Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители
Определение. Матрицей размера m n , где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a ij , где i - номер строки, а j - номер столбца.
А =
Основные действия над матрицами.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной .
Определение. Матрица вида:
= E
,
называется единичной матрицей .
Определение. Если a mn = a nm , то матрица называется симметрической .
Пример.
- симметрическая матрица
Определение.
Квадратная матрица вида 
называется диагональной
матрицей.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера . Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
c ij = a ij b ij
С = А + В = В + А.
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
(А+В) = А В А( ) = А А
Пример.
Даны матрицы А = 
; B
= 
, найти 2А + В.
2А = 
, 2А + В = 
.
Операция умножения матриц .
Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
A
B
=
C
;
.
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Свойства операции умножения матриц.
1)Умножение матриц не коммутативно , т.е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А Е = Е А = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
A O = O ; O A = O ,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа верно соотношение:
(AB ) = ( A ) B = A ( B ).
5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В Т А Т и выполняется равенство:
(АВ) Т = В Т А Т, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA detB.
Что такое det будет рассмотрено ниже.
Определение . Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием , если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = 
; В = А Т =
;
другими словами, b ji = a ij .
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC ) T = C T B T A T ,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
Пример.
Даны матрицы А = 
, В = , С = 
и число
= 2. Найти А
Т
В+
С.
A
T
=
;
A
T
B
=
=
=
;
C
=
; А
Т
В+
С =
+
=
.
Пример.
Найти произведение матриц А = и В = 
.
АВ =
= 
.
ВА =
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример.
Найти произведение матриц А=
, В = 
АВ =
= 
= 
.
Определители (детерминанты).
Определение.
Определителем
квадратной матрицы А=
называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
det
A
= 
, где (1)
М 1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Ф
ормула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
det
A
= 
(2)
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
detA
= 
, i
= 1,2,…,n
. (3)
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М 1к называется дополнительным минором элемента матрицы a 1 k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.
Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.
Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:
det A = det A T ;
Свойство 2. det (A B) = det A det B.
Свойство 3. det (AB ) = detA detB
Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.
Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.
Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.
Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми , если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.
Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d 1 d 2 , e = e 1 e 2 , f = det (AB).
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.
2- й способ:
AB
=
,
det
(AB
) = 7
18 - 8
19 = 126 –
– 152 = -26.
1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.
При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n - ее порядком.
В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:
Или 
Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij || , а иногда с разъяснением: А = || a ij || = (a ij), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).
Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы
(1.1)
вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а 11 а 12 … a nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а n 1 а (n -1)2 … a 1 n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Основные операции над матрицами и их свойства.
Перейдем к определению основных операции над матрицами.
Сложение матриц. Суммой двух матриц A = || a ij || , где и В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с ij которой определяются по формуле
, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.2)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:
+ 
= 
Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:
1) переместительным свойством: А + В = В + А,
2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число l, называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) , элементы которой определяются по формуле:
, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.3)
Для обозначения произведения матрицыі на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.
Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (l m) A = l (m A);
2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A
Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A - В.
Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = A + (–1) В.
Произведение матриц или перемножение матриц.
Произведением матрицы A = || a ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р) , имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле:
где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)
(1.4)
Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А × В . Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.
Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.
Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c i j стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.
× = 
Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матри-цу В:
1) сочетательное свойство: (А В) С = А (В С);
2) распределительное относительно суммы матриц свойство:
(A + B) С = А С + В С или A (В + С) = A В + А С.
Вопрос о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.
Приведем важные частные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими.
Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядка п имеет вид
D = 
(1.5)
где d 1 , d 2 , … , d n -какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d 1 = d 2 = … = d n то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.
Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d 1 = d 2 = … = d n = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n Е. Вторая матрица получается при d = 0 , называется нулевой матрицей n -го порядка и обозначается символом O. Таким образом,
E = 
O = 
В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что
А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)
Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство
А + 0 = 0 + А = А.
В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю).
Блочные матрицы
Предположим, что некоторая матрица A = || a ij || при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыі А = || A a b || , элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй - номер «блочного» столбца.
Например, матрицу
можно рассматривать как блочную матрицу
элементами которой служат следующие блоки:
Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.
Понятие определителя.
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка п:
A = (1.7)
С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.
Если порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та а i j определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.
то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а 11 а 22 - а 12 а 21 и обозначаемое одним из символов:
Итак, по определению
(1.9)
Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.
Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системе MathCad . Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n ). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.
В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы.
q После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.
Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:
q выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,
q или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.
Меню “Символы” содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель .
Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель .
Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.
Функции, предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе “Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается кнопкой на панели “Стандартные”). Основные из этих функций будут описаны позже.
Транспонирование
|
В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы <+> или <-> соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых (пример на рис.3).
Кроме сложения матриц, MathCAD поддерживает операцию сложения матрицы со скалярной величиной, т.е. числом (пример на рис.4). Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответст-вующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.
Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*> или воспользоваться панелью инструментовMatrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение) (рис.1). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в примере на рис 6. Символ умножения матриц можно выбирать точно так же, как и в скалярных выражениях.
Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу-строку и, наоборот, строки на вектор, приведен на рис. 7. Во второй строке этого примера показано, как выглядит формула при выборе отображения оператора умноженияNo Space (Вместе). Однако тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому.
Похожая информация.
Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее изmстрок иnстолбцов
коротко матрицу обозначают так:
где элементы данной матрицы,i– номер строки,j– номер столбца.
Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n ), то матрица называетсяквадратной n -го порядка, а в противном случае –прямоугольной.
Если m = 1 и n > 1, то получаем однострочную матрицу
которая называется вектор-строкой , если, жеm >1 иn =1, то получаем одностолбцовую матрицу
которая называется вектор-столбцом .
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единично, обозначаетсяE .
Матрица, полученная из данной заменой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается.
Две матрицы иравны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если
при всех i иj (при этом число строк (столбцов) матрицA иB должно быть одинаковым).
1°. Суммой двух матрицA =(a ij ) иB =(b ij ) с одинаковым количествомm строк иn столбцов называется матрицаC =(c ij ), элементы которой определяются равенством
Сумму матриц обозначают C =A +B .
Пример.
2 0 . Произведением матрицыA =(a ij ) на числоλ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицыA на числоλ :
λA =λ (a ij )=(λa ij ), (i =1,2…,m ; j =1,2…,n).
Пример.
3 0 . Произведением матрицыA =(a ij ), имеющейm строк иk столбцов, на матрицуB =(b ij ), имеющейk строк иn столбцов, называется матрицаC =(c ij ), имеющаяm строк иn столбцов, у которой элементc ij равен сумме произведений элементовi -ой строки матрицыA иj -го столбца матрицыB , то есть
При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицыB . В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B =C.
Пример.
Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A * B иB * A , в общем случае одна из них может быть не определена.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Пример. Пусть,, тогда согласно правилу умножения матриц имеем
,
откуда заключаем, что
Определители и их свойства.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом
и определяемое равенством
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком "+", а какие со знаком "-", полезно использовать следующее правило треугольников.
Пример.
Сформулируем основные свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.
1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. е.
2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.
3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое числоλ равносильно умножению определителя на это числоλ .
5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
7. Если каждый элементn -го столбца (n -ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один вn -ом столбце (n -ой строке) содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.
Например,
8 0 . Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не изменится.
Например,
Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Например, минором элемента а 1 определителяΔ является определитель 2-го порядка
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1) p , гдер - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Если, например, элемент а 2 находятся на пересечении 1-го столбца и 2-ой строки, то для негор =1+2=3 и алгебраическим дополнением является
9 0 . Определитель равен сумме произведений элементов какого–либо столбца или строки на их алгебраические дополнения.
10 0 . Сумма произведений элементов какого–либо столбца или какой–либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равны нулю.
Возникает вопрос, можно ли для квадратной матрицы А подобрать некоторую матрицу, такую что умножив на нее матрицу А в результате получить единичную матрицу Е , такую матрицу называют обратной к матрице А.
Определение. Матрицаназывается обратной квадратной матрицеA, если.
Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае квадратная матрица называется вырожденной.
Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Элементарными преобразованиями матриц являются:
перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
умножение всех элементов матрицы на число, отличное от нуля;
прибавление ко всем элементами ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Матрица В , полученная из матрицыА с помощью элементарных преобразований, называетсяэквивалентной матрицей.
Для невырожденной квадратной матрицы
третьего порядка обратная матрица А -1 может быть вычислена по следующей формуле
здесь Δ - определитель матрицы А ,A ij – алгебраические дополнения элементовa ij матрицыА.
Элемент строки матрицы называется крайним , если он отличен от нуля, а все элементы строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица называетсяступенчатой , если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. Например:
Не ступенчатая; - ступенчатая.
В этой статье мы разберемся как проводится операция сложения над матицами одного порядка, операция умножения матрицы на число и операция умножения матриц подходящего порядка, аксиоматически зададим свойства операций, а также обсудим приоритет операций над матрицами. Параллельно с теорией будем приводить подробные решения примеров, в которых выполняются операции над матрицами.
Сразу заметим, что все нижесказанное относится к матрицам, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа.
Навигация по странице.
Операция сложения двух матриц.
Определение операции сложения двух матриц.
Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.
Определение.
Сумма двух матриц и - это матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В , то есть, .
Таким образом, результатом операции сложения двух матриц является матрица того же порядка.
Свойства операции сложения матриц.
Какими же свойствами обладает операция сложения матриц? На этот вопрос достаточно легко ответить, отталкиваясь от определения суммы двух матриц данного порядка и вспомнив свойства операции сложения действительных (или комплексных) чисел.
- Для матриц А , В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложения А+(В+С)=(А+В)+С .
- Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А+О=А .
- Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица (–А) , их суммой является нулевая матрица: А+(-А)=О .
- Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А+В=В+А .
Следовательно, множество матриц данного порядка порождает аддитивную группу Абеля (абелеву группу относительно алгебраической операции сложения).
Сложение матриц - решения примеров.
Рассмотрим несколько примеров сложения матриц.
Пример.
Найдите сумму матриц и 
.
Решение.
Порядки матриц А
и В
совпадают и равны 4
на 2
, поэтому мы можем проводить операцию сложения матриц и в результате должны получить матрицу порядка 4
на 2
. Согласно определению операции сложения двух матриц, сложение производим поэлементно:
Пример.
Найдите сумму двух матриц 
и 
элементами которых являются комплексные числа.
Решение.
Так как порядки матриц равны, то мы можем выполнить сложение.
Пример.
Выполните сложение трех матриц 
.
Решение.
Сначала сложим матрицу А
с В
, затем к полученной матрице прибавим С
:
Получили нулевую матрицу.
Операция умножения матрицы на число.
Определение операции умножения матрицы на число.
Операция умножения матрицы на число определена ДЛЯ МАТРИЦ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.
Определение.
Произведение матрицы и действительного (или комплексного) числа - это матрица, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов исходной матрицы на число , то есть, .
Таким образом, результатом умножения матрицы на число является матрица того же порядка.
Свойства операции умножения матрицы на число.
Из свойств операции умножения матрицы на число следует, что умножение нулевой матрицы на число ноль даст нулевую матрицу, а произведение произвольного числа и нулевой матрицы есть нулевая матрица.
Умножение матрицы на число - примеры и их решение.
Разберемся с проведением операция умножения матрицы на число на примерах.
Пример.
Найдите произведение числа 2
и матрицы 
.
Решение.
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число:
Пример.
Выполните умножение матрицы на число .
Решение.
Умножаем каждый элемент заданной матрицы на данное число:
Операция умножения двух матриц.
Определение операции умножения двух матриц.
Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В .
Определение.
Произведение матрицы А
порядка и матрицы В
порядка
- это такая матрица С
порядка , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы А
на соответствующие элементы j-ого
столбца матрицы В
, то есть,
Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка на матрицу порядка является матрица порядка .
Умножение матрицы на матрицу - решения примеров.
Разберемся с умножением матриц на примерах, после этого перейдем к перечислению свойств операции умножения матриц.
Пример.
Найдите все элементы матрицы С
, которая получается при умножении матриц 
и 
.
Решение.
Порядок матрицы А
равен p=3
на n=2
, порядок матрицы В
равен n=2
на q=4
, следовательно, порядок порядок произведения этих матриц будет p=3
на q=4
. Воспользуемся формулой
Последовательно принимаем значения i
от 1
до 3
(так как p=3
) для каждого j
от 1
до 4
(так как q=4
), а n=2
в нашем случае, тогда
Так вычислены все элементы матрицы С
, и матрица, полученная при умножении двух заданных матриц, имеет вид 
.
Пример.
Выполните умножение матриц и 
.
Решение.
Порядки исходных матриц позволяют провести операцию умножения. В результате мы должны получить матрицу порядка 2 на 3.
Пример.
Даны матрицы и 
. Найдите произведение матриц А
и В
, а также матриц В
и А
.
Решение.
Так как порядок матрицы А
равен 3
на 1
, а матрицы В
равен 1
на 3
, то А⋅В
будет иметь порядок 3
на 3
, а произведение матриц В
и A
будет иметь порядок 1
на 1
.
Как видите, . Это одно из свойств операции умножения матриц.
Свойства операции умножения матриц.
Если матрицы А , В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц .
Следует отметить, что при подходящих порядках произведение нулевой матрицы О на матрицу А дает нулевую матрицу. Произведение А на О также дает нулевую матрицу, если порядки позволяют проводить операцию умножения матриц.
Среди квадратных матриц существуют так называемые перестановочные матрицы , операция умножения для них коммутативна, то есть . Примером перестановочных матриц является пара единичной матрицы и любой другой матрицы того же порядка, так как справедливо .
Приоритет операций над матрицами.
Операции умножения матрицы на число и умножения матрицы на матрицу наделены равным приоритетом. В то же время эти операции имеют приоритет выше, чем операция сложения двух матриц. Таким образом, сначала выполняется умножение матрицы на число и умножение матриц, а уже потом производится сложение матриц. Однако, порядок выполнения операций над матрицами может быть задан явно с помощью скобок.
Итак, приоритет операций над матрицами аналогичен приоритету, присвоенному операциям сложения и умножения действительных чисел.
Пример.
Даны матрицы 
. Выполните с заданными матрицами указанные действия 
.
Решение.
Начинаем с умножения матрицы А
на матрицу В
:
Теперь умножаем единичную матрицу второго порядка Е
на два:
Складываем две полученные матрицы:
Осталось выполнить операцию умножения полученной матрицы на матрицу А
:
Следует заметить, что операции вычитания матриц одного порядка А
и В
как таковой не существует. Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А
и матрицы В
, предварительно умноженной на минус единицу: 
.
Операция возведения квадратной матрицы в натуральную степень так же не самостоятельна, так как является последовательным умножением матриц.
Подведем итог.
На множестве матриц определены три операции: сложение матриц одного порядка, умножение матрицы на число и умножение матриц подходящих порядков. Операция сложения на множестве матриц данного порядка порождает группу Абеля.