. Тригонометрический ряд Фурье - представление произвольной функции с периодом в виде ряда
коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,
Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
Ряд Фурье
Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,
где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.
2.Противоположные события.
Противоположными
называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А - попадание, то противоположное событие - промах.
Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - противоположные
, очевидно, равна 10 / 21, что и утверждалось выше. [1 ]
Вычислим вероятность противоположного события А. Событие состоит в том, что выбранный номер не содержит ни одной из трех данных цифр. [2 ]
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. [3 ]
При этом вероятность противоположного события А будет больше, чем 1-а, то есть будет так же близка к единице, как вероятность события А близка к нулю
Билет №9
1. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им частоты n i . Точки (x i ; n i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению n i / h (плотность частоты).
2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А , В , С ,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р (АВС …) = Р (А )Р (В )Р (С )…
Иногда соотношение Р (АВ ) = Р (А ) Р (В |A ) = P (B )P (A |B ), справедливое при P (A )P (B) > 0,называют также теоремой умножения вероятностей
Билет №11
1) Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:
. 
При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.
Таким образом, зная плотность распределения, по формуле (6.7) можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:
Свойства плотности распределения вероятностей
непрерывной случайной величины:
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:
Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.
Учитывая, что F(+¥)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.
Эти два свойства являются характеристическими для плотности распределения вероятностей. Доказывается и обратное утверждение:
Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.
Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.
Событием, противоположным событию А, называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.
Непрерывность функции
Функция двух переменных f (x, y), определенная в точке (x 0 , y 0) и в некоторой окрестности ее, называется непрерывной в точке (x 0 , y 0), если предел этой функции в точке (x 0 , y 0) равен значению этой функции f(x 0 , y 0), т.е. если
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Непрерывные функции двух переменных обладают свойствами, аналогичными свойствам непрерывных функций одной переменной.
Если в некоторой точке (x 0 , y 0) условие непрерывности не выполняется, то говорят, что функция f (x, y) в точке (x 0 , y 0) разрывна.
Дифференцирование функции двух переменных
Частные производные первого порядка
Еще более важной характеристикой изменения функции являются пределы:
Предел отношения
называется частной производной первого порядка функции z = f (x, y) по аргументу x (сокращенно - частной производной) и обозначается символами или или
Аналогично, предел
называется частной производной функции z =f (x, y) по аргументу y и обозначается символами или или.
Нахождение частных производных называется частным дифференцированием.
Из определения частной производной следует, что при нахождении ее по одному какому-нибудь частному аргументу, другой частный аргумент считается постоянной величиной. После выполнения дифференцирования, оба частных аргумента снова считаются переменными величинами. Говоря другими словами, частные производные и являются функциями двух переменных x и y.
Частные дифференциалы
Величина
называется главной линейной частью приращения? x f (линейной по отношению к приращению частного аргумента?x). Эта величинаназывается частным дифференциалом, и обозначается символом d x f.
Аналогично
Полный дифференциал функции двух переменных
По определению, полным дифференциалом функции двух переменных, обозначаемым символом d f, называется главная линейная часть полного приращения функции:
Полный дифференциал оказался равным сумме частных дифференциалов. Теперь формулу для полного дифференциала можно переписать так:
Подчеркнем, что формула для полного дифференциала получается в предположении, что частные производные первого порядка
непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y).
Функция, имеющая в точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.
Чтобы функция двух переменных была дифференцируемой в точке, недостаточно, чтобы она имела в этой точке все частные производные. Необходимо, чтобы все эти частные производные были непрерывными в некоторой окрестности рассматриваемой точки.
Производные и дифференциалы высших порядков
Рассмотрим функцию двух переменных z =f (x, y). Выше уже отмечалось, что частные производные первого
сами являются функциями двух переменных, причем их можно дифференцировать по x и по y. Получаем производные высшего (второго) порядка:
Частных производных второго порядка оказалось уже четыре. Без доказательства высказывается утверждение: Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они и равны:
Рассмотрим теперь дифференциал первого порядка
Он является функцией от четырех аргументов: x, y, dx, dy, могущих принимать различные значения.
Дифференциал второго порядка вычисляем как дифференциал от дифференциала первого порядка: в предположении, что дифференциалы частных аргументов dx и dy - постоянные величины:
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя, описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.
В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Пусть B – множество упорядоченных пар действительных чисел .
Определение 1 Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции , а число – зависимой переменной .
Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: – радиуса основания и – высоты.
Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .
Значение функции
в точке обозначают 
или
и называют частным значением функции двух переменных.
Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.
Например, область определения функции – вся плоскость, а функции 
– единичный круг с центром в начале координат (
или .
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.
Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множествовсех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестностьточки–это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .
Определение 2
Число называется пределом функции
при 
(или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство 
.
Обозначается предел следующим образом: 
или 
.
Пример 1
Найти предел 
.
Решение.
Введем обозначение 
, откуда . При 
имеем, что . Тогда
.
Определение 3
Функция называется непрерывной в точке
, если: 1)определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. 
.
Функция называется непрерывной в некоторой области , если она непрерывна в каждой точке этой области.
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().
Пример 2
Найти точки разрыва функции 
.
Решение.
Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где 
или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .
2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков
Пусть задана функция двух переменных . Дадим аргументу приращение , а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по переменной и обозначается :
Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу приращение , получим частное приращение функции по переменной :
Величина называется полным прира-щением функции в точке .
Определение 4 Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).
Обозначается частная производная так: или , или 
.
Таким образом, по определению 4 имеем:
Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной , считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается .
Пример 3 Найти частные производные функций:
Решение:
1 Чтобы найти , считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :
Аналогично, считая постоянной величиной, находим :
.
.
Определение 5 Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
.
При нефиксированных : 
, а формулу полного дифференциала можно записать в виде
или 
.
Пример 4
Найти полный дифференциал функции 
.
Решение.
Так как 
, то по формуле полного дифференциала находим
.
Частные производные и называют частными производными первого порядка.
Определение 6 Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
Или 
; или 
;
Или 
; или 
.
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:
; 
и т. д.
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .
Пример 5 Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y , получим:
3 Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Определение 7
Точка называется точкой минимума (максимума)
функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство 
, (
).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума , а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).
Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .
Теорема 1
(необходимые условия экстремума).Если
– точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: 
.
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными . В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь его.
Теорема 2
(достаточное условие экстремума).Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой 
и 
; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка 
. Тогда, если 
, то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если 
, то функция в точке экстремума не имеет. В случае 
вопрос о наличии экстремума остается открытым.
При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:
1 Найти частные производные первого порядка: и .
2 Решить систему уравнений и найти критические точки функции.
3 Найти частные производные второго порядка: , , .
4 Вычислить значения частных производных второго порядка в каж-
дой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5 Найти экстремумы функции.
Пример 6
Найти экстремумы функции 
.
Решение:
1 Находим частные производные и :
; 
.
2 Для определения критических точек решаем систему уравнений:
или 
Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим:
, , 
,
.
Находим значения y
, соответствующие значениям 
. Подставляя значения в уравнение , получим: ; Таблица основных неопределенных интегралов
выполняется равенство.
Решение. Продифференцируем результат интегрирования:
.
Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определ енное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.
Обозначение: $z=f(x,y)$.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Замечание 1
Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.
Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:
Определение 2
Частная производная по переменной $x$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{x} z$ заданной функции к приращению $\Delta x$ при $\Delta x\to 0$.
Обозначение: $z"_{x} ,\, \, f"_{x} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial x} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial x} $.
Замечание 2
\[\frac{\partial z}{\partial x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta _{x} z}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} .\]
Дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:
Определение 3
Частная производная по переменной $y$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{y} z$ заданной функции к приращению $\Delta y$ при $\Delta y\to 0$.
Обозначение: $z"_{y} ,\, \, f"_{y} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial y} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial y} $.
Замечание 3
По определению частной производной имеем:
\[\frac{\partial z}{\partial y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{\Delta _{y} z}{\Delta y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} .\]
Отметим, что правила вычисления частной производной от заданной функции совпадают с правилами вычисления производных от функции одной переменной. Однако при вычислении частной производной необходимо помнить о том, по какой переменной ищется частная производная.
Пример 1
Решение:
$\frac{\partial z}{\partial x} =(x+y^{2})"_{x} =1$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial z}{\partial y} =(x+y^{2})"_{y} =2y$ (по переменной $y$).
Пример 2
Определить частные производные заданной функции:
в точке (1;2).
Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial z}{\partial x} =(x^{2} +y^{3})"_{x} =2x$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial z}{\partial y} =(x^{2} +y^{3})"_{y} =3y^{2} $ (по переменной $y$).
\[\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1;2)} =2\cdot 1=2, \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1;2)} =3\cdot 2^{2} =12.\]
Определение 4
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Определение 5
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные производные по каждой из переменных:
$\frac{\partial w}{\partial z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta _{z} w}{\Delta z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z} $;
$\frac{\partial w}{\partial t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta _{t} w}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)}{\Delta t} $.
Пример 3
Определить частные производные заданной функции:
Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial w}{\partial x} =(x+y^{2} +2z)"_{x} =1$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial w}{\partial y} =(x+y^{2} +2z)"_{y} =2y$ (по переменной $y$),
$\frac{\partial w}{\partial z} =(x+y^{2} +2z)"_{z} =2$ (по переменной $z$).
Пример 4
Определить частные производные заданной функции:
в точке (1;2;1).
Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial w}{\partial x} =(x+y^{2} +2\ln z)"_{x} =1$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial w}{\partial y} =(x+y^{2} +2\ln z)"_{y} =2y$ (по переменной $y$),
$\frac{\partial w}{\partial z} =(x+y^{2} +2\ln z)"_{z} =\frac{2}{z} $ (по переменной $z$).
Значения частных производных в заданной точке:
\[\left. \frac{\partial w}{\partial x} \right|_{(1;2;1)} =1, \left. \frac{\partial w}{\partial y} \right|_{(1;2;1)} =2\cdot 2=4, \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right|_{(1;2;1)} =\frac{2}{1} =2.\]
Пример 5
Определить частные производные заданной функции:
Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial w}{\partial x} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2})"_{x} =\frac{3}{x} $ (по переменной $x$),
$\frac{\partial w}{\partial y} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2})"_{y} =2y$ (по переменной $y$),
$\frac{\partial w}{\partial z} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2})"_{z} =2$ (по переменной $z$),
$\frac{\partial w}{\partial t} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2})"_{t} =2t$ (по переменной $t$).
Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М 0 (х 0 ;у 0), если она:
а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б) имеет предел
в) этот предел равен значению функции z в точке Мо, т. е.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции.
71. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.
Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак, Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у). Полное приращение Δz функции z определяется равенством Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у). Если существует предел , то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: 
Частные производные по х в точке обычно обозначают символами Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у: . Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).
72. Применение дифференциала функции нескольких(двух) переменных к приближенным вычислениям.
Полным дифференциалом функции нескольких переменных можно пользоваться для приближенных вычислений. Пусть дана дифференцируемая функция .Её полное приращение выражается формулой . Здесь стремиться к 0 быстрее чем, 
. Поэтому при малых ρ, т.е. при малых , слагаемые можно пренебречь и написать: , т.е. приращение функции можно приближенно заменить ее полным дифференциалом. Так как , то подставляем это выражение для в формулу (1.) получим: , оттуда .Формулой (2) можно пользоваться при приближении вычеслениях значений функции двух переменных в точке 
близкой к точке P(x;y), если известны значения функции и ее части производных в самой точке P(x;y).
73. Частные производные первого порядка. Определение.Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0 , то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М 0 и обозначается одним из символов: По определению, Частные производные по у и по z определяются аналогично: Производные f" x ; f" y ; f" z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными. Так как частное приращение Δxf(M 0)получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f" x (M 0) может рассматриваться как производная функции f(x 0 ,y 0 ,z 0) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x. Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным. Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.
74. Производная по направлению. Градиент. Пусть в некоторой области D задана функция и точка M(x,y,z). Проведем из точки M вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. 
. Будем предполагать, что функция u=u(x,y,z) и ее частные производные первого порядка непрерывны в области D. Предел отношения при называется производной от функции u=u(x,y,z)в точке M(x,y,z)по направлению вектора
и обозначается , т.е. . Для нахождения производной от функцииu=u(x,y,z)
в заданной точке по направлению вектора используют 
формулу: где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: 
. Пусть в каждой точке некоторой области D задана функцияu=u(x,y,z)
.Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции u=u(x,y,z)
и обозначается или (читается «наблау»): 
. При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Для нахождения градиента функции u=u(x,y,z)
в заданной точке используют формулу: 
. Свойства градиента1.
Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно . 2.
Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю.
75. Экстремум функции нескольких переменных. Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.Пусть функция z = f(x;у)
определена в некоторой области D,
точка N(x
0 ;y
0 ) Î D.
Точка (х
0 ;у
0 )
называется точкой максимума
функции z
= f(x;y),
если существует такая δ-окрестность точки (х
0 ;у
0 ),
что для каждой точки (х;у),
отличной от (х
0 ;у
0), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;у)
76. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Функция z=f(x,y) имеет условный минимум(максимум) во внутренней точке M 0 (x 0 ,y 0) , если для любых точек М(х,у) из некоторой окрестности О(М 0), удовлетворяющий уравнению связи ϕ(х,у)=0, выполняется условие ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y 0)≤0). В общем случае эта задача приводится к отысканию обычного экстремума Лагранжа L(x,y,λ)=f(x,y)=λϕ(x,y) с неизвестным множителем Лагранжа λ. Необходимое условие экстремума функции Лагранжа L(x,y,λ) представляет собой систему из трех уравнений с тремя неизвестными x,y,λ: 
. Достаточным условием для экстремума ф-ии Лагранжа заключается в следующем утверждении ∆>0, то ф-ия z=f(x,y) в точке M 0 (x 0 ,y 0) имеет условный минимум, ∆<0- то условный максимум.
77. Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда. Числовым рядом
называется выражение вида, 
где u 1 ,u 2 ,….,u n ,… – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда
, u n - общим членом
ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда u n , выраженный как функция его номера n: u n =f(n).Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой
ряда и обозначается через S n , т.е. S n =u 1 +u 2 +…+u n . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда
и говорят, что ряд сходится
.
78. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Теорема: Пусть числовой ряд u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) сходиться, а S-его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u n стремиться к 0. Этот признак яв-ся необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, т.к. можно указать ряд, для которого выполняется равенство
На самом деле, если бы он сходился, то равнялся бы 0. Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S n , сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд расходиться так как 
. Гармонический ряд
- сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда: 
Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: {\displaystyle k}-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, - это основной тон, производимый струной длиной {\displaystyle {\frac {1}{k}}} от длины исходной струны.