В § 6 мы выяснили, что силы, действующие на заряд q в электростатическом поле, являются консервативными. Следовательно, работа этих сил на любом замкнутом пути Г равна нулю:
Сократив на q, получим соотношение
Интеграл, стоящий в левой части формулы (12.1), представляет собой циркуляцию вектора контуру Г (см. (11.16)). Таким образом, характерным для электростатического поля является то обстоятельство, что циркуляция вектора напряженности этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
Возьмем произвольную поверхность S, опирающуюся на контур Г, для которого вычисляется циркуляция (рис. 12.1). Согласно теореме Стокса (см. (11.42)) интеграл от ротора Е, взятый по этой поверхности, равен циркуляции вектора Е по контуру Г:
Поскольку циркуляция равна нулю, мы приходим к выводу, что
Полученное условие должно выполняться для любой поверхности S, опирающейся на произвольный контур Г. Это возможно лишь в том случае, если ротор вектора Е в каждой точке поля равен нулю:
По аналогии с крыльчаткой, изображенной на рис. 11.12, представим себе электрическую «крыльчатку» в виде легкой втулки со спицами, на концах которых помещаются одинаковые по величине положительные заряды q (рис. 12.2; все устройство должно быть малых размеров). В тех местах электрического поля, где ротор Е отличен от нуля, такая крыльчатка вращалась бы с тем большим ускорением, чем больше проекция ротора на ось крыльчатки.
В случае электростатического поля такое воображаемое устройство не пришло бы во вращение при любой ориентации его оси.
Итак, отличительной особенностью электростатического поля является то, что оно безвихревое. В предыдущем параграфе мы выяснили, что ротор градиента скалярной функции равен нулю (см. формулу (11.38)). Поэтому равенство нулю ротора Е в каждой точке поля делает возможным представление Е в виде градиента скалярной функции Из необходимости соблюдения условия (12.1) можно сразу заключить, что существование элекростатического поля вида, показанного на рис. 12.3, невозможно. Действительно, для такого поля циркуляция по контуру, изображенному пунктиром, была бы отлична от нуля, что противоречит условию (12.1). Точно так же невозможно, чтобы поле, отличное от нуля в ограниченном объеме, было во всем этом объеме однородным (рис. 12.4). В этом случае циркуляция по контуру, показанному пунктиром, была бы отлична от нуля.
Взаимодействие неподвижных зарядов реализуется посредством электростатического поля. Описывают электростатическое поле при помощи вектора напряженности ($\overline{E}$), который определен как сила ($\overline{F}$), действующая на единичный положительный заряд, размещенный в рассматриваемой точке поля:
\[\overline{E}=\frac{\overline{F}}{q}\left(1\right).\]
Электростатические силы являются консервативными, это значит, что их работа по замкнутой траектории ($L$) равна нулю:
где $\overline{r}$ - перемещение.
Интеграл в формуле (2) называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Циркуляция вектора $\overline{E}$- это работа, которую могут совершить силы Кулона, перемещая положительный заряд равный единице по контуру.
Учитывая, что $q\ne 0$, получим:
\[\oint\nolimits_L{\overline{E}d\overline{r}=}0\ \left(3\right).\]
Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля говорит о том, циркуляция $\overline{E}$ по замкнутому контуру равна нулю.
В дифференциальной форме теорему о циркуляции записывают как:
Такой вид записи как (4) удобно использовать для проверки потенциальности векторного поля. Потенциальное поле является безвихревым.
Как следствие из теоремы о циркуляции $\overline{E}$: работа при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории движения.
Из теоремы о циркуляции следует, что линии электростатического поля не бывают замкнутыми, они начинаются на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля
Физическая величина ($\overline{H}$), являющаяся характеристикой магнитного поля, равная:
\[\overline{H}=\frac{\overline{B}}{{\mu }_0}-{\overline{P}}_m(5)\]
называется напряженностью магнитного поля. $\overline{B}$ - вектор магнитной индукции поля; ${\mu }_0$ - магнитная постоянная; ${\overline{P}}_m$- вектор намагниченности.
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=\sum{I_m}\left(6\right).}\]
Если направление обхода контура связывается с направлением тока правилом правого винта, то ток в сумме (5) стоит со знаком плюс.
Циркуляция вектора напряженности в общем случае отлична от нуля, это означает, что магнитное поле - это вихревое поле, оно не является потенциальным.
Теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля доказывают, опираясь на закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции.
Теорема о циркуляции вектора $\overline{H}$ исполняет роль, похожую на роль теоремы Гаусса для вектора напряженности электрического поля. Если имеется симметрия при распределении токов, то используя теорему о циркуляции $\overline{H},$ находят саму напряженность магнитного поля.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Определите, является ли потенциальным электрическое поле, которое задано уравнением: $\overline{E}\left(x,y\right)=A\left(2xy\ \overline{i}+\left(x^2-y^2\right)\overline{j}\right).$
Решение. Из теоремы о циркуляции, которая записана в дифференциальном виде:
следует, что если вихрь поля равен нулю, то поле потенциально. Используя определение ротора:
\=\frac{\partial E_y}{\partial x}\overline{k}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\overline{k}\left(1.3\right).\]
Частные производные от $\overline{E}$ равны:
\[\frac{\partial E_y}{\partial x}=A\cdot 2x;;\ \frac{\partial E_x}{\partial y}=A\cdot 2x\ \left(1.4\right).\]
Подставляя (1.4) в (1.3), получаем, что
\=0.\]
Ответ. Поле является потенциальным.
Пример 2
Задание. Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура $L$ (рис.1), если $I_1=5\ A;;\ I_2=2\ A;;\ I_3=10\ A;;\ I_4=1\ A?$
Решение. Основой для решения задачи служит теорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=\sum{I_m}\left(2.1\right).}\]
Контур $L$ охватывает три тока, следовательно:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=I_1-I_2+I_3.}\]
Вычислим циркуляцию:
\[\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=5-2+10=13\ (А).}\]
Ответ. $\oint\limits_L{\overline{H}d\overline{r}=13А\ .}$
радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью (= dQ/dV- заряд, приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения симметрии (см.п.3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r" < R охватывает заряд Q " = 4 / 3 r" 3 . Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), 4r" 2 E =Q " / 0 = 4 / 3 r 3 / 0 . Учитывая, что =Q/(4 / 3 R 3), получим
Таким образом, напряженность ноля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r " согласно выражению (82.4). График зависимости E от r приведен на рис. 130.
5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр
радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно с линейной плотностью (=dQ/dt - заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l . Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность -2 rl Е. По теореме Гаусса (81.2), при r>R 2 rlE = l / 0 , откуда
Если
r
§ 83. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q 0 , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна
Работа при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2
не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными (см. §12).
Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.
Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Е dl =E l dl, где E l =E cos - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде
Интеграл
называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.
Формула (83.3) справедлива только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов условие (83.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути перехода, а зависит только от положения начальной и конечной точек перемещения, т.е. электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы консервативными. В случае, когда заряд q 0 перемещается в поле системы зарядов, то на движущийся заряд по принципу суперпозиций действует сила и работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ соответствующих сил:
, (7.11)
где r i 1 и r i 2 расстояния от заряда q i до начальной и конечной точки перемещение заряда q 0 . Из формулы (7.10) также следует, что работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле по замкнутому пути, равна нулю, т.е. . Если перемещённый заряд принять за единицу, то (7.11) можно записать:
, или . (7.12)
Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности вдоль замкнутого контура .
Из теоремы о циркуляции вектора напряженности можно сделать несколько важных выводов: 1) линии напряженности поля не могут быть замкнутыми; 2) существование электростатического поля вида, показанного на рис. 7.5 невозможно.
| 
Рис.7.5
|
|||
| Рис.7.4 |
В самом деле, если применить к этому полю теорему о циркуляции вектора по замкнутому контуру, показанному на рис. 7.6 пунктиром, то она была бы отлична от нуля, что противоречит теореме.
Вопрос №42
Потенциал электростатического поля. q 2 в поле заряда q 1 можно записать в виде
. (7.16)
Wp const r → ∞, Wp = 0 . Следовательно,
. (7.17)
W/q 2 q 2 .
q равен
Если поле создаётся системой зарядов q 1 , q 2 , …q n , то для потенциальной энергии заряда q пр в поле системы зарядов получим
. (7.21)
С учетом (7.19), потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности
(7.22)
7.7 Связь между потенциалом j и напряжённостью электрического поля . Дифференциальную формулу связи и φ, справедливую для малой окрестности какой-либо точки поля, можно вывести из выражений для элементарной работы . Откуда
где E l – проекция вектора на направление в пространстве.
В более общем векторном виде вектор равен 
, где
– единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей х, у, z Последнее уравнение можно записать в виде
Или Ñj , (7.19)
т.е. напряжённость поля равна градиенту потенциала и направлена в сторону убывания потенциала .
Вопрос №43
7.8 проводники в электрическом поле. Если проводнику сообщить некоторый заряд или его поместить во внешнее электростатическое поле, то в обоих случаях на заряды проводника будет действовать электростатическое поле и они будут перемещаться внутри проводника. Этот процесс будет происходить до тех пор, пока внутри проводника поле не будет равно нулю и потенциал внутри проводника должен быть постоянным (j=const). Напряженность на поверхности проводника в каждой точке должна быть направлена по нормали. В противном случае касательные составляющие привели бы заряды, находящиеся на поверхности в движение, и равновесие зарядов было бы нарушено. Применив теорему Гаусса, можно определить напряжённость поля непосредственно у поверхности проводника
,
где e – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник, s – поверхностная плотность заряда.
7.9 Электроемкость уединенного проводника. Рассмотрим проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов в связи с чем его можно рассматривать как уединенный проводник. Из опыта следует, что между зарядом и потенциалом существует зависимость q = Сj.
Величину называют электроемкостью или просто емкостью уединенного проводника . Емкость зависит от формы и размеров проводника и не зависит от материала, агрегатного состояния и от размеров полостей внутри проводника. Емкость не зависит от заряда и потенциала проводника.
7.10 Электроемкость конденсаторов. Система проводников, близко расположенных друг другу и заряженных одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами называется конденсатором, а проводники – его обкладками. Емкость конденсатора определяется
где j 1 - j 2 –разность потенциалов между обкладками, q – заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке конденсатора. По форме обкладок конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические:
1) электроёмкость плоского конденсатора
2) электроёмкость цилиндрического конденсатора
, (7.23)
где – длина конденсатора, R 1 и R 2 – радиусы внутренней и наружной цилиндрических обкладок.
3) Электроемкость сферического конденсатора
, (7.24)
где R 1 и R 2 – радиусы внутренней и наружной обкладок.
Вопрос №44
7.11 Энергия заряженного конденсатора. Процесс зарядки конденсатора можно представить как последовательное перемещение бесконечно малых порций заряда dq с одной пластины на другую, в результате чего одна из пластин будет заряжаться положительно, а другая – отрицательно и между ними будет возникать постепенно возрастающая разность потенциалов U = q / С . При этом энергия конденсатора равна
Здесь Е – напряженность электрического поля внутри конденсатора, a V= S d –его объем. Отсюда энергия единицы объема, или объемная плотность энергии электрического поля
В изотропном диэлектрике направления векторов и совпадают. Поэтому формуле для плотности энергии можно придать вид
Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.
7.6 Потенциал электростатического поля. Поскольку работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии, то на основании формулы (7.13) выражение для потенциальной энергии заряда q 2 в поле заряда q 1 можно записать в виде
. (7.16)
Как видно из выражения (7.16), Wp определяется с точностью до постоянной величины. В данном случае для электрического поля точечного заряда принято выбирать const так, чтобы на бесконечно большом расстоянии между зарядами их взаимная потенциальная энергия обращалась в нуль: r → ∞, Wp = 0 . Следовательно,
.
Из формулы (7.17) следует, что отношение W/q 2 для данной точки поля не зависит от величины заряда q 2 . Поэтому это отношение может служить энергетической характеристикой электростатического поля, которая называется потенциалом поля,и равна отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда
Из выражений (7.17) и (7.18) следует, что потенциал поля точечного заряда q равен
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точке перемещения
Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.
Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.
Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.
Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории (рис. 3.5.). Заряд из точки 1 перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L2. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила:
Работа этой силы на замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю:
Это уравнение, упростив, запишем так:
Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение - элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении (рис. 3.6.):
здесь q = 1 - единичный заряд.
При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать (3.19) по замкнутому контуру L :
Интеграл по замкнутому контуру = называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости - это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда.
Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю:
Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю .
Работа перемещения заряда.
На положительный точечный заряд q
в электрическом поле с напряжённостью E
действует сила
F
= q
E
. При перемещении заряда на отрезке dl
силами поля совершается работа
dA = F dl = q E dl cos (E , dl ) .
При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна
Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q , напряженность поля которого
.
Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E , dl ).
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:
|
|
Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q . Если оба заряда, q и Q , положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.
Для электрического поля, созданного системой зарядов Q 1, Q 2,¼, Q n , работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:
.
Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q .
Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру длиной l , определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:
Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.
Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силамиконсервативными , а само поле - потенциальным .