Гармонический анализ периодических сигналов. Спектральный (гармонический) анализ сигналов. Математическая запись гармонических колебаний. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.20,а. Пусть на входе этой цепи действует напряжение u1(t).

Рис. 3.20. Дифференцирующие RC-(а) и RL-(б) цепи.

Тогда для этой цепи справедливо соотношение

и с учетом преобразований будем иметь

Если для данного сигнала выбрать постоянную времени цепи τ=RC настолько большим, что вкладом второго члена правой части (3.114) можно пренебречь, то переменная составляющая напряжения uR≈u1. Это значит, что при больших постоянных времени напряжение на сопротивлении R повторяет входное напряжение. Такую цепь применяют тогда, когда необходимо передать изменения сигнала без передачи постоянной составляющей.

При очень малых значениях τ в (3.114) можно пренебречь первым слагаемым. Тогда

т. е. при малых постоянных времени τ RC-цепь (рис. 3.20,а) осуществляет дифференцирование входного сигнала, поэтому такую цепь называют дифференцирующей RC-цепью.

Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь (рис. 3.20,б).

Рис. 3.21. Частотные (а) и переходная (б) характеристики дифференцирующих цепей.

Сигналы при прохождении через RС- и RL-цепи называют быстрыми, если

или медленными, если

Отсюда следует, что рассмотренная RC-цепь дифференцирует медленные и пропускает без искажения быстрые сигналы.

Для гармонической э. д. с. аналогичный результат легко получить, вычисляя коэффициент передачи цепи (рис. 3.20,а) как коэффициент передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениямиR и XC=1/ωC:

При малых τ, а именно когда τ<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в

При этом фаза выходного напряжения (аргумент K) равна π/2. Сдвиг гармонического сигнала по фазе на π/2 эквивалентен его дифференцированию. При τ>>1/ω коэффициент передачи K≈1.

В общем случае модуль коэффициента передачи (3.116), или частотная характеристика цепи (рис. 3.20,а):

а аргумент K, или фазовая характеристика этой цепи:

Эти зависимости показаны на рис. 3.21,а.

Такими же характеристиками обладает RL-цепь на рис. 3.20,б с постоянной времени τ=L/R.

Если в качестве выходного сигнала взять единичный скачок напряжения , то интегрированием уравнения (3.114) можно получить переходную характеристику дифференцирующей цепи, или временную зависимость выходного сигнала при единичном скачке напряжения на входе:

График переходной характеристики показан на рис. 3.21,б.

Рис. 3.22. Интегрииующие RC-(а) и LC-(б) цепи.

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.22,а. Она описывается уравнением

При малых τ=RC (для «медленных» сигналов) uC≈u1. Для «быстрых» сигналов напряжение u1 интегрируется:

Поэтому RC-цепь, выходное напряжение которого снимается с емкости C называют интегрирующей цепью.

Коэффициент передачи интегрирующей цепи определяется выражением

При ω<<1/τ K≈1.

Частотная и фазовая характеристики описываются соответственно выражениями

Рис. 3.23. Частотные (а) и переходная (б) характеристики интегрирующих цепей.

и изображены на рис. 3.23,а. Переходная характеристика (рис. 3.23,б) получается интегрированием (3.121) при :

При равных постоянных времени такими же свойствами обладает RL-цепь, изображенная на рис. 3.22,б.

Электрическая цепь, в к-рой выходное напряжение U вых (t)(или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U вх (t) (или тока):

Рис. 1. Интегратор на операционном усилителе. <В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью С под действием приложенного тока или накопление магн. потока в катушке с индуктивностью L под действием приложенного напряжения Преимущественно используются И. ц. с конденсатором. <С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R, равен току заряда

конденсатора С, а напряжение в точке их соединения равно нулю. В результате Произведение RС=t, характеризующее скорость заряда конденсатора, наз. постоянной времени И. ц. <Широко используется простейшая RC-И. ц. (рис. 2, а). В этой схеме ток заряда конденсатора определяется разностью входного и выходного напряжений поэтому интегрирование входного напряжения выполняется приближённо и тем точнее, чем меньше выходное напряжение по сравнению с входным. Последнее условие выполняется, если постоянная времени t много больше интервала времени, по к-рому происходит интегрирование. Для правильного интегрирования импульсного входного сигнала необходимо, чтобы t была много больше длительности импульса Т(рис. 3). Аналогичными свойствами обладает RL-И. ц., показанная на рис. 2, б, для к-рой постоянная времени равна L/R.

Рис. 3. 1 - входной прямоугольный импульс; 2 - выходное напряжение интегрирующей цепи при tдT.

И. ц. применяются для преобразования импульсов, модулированных по длительности, в импульсы, модулированные по амплитуде, для удлинения импульсов, получения пилообразного напряжения, выделения низкочастотных составляющих сигнала и т. п. И. ц. на операц. усилителях применяются в устройствах автоматики и аналоговых ЭВМ для реализации операции интегрирования.

53.Переходные процессы. Законы коммутации и их применение.

Перехо́дные проце́ссы - процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, - при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях - наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Длительность переходного процесса длятся от долей наносекунд до годов. Зависят от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы коммутации относятся к энергоемким (реактивным) элементам, т. е. к емкости и индуктивности. Они гласят: напряжение на емкости и ток в индуктивности при конечных по величине воздействиях являются непрерывными функциями времени, т. е. не могут изменяться скачком.

Математически эта формулировка может быть записана следующим образом

Для емкости;

Для индуктивности.

Законы коммутации являются следствием определений элементов емкости и индуктивности.

Физически закон коммутации для индуктивности объясняется противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока, а закон коммутации для емкости – противодействием напряженности электрического поля конденсатора изменению внешнего напряжения.

54.Вихревые токи, их проявления и использование.

Вихревые токи или токи Фуко́ (в честь Ж. Б. Л. Фуко) - вихревые индукционные токи, возникающие в проводниках при изменении пронизывающего их магнитного поля.

Впервые вихревые токи были обнаружены французским учёным Д. Ф. Араго (1786-1853) в 1824 г. в медном диске, расположенном на оси под вращающейся магнитной стрелкой. За счёт вихревых токов диск приходил во вращение. Это явление, названное явлением Араго, было объяснено несколько лет спустя M. Фарадеем с позиций открытого им закона электромагнитной индукции: вращаемое магнитное поле наводит в медном диске вихревые токи, которые взаимодействуют с магнитной стрелкой. Вихревые токи были подробно исследованы французским физиком Фуко (1819-1868) и названы его именем. Он открыл явление нагревания металлических тел, вращаемых в магнитном поле, вихревыми токами.

Токи Фуко возникают под воздействием переменного электромагнитного поля и по физической природе ничем не отличаются от индукционных токов, возникающих в линейных проводах. Они вихревые, то есть замкнуты в кольце.

Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко достигают очень большой силы.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах - в катушку, питаемую высокочастотным генератором большой мощности, помещают проводящее тело, в нём возникают вихревые токи, разогревающие его до плавления.

С помощью токов Фуко осуществляется прогрев металлических частей вакуумных установок для их дегазации.

Во многих случаях токи Фуко могут быть нежелательными. Для борьбы с ними принимаются специальные меры: с целью предотвращения потерь энергии на нагревание сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделённых изолирующими прослойками. Появление ферритов сделало возможным изготовление этих сердечников сплошными.

Вихретоковый контроль - один из методов неразрушающего контроля изделий из токопроводящих материалов.

55. Трансформатор, основные свойства и виды конструкции.

Постоянная времени цепи RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt) , а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R , где U - напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const .
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e -t/RC * e Const .
Решение примет вид:

U = e -t/RC * Const.

Здесь Const - константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e -t/RC .

Экспонента - функция exp(x) = e x
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828...

Постоянная времени τ

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U , в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U C и определится выражением:

Тогда напряжение U C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

U C = U(1 - e -t/RC )

При t = RC , напряжение на конденсаторе составит U C = U(1 - e -1 ) = U(1 - 1/e) .
Время, численно равное произведению RC , называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ .

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 - 1/e )*100% ≈ 63,2% значения U .
За время 3τ напряжение составит (1 - 1/e 3)*100% ≈ 95% значения U .
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 - 1/e 5)*100% ≈ 99% значения U .

Если к конденсатору емкостью C , заряженному до напряжения U , параллельно подключить резистор сопротивлением R , тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U C = Ue -t/τ = U/e t/τ .

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e , что составит 1/e *100% ≈ 36.8% значения U .
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e 3)*100% ≈ 5% от значения U .
За время 5τ до (1/e 5)*100% ≈ 1% значения U .

Параметр τ широко применяется при расчётах RC -фильтров различных электронных цепей и узлов.

Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах

Электрической цепи

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

(3)

где и - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

See more at: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf

Интегрирующая цепь RC

Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C , представленную на рисунке.

Элементы R и C соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R . Напряжение на выводах резистора обозначим U R .
Тогда будет иметь место равенство:

Проинтегрируем последнее выражение . Интеграл левой части уравнения будет равен U out + Const . Перенесём постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC вынесем за знак интеграла:

В итоге получилось, что выходное напряжение U out прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора, следовательно, и входному току I in .
Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи.

Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U out от интеграла входного U in , необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.

Нелинейное соотношение U in /I in во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e -t/τ , которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1, то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ .
Здесь t - время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ = RC - постоянная времени - произведение величин R и C .
Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t , тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ ) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.

Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость U in /I in ≈ R .
В таком случае выходное напряжение U out будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U in .
Чем больше величины номиналов RC , тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.

В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const , тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.

В качестве примера, сигнал с генератора - положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:
R = 10 kOhm, С = 1 uF. Тогда τ = RC = 10 mS.

В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a ), а интеграл константы будет линейной функцией. ∫adx = ax + Const . Величина константы a определит тангенса угла наклона линейной функции.

Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const .
В данном случае постоянная составляющая Const = 0.

Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции - парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x 2 /2 + Const .
Знак множителя определит направление параболы.

Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.

Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.

С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:

I in = I R = U in /R = - I C .

Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора U C = U out = - U in .
Следовательно, U out определится, исходя из тока общей цепи.

При номиналах элементов RC , когда τ = 1 Sec, выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку. Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.

Дифференцирующая цепь RC

Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.

Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов I R = - I C по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение U out = U R = - U in = - U C .
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:

U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)

Отсюда видим, что выходное напряжение U out пропорционально производной заряда конденсатора dU in /dt , как скорости изменения входного напряжения.

При величине постоянной времени RC , равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения, но противоположно по знаку. Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.

Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.

В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы. На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.

Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.

Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e -t/RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса T i на выходе интегрирующей цепочки увеличится на время 3τ . Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.

На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно, так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.

Здесь 5% - величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.

Гармонический анализ – это раздел математики, который изучает представления функций в виде тригонометрических рядов и интегралов.

В 1807 Жан Батист Жозеф Фурье высказал идею о том, что периодическая функция (2.1) может быть представлена в виде синусоидальных и/или косинусоидальных функций различных частот, умноженных на некоторые коэффициенты.

4.1.1. Инвариантность синусоиды

Если входной сигнал – это гармоническое колебание (функция времени синусоида/косинусоида) (2.2)

то выходной сигнал линейной системы будет также синусоидальный той же частоты , хотя амплитуда и начальная фазамогут отличаться от первоначальных значений. Таким образом, форма сигнала сохраняется, так как в линейной системе с сигналом возможны только такие операции как умножение на постоянную величину, дифференцирование, интегрирование, задержка и суммирование.

На практике используют и иные способы представления сигналов. В отображении сигналов, наряду с синусоидальной функцией, широко применяется комплексная экспоненциальная функция вида

Рисунок 4.1 иллюстрирует графическое представление этой функции.

Рисунок 4.1

Функция отражает положение комплексного числана единичной окружности в комплексной плоскости, где на оси абсцисс представлена его действительная часть, а на оси ординат – его мнимая часть. Выражениюсоответствует точка, расположенная на единичной окружности в комплексной плоскости. Прямая, соединяющая эту точку с началом координат комплексной плоскости образует с действительной осью уголТочка движется по окружности против часовой стрелки со скоростью– поэтомуназывают круговой частотой. Выражениепредставляет собой единичный вектор, угол которого линейно нарастает со временем со скоростьюВыражениесоответствует вектору, угол которого линейно нарастает со временем в противоположном направлении с той же скоростьюПоскольку

* ,

то и являются сопряженными функциями.

4.1.2. Представление периодической функции рядом Фурье

Основным понятием в гармоническом анализе является гармоническое колебание. В гармоническом анализе вводится понятие n -й гармоники периодического колебания частоты , под которой понимаютгармоническое колебание с частотой, в п раз превышающей основную частоту . Например, выполняет два колебания за каждые секунд.

Следующим важным понятием является спектр сигнала. Под спектром сигнала понимают совокупность его гармонических составляющих. Введение понятия спектра сигнала обусловило использование в технических приложениях название спектрального анализа для гармонического анализасигналов.

Как известно, любой сигнал , описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:

где – среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала, {– множества коэффициентов.

(4.3)

(4.4)

Из формул (4.2 – 4.4) следует, что функцию можно представить множеством действительных чисел {}.

4.1.3. Комплексная форма ряда Фурье

С целью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье его комплексную форму. Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще, поскольку нет необходимости рассматривать отдельно коэффициенты итригонометрической формы записи ряд Фурье.

С учетом формул Эйлера

где – комплексная экспоненциальная функция,

В этом случае определяется множеством комплексных чисел

где

Совокупность комплексных амплитуд называют комплексным спектром периодического сигнала. На рисунке 4.1 показана геометрическая интерпретация комплексного числа.

Рисунок 4.1

Угол отражает ориентацию комплексного вектора относительно направления действительной оси.

Совокупность значений и n называется спектром периодической функции. Амплитуды гармоникхарактеризуют амплитудный спектр, а начальные фазы– фазовый спектр.

Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических колебаний (синусоидальных или косинусоидальных) с соответствующими амплитудами и начальными фазами.На рисунках 4.1 и 4.2 приведены амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического сигнала.

Рисунок 4.1– Амплитудный спектр сигнала

Рисунок 4.2– Фазовый спектр сигнала

Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезками, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.

4.2. Преобразование Фурье

Когда функция не является периодической (но площадь под графиком ее модуля конечна), она может быть выражена в виде интеграла от синусов и/или косинусов, умноженных на некоторую весовую функцию, а именно

(4.5)

где непрерывная круговая частота. Поскольку, преобразование (4.5) основано на множестве синусоидальных функций. Имеется аналогия между функцией и коэффициентами ряда Фурье. Функция называется частотным спектром сигнала. указывает вес, который придается выражению

Определение 4.1. Прямое преобразование Фурье (Фурье-образ) непрерывной функции называется функция

. (4.6)

Значение функции в области ее определения определяется интегралом по всем значениям функции . В свою очередь, значения функции умножаются на синусы и косинусы разных частот. Область значений переменной , на которой принимает свои значения функция, называется частотной областью, поскольку значение переменнойопределяет частоты составляющих преобразование. Значения переменнойтакже влияет на частоты, но так как по этой переменной производится интегрирование, это влияние одинаково для всех значений переменнойПреобразование Фурье можно представить призмой, которая разлагает функцию на различные составляющие в зависимости от ее частотного содержания. Преобразование Фурье описывает функцию с помощью совокупности составляющих ее частот.

Определение 4.2. Функция может быть полностью восстановлена при помощи обратного преобразования Фурье (4.5).

Это свойство позволяет работать в Фурье-области, а затем вернуться

во временную область определения функции без потери информации. Так как любая функция может быть представлена совокупностью синусоид и/или косинусоид, линейное преобразование произвольного сигнала может анализироваться в три этапа:

– представлять сигнал в виде комбинации синусоид;

– рассчитывать отклик на каждую из этих отдельных синусоид;

– комбинировать отдельные результаты.

4.3. Дискретная комплексная экспоненциальная последовательность

В цифровых системах сигналы определяются лишь для дискретных значений времени В этом случае сигнал (4.1), записанный каккомплексная экспоненциальная функция, преобразуем следующим образом:

Для нормированной частоты

выражение (4.7) можно представить в виде

Определение 4.3. Функция называется дискретнойкомплексной экспоненциальной последовательностью.

Вещественная и мнимая часть последовательности (4.8) меняется синусоидально в зависимости от По аналогии с непрерывным временем параметрназывается круговой частотойдискретной комплексной экспоненты. В формуле (4.8) частота измеряется в радианах.

4.3. Дискретизированное по времени преобразование Фурье

Пара преобразований Фурье для дискретизированного сигнала имеет вид

, (4.8)

. (4.9)

Для упрощения записи формул преобразования Фурье далее используется обозначение нормированной частоты какТогда формула

(4.10)

определяет дискретизированное по времени прямое преобразование Фурье или Фурье-образ последовательности называют также спектральной функцией. Поскольку– непрерывная периодическая функция частоты, она может быть выражена рядом Фурье. Формула (4.10) представляет собой разложение периодической функциив виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения отсчетовпоследовательности .

(4.11)

называют обратным преобразованием Фурье.

Обратное преобразование Фурье (4.11) можно трактовать как представление последовательности черезнепрерывную периодическую функцию частоты .Последовательность можно рассматривать в виде суперпозиции экспоненциальных сигналов с комплексными амплитудами

Замечание. Пара преобразований Фурье существует только тогда, когда ряд (4.10) сходится.

Фурье-образ последовательности в алгебраической и показательной форме записывается как

Совокупность значений ихарактеризуют амплитудный спектр и фазовый спектрпоследовательности

4.4. Дискретное преобразование Фурье

4.4.1. Конечные дискретные комплексные экспоненциальные функции

Как отмечалось ранее, для описания дискретных линейных стационарных систем в континуальном спектральном анализе используются дискретные комплексные экспоненциальные последовательности вида

Данная система функций составляет счетное бесконечное множество и определена на бесконечном интервале частоты

Экспоненциальная последовательность может быть задана на конечном интервале времени , где – целое положительное число. Тогда величинаопределяет основной периоддискретной комплексной экспоненциальной последовательности. В этом случае значение

–основная линейная частота последовательности. Основная круговая частота

определяет период дискретизации по частоте. Абсолютное значение непрерывной частоты Далее преобразуем сигнал(4.14)следующим образом:

В дискретном преобразовании Фурье используется система комплексных дискретных экспоненциальные функции (ДЭФ), определяемых выражением

Введем обозначение . Тогда

Переменная называется поворачивающим множителем. Переменныеипринимают целочисленные значенияТак как показатель степени комплексного числасо знаком „плюс“, то функцияописывает точку, которая движется по окружности в направлении часовой стрелки. В выражении (4.15) переменные времени и частоты изменяются дискретно, в отличие от (4.14), где время изменяется дискретно, а частота непрерывно. Заметим, что огибающая дискретных значенийфункции соответствуетфункции Рисунок 4.3 иллюстрирует графическое представление этой функции.

Рисунок 4.3

Если переменная последовательно принимает значениято черезшагов, комплексный вектор проходитрадиан или совершает один оборот на комплексной плоскости. Вращаясь, вектор ДЭФ занимает на плоскости толькофиксированных положений. Выражениепредставляет собой единичный вектор на комплексной плоскости, угол которого линейно нарастает со временем. Модуль комплексного числаравена его аргумент

Пример 4.1. Пусть Значения фазы вектора ДЭФ длясоответственно равныСледовательно, при увеличениифаза ДЭФ нарастает по линейному закону.

Пример 4.2. Пусть Значения фазы вектора ДЭФ длясоответственно равны

Через 8 шагов комплексный вектор проходит радиан или совершает два оборота на комплексной плоскости за тоже время (пример 4.1)

где – интервал дискретизации.

Скорость нарастания фазы вектора ДЭФ определяет номерМожно сказать, что фаза ДЭФ нарастает со скоростьюрадиан. В примере 4.2 со скоростью

Величина полной фазы за дискретное время определяется как

где – скорость изменения фазы ДЭФ или частота этой функции. Таким образом, частота ДЭФ – это число оборотов, совершаемых вектором ДЭФ на интервале ее определения

Пример 4.3. Вычисление значений ДЭФ.

Решение.

На рисунке 4.4 показаны положения вектора ДЭФ на комплексной плоскости примера 4.3.

Рисунок 4.4

Систему ДЭФ записывают в виде матрицы строки которой нумеруются переменнойстолбцы переменной. В пересечении -й строки и-го столбца записывается величина:

Например, для матрицаимеет следующий вид:

. (4.16)

Если подставить в эту матрицу числовые значения степенного ряда , то

. (4.17)

На рисунке 4.5 показаны положения вектора ДЭФ и ее значения на комплексной плоскости, соответствующие матрице (4.17).

Рисунок 4.5

4.4.2. Свойства дискретных экспоненциальных функций

1. Функции ортогональны, т.е.

(4.18)

Так как , то

Следствием свойства ортогональности является:

– скалярное произведение различных двух строк матрицы , одна из которых должна быть комплексно сопряженной, равно нулю;

– скалярное произведение одинаковых двух строк матрицы , одна из которых должна быть комплексно сопряженной, равно.

Действительно, Суммаединиц даст число

Матричная запись свойства ортогональности имеет вид

где – единичная матрица.

2. Периодичность:

если то. (4.19)

Поскольку ДЭФ являются периодическими функциями, матрицу (4.16) можно переписать с минимальными фазами , образующимися после вычитания из значенияцелого числа периодовт.е.

Для матрицу ДЭФ (4.16) с минимальными фазами

3. Симметричность.

ДЭФ является функцией двух переменных Выводы относительно одной из переменных справедливы и для другой. Тогда

4. Обратная матрица ДЭФ.

Из свойства ортогональности . Умножим обе части этого равенства слева на

5. Мультипликативность:

– по строкам

– по столбцам

Действительно, . При умножении любых двух строк (столбцов) матрицыполучается строка (столбец) той же матрицы. Номер полученной строки (столбца) равен сумме номеров сомножителей.

4.4.3. Определение дискретного преобразования Фурье

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности определяется как дискретная последовательности в частотной области (экспоненциальная форма)

где – индексДПФ в частотной области, – временной входной последовательности отсчетов сигнала.

Дискретное преобразование Фурье устанавливает связь между временным и частотным представлениями сигнала при разложении его по конечным дискретным экспоненциальным функциям.

Обратное ДПФ (ОДПФ) имеет следующий вид:

Взаимная обратимость выражений (4.21) и (4.22) доказывается подстановкой вт.е.

(4.23)

Так как не зависит от, изменяем порядок суммирования в (4.23),

(4.24)

В силу ортогональность ДЭФ внутренняя сумма отлична от нуля только при В этом случае, правая часть выражения (4.24) равна

Тригонометрическая форма ДПФ:

Замечание. Принципиальное различие между дискретизированным по времени преобразованием Фурье и ДПФ обусловлено характером системы функций и {}, а именно:

– огибающая дискретных значений функции соответствует функции

– конечный интервал времени задания функции ;

– периодической структурой отсчетов восстанавливаемой последовательности

4.4.4. Свойства дискретного преобразования Фурье

1. Периодичность. Свойство периодичности ДЭФ приводит к выражениям

Действительно,

Обычно ограничиваются рассмотрением одного периода длиной во временной и в частотной области. Это позволяет определить матричную форму ДПФ:

– прямое ДПФ (4.25)

где и– векторы

отсчетов последовательности спектральных коэффициентов и сигнала соответственно;

– обратное ДПФ . Используя формулу (4.20), получаем

2. Линейность. Класс линейных систем определяется линейными операциями или принципом суперпозиции. Если и входные последовательности, а и соответственно их ДПФ, то при подаче на вход последовательности систему называют линейной тогда и только тогда, когда выполняется

где ипроизвольные постоянные параметры (константы). Спектр последовательности равен

3. Инвариантность ДПФ относительно сдвига по времени и частоте:

1. Инвариантность относительно циклического сдвига по времени. Если последовательность имеет ДПФ, то ДПФ последовательностиравно

Рассмотрим две последовательности и. Формы последовательности показаны на рисунке 4.6.а,б.

Рисунок 4.6

ДПФ последовательности равно

Заменяя индекс суммирования и введя новую переменную, получим

где ). Тогда

Таким образом, при сдвиге дискретного сигнала по времени изменениям подвергаются только фазы дискретных функций (фазовый спектр), амплитудный спектр не изменяется.

2. Инвариантность относительно сдвига по частоте. Если спектральной последовательности соответствует последовательностьто при сдвиге последовательностиисходная последовательностьполучит фазовый сдвиг, т.е.

Пусть ОбратноеДПФ последовательности равно

Заменяя индекс суммирования , и введя новую переменную, получим

где ).

4. Теорема о свертке. Если исходные последовательности отсчетов сигналов иимеют конечные периоды, их циклическая свертка определяется формулой

, 𝑛 = 0, 1,…, 𝑁–1.

Так как не зависит от, изменяем порядок суммирования в (4.27).

. (4.28)

Используя свойство инвариантности относительно циклического сдвига по времени, можно записать составляющую выражения (4.28) как

(4.29)

Таким образом, спектр свертки равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей. Коэффициенты свертки вычисляются на основе ОДПФ по формуле

Теорема (4.29) позволяет вычислить коэффициенты свертки при помощи ДПФ по формуле

При больших величинах 𝑁 на практике применяют эффективные алгоритмы вычисления свертки с использованием быстрых преобразований Фурье.

5. Теорема о корреляции. По определению (2.13) корреляционная функция двух конечных последовательностей равна

, для 𝑛 = 0, 1,…,𝑁–1.

Вычислим ДПФ последовательности

Так как не зависит от, изменяем порядок суммирования в (4.30).

. (4.31)

Используя свойство инвариантности относительно циклического сдвига по времени, можно записать составляющую выражения (4.31) как

Таким образом, спектр корреляционной функции равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей, причем один из спектров берется в комплексном сопряжении.

Коэффициенты корреляционной функции вычисляются на основе ОДПФ по формуле

Теорема (4.32) позволяет вычислить коэффициенты корреляционной функции при помощи ДПФ по формуле

На практике применяют эффективные алгоритмы вычисления корреляционной функции с использованием быстрых преобразований Фурье.

6. Теорема Парсеваля. Пусть последовательности ибудут идентичными. В этом случае теорема о корреляции записывается как

Коэффициенты корреляционной функции, вычисляются на основе выражения ОДПФ, т.е.

(4.33)

В частном случае, для равенство (4.33) сводится к соотношению

(4.34)

Из (4.34) следует, что энергия сигнала, вычисленная во временной области (по переменной ) равна энергии сигнала, вычисленной в частотной области. Каждая величинапредставляет собой мощность дискретной гармоники, имеющей частоту с номером.

5. Предварительное задание

5.1. Вычислить значения ДЭФ:

5.2. Функции системы ДЭФ записать в виде матрицы размерностью

5.3. Вычислить спектр дискретизированного сигнала, показанного на рисунке 5.1, с помощью ДПФ. Построить графики амплитудного и фазового спектров.

Рисунок 5.1

5.4. По полученным значениям ДПФ с помощью ОДПФ восстановить исходные значения отсчетов сигнала.

5.5. Вычислить автокорреляционную функцию (АКФ) последовательности Построить графики входного сигнала и АКФ.

5.6. Вычислить автосвертку последовательности Построить график свертки.

6. Лабораторное задание

6.1. Провести вычисления, подтверждающие свойства 1, 2, 5 дискретных экспоненциальных функций.

6.2. Вычислить спектр дискретизированного сигнала (п. 5.3), сдвинутого по времени на интервалов дискретизации. Построить графики сигнала, амплитудного и фазового спектров.

6.3. По полученным значениям ДПФ с помощью ОДПФ восстановить значения отсчетов сигнала (п. 6.2). Построить график восстановленного дискретизированного сигнала.

6.4. Используя исходные данные, полученные у преподавателя, вычислить корреляционную функцию:

– по определению;

– с помощью ДПФ. Построить график КФ.

6.5. Используя исходные данные (п. 6.4) вычислить свертку:

– по определению;

– с помощью ДПФ. Построить график свертки.

6.6. Используя исходные данные (п. 6.4), провести вычисления, подтверждающие теорему Парсеваля.

7.1. Решение задач предварительного задания.

7.2. Расчеты и графики лабораторного задания.

7.3. Анализ результатов и выводы.

8. Контрольные вопросы

8.1. При каких условиях возможно представление непрерывного сигнала его дискретными значениями?

8.2. Что выражает корреляционная функция (АКФ, ВКФ)?

8.3. Поясните метод спектрального анализа.

8.4. Поясните понятие «спектр сигнала».

8.5. Поясните понятие « разложение сигнала в ряд Фурье».

8.6. При каких условиях точность приближения сигнала рядом Фурье повышается?

8.7. Поясните различия комплексной экспоненциальной функции, дискретной комплексной экспоненциальной функции и конечной дискретной комплексной экспоненциальной функции.

8.8. Поясните свойства ДЭФ.

8.9. Поясните свойства ДПФ.

8.10. Поясните различия ряда Фурье, преобразования Фурье, дискретизированного по времени преобразования Фурье и дискретного преобразования Фурье.

Литература

1. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов.– М.: Техносфера, 2006.

2. Теория прикладного кодирования: Учеб. пособие. В 2 т. В.К. Конопелько, 3. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход: Пер. с англ. ‒ М.: Издательский дом «Вильямс», 2008.

4. Овсянников В.А. Методы формирования и цифровой обработки сигналов. Учебное пособие для студентов специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» в 2-ух частях. ‒ Мн.: БГУИР 2010.

5. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов.- М.: Бином-Пресс, 2006.

6. Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников: Пер. с англ. ‒ М.: Додека-XXI, 2008.7. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов/ А.Б. Сергиенко-СПб.: Питер, 2003.

8. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. А.И. Солонина, Улахович Д.А. и др. - СПб: БХВ – Петербург, 2003.

9. Лосев В.В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки: Учебное пособие для вузов. – Мн: Выш. школа, 1990.

5. Быстрое преобразование Фурье

Существует два класса алгоритмов вычисления преобразования Фурье обычное дискретное преобразование Фурье и быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ). Быстрый алгоритм позволяет эффективно вычислять ДПФ. При этом сокращается количество выполняемых арифметических операций, а также объем памяти, необходимый для вычисления ДПФ. В результате многие задачи спектрального анализа, обработки сигналов за счет уменьшения вычислительной сложности решаются в реальном времени.

5.1. Вычислительная сложность дискретного преобразования Фурье

Рассмотрим матричную форму ДПФ (4.25), (4.26):

– прямое ДПФ ,

– обратное ДПФ .

Если – комплекснозначная последовательность, то для вычисления одного коэффициента ДПФ потребуется выполнитьумножений исложений комплексных чисел, т.е. сложность оценивается как

комплексных умножений

комплексных сложений

2.4.3. Дискретное преобразование Уолша-Адамара

Пусть сигнал представлен совокупностью своих равноотстоящих отсчетов),. Выражения

B(h)=,h=0,1,2,…,N-1,
S(x)=,h=0,1,2,…,N-1,

образуют пару дискретных преобразований Уолша-Адамара в показательной форме, формула (13) называется прямым преобразованием Уолша-Адамара (ДПУА) и дает спектр сигнала в базисе Уолша, формула (14) называется обратным преобразованием Уолша-Адамара.

Матрицей Адамара называется ортогональная квадратная матрица, элементами которой являются действительные числа 1 и -1. Простейшей матрицей Адамара является матрица порядка два:

Для построения матрицы Адамара порядка используется матрицаи теорема: если- матрица Адамара порядка, то

является матрицей Адамара порядка .

Используя матрицу Адамара, запишем преобразования (15) и (16) в матричной форме:

где B = – вектор коэффициентов преобразования Уолша-Адамара;

S = – вектор отсчетов входного сигнала;

H - матрица Адамара порядка N.

Вычисление по формулам (13), (14) требует N(N-1) операций. Существуют быстрые алгоритмы (быстрые преобразования Адамара (БПУА)), которые требуют только N logN операций. Их сущность заключается в разбиении матрицы Адамара в произведение слабозаполненных матриц. Процесс умножения на матрицу Адамара заключается в последовательном умножении на слабозаполненные матрицы.

Вывод: Вычислительные преимущества БПУА по сравнению ДПУА следующие: ДПУА требует N(N-1) операций, а БПУА требуют только N logN операций. Таким образом, вычислительная экономия составляет N(N-1) / N logN. Например, если N=1024, то выигрыш составит 1024(1024-1)/1024 log1024=102,3 раза.

2.4.4. Дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование непосредственно связано с ДПФ. Недостаток ДПФ заключается в том, что спектральные коэффициенты носят комплексный характер. Однако можно осуществить такое преобразование множества отсчетов сигнала Х(n), в котором используется только реальная часть ядра преобразования ДПФ, т.е. только члены, связанные с соs. Используя запись ДПФ, получаем выражения для прямого (17) и обратного (18) ДКП:

C(k) = ,k,
X(n) = ,n ,

где с(k) = дляk0,

Матричная форма записи ДКП имеет вид:

Прямое одномерное ДКП

где матрица дискретного множества функций ДКП размером (NN);

– вектор-столбец отсчетов сигнала размером (N1).

Обратное одномерное ДКП

K,n{0,1,…,N-1},

Прямое ДКП двухмерного фрагмента изображения размером (NN) запишется как

где – матрица спектральных коэффициентов ДКП размером (NN);

– сигнальная матрица размером (NN);

– матрица ДКП размером (NN) в соответствии с формулой (19):

где - матрица ДКП размером (NN):

;

Прямое двухмерное преобразование ДКП в матричной форме имеет вид:

Обратное преобразование в матричной форме записывается как

2.4.5. Дискретное преобразование Хартли

К линейному ортогональному преобразованию относится и преобразование Хартли (ПХ). Это преобразование связано с преобразованием Фурье, результат выражается действительными числами, но в отличии от косинусного прямое и обратное преобразования Хартли совпадают, что может обеспечить экономию аппаратных средств.

Прямое и обратное одномерное ПХ записывается следующим образом:

,
,

где cas() =cos()+sin();

Круговая частота;

t – время.

Дискретное одномерное преобразование Хартли (ДПХ) имеет вид

K{0,1,…,N-1},

где .

Выражение (29) задает коэффициенты разложения (коэффициенты Хартли) некоторой действительной функции g(n) по дискретным функциям , причемg(n) задана на дискретном множестве аргументов n{0,1,…,N-1}.

Используя свойство ортогональности функций, можно получить выражение для обратного одномерного дискретного преобразования Хартли (ОДПХ):

g(n)=, n{0,1,…,N-1},

Матричная форма записи одномерного прямого ДПХ имеет вид

K, n{0,1,…,N-1},

где =- матрица дискретного множества ортогональных функций ДПХ размером (NN);

– вектор-столбец спектральных коэффициентов ДПХ размером (N1);

– вектор-столбец дискретных значений (отсчетов) сигнала.

Обратное одномерное ДПХ в матричной форме записи представляется как:

K, n{0,1,…,N-1},

Прямое ДПХ двухмерного фрагмента изображения размером (NN) запишется в виде

, ,{0,1,…,N-1},

где – сигнальная матрица размером (NN);

– матрица спектральных коэффициентов ДПХ размером (NN);

– квадратная матрица ДПХ размером (NN):

Отметим, что матрицы преобразований прямого и обратного ДПХ идентичны, так как =.

Спектральный метод

Применение ДПФ для сравнения матриц (фрагментов изображений):

а) Строим матрицу прямого ДПФ

Транспонированное ядро ДПФ:

При этом допускают все известные способы распараллеливания векторно-матричных операций. Если пользоваться обычным правилом умножения матрицы на вектор, то вычисления векторов x и X требуют операций комплексного умножения иN(N-1) операций комплексного сложения.

2. Быстрое преобразование Фурье включает набор эффективных алгоритмов, предназначенных для вычисления ДПФ. Идея БПФ по своей природе заключается в следующем. Величина N, определяющая длину входной последовательности отсчетов, раскладывается на сомножители, затем вычисляются отдельные ДПФ меньших длин, чем N, из которых потом формируется выходная последовательность. Происходит так называемое расщепление исходного алгоритма на комбинацию подобных алгоритмов меньшего размера. БПФ содержит число мультипликативных операций (операций комплексного умножения) , число аддитивных операций (операций комплексного сложения).

Вывод: Вычислительные преимущества БПФ по сравнению ДПФ следующие: БПФ содержит операций комплексного умножения в отличие отпри ДПФ, таким образом, вычислительная экономия составляет/. Например, еслиN=1024, то экономия составляет 204,8 раза. БПФ содержит операций комплексного сложения в отличие отN(N-1) при ДПФ таким образом, вычислительная экономия составляет N(N-1) / . Например, еслиN=1024, то экономия составляет 102,3 раза.

Универсальность гармонического колебания заключается также в том, что любой периодический сигнал может быть составлен (в этом случае говорят: синтезирован) только из гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Раздел теории сигналов, который занимается разложением сигналов на гармонические составляющие, называется гармоническим анализом сигналов или Фурье-анализом. Основные положения этой теории заключаются в следующем.

Любой периодический сигнал с периодом Т может быть представлен суммированием определенного набора гармонических колебаний с круговыми частотами, равными ωn=nω1= =2πn/T, где n - номер гармоники (натуральное число). При этом гармонику с номером n = 1 называют основной гармоникой, а гармоники с номерами n > 1 - высшими гармониками. В общем случае количество таких гармоник может быть бесконечным. Сигнал, представленный суммой гармоник, может быть записан в виде:

Коэффициенты an и bn выражения (4.6) определяются интегрированием сигнала на интервале времени, равном периоду, по правилам

(4.8)

(4.9)

Представление периодического сигнала в виде набора гармонических составляющих называется спектром. Такое разложение периодического сигнала также называют рядом Фурье. Выражение (4.6) может быть представлено в другой форме:

(4.10)

где амплитуда An (4.11)

Графическое представление спектра сигналов выполняют в виде набора вертикальных отрезков, начинающихся на оси абсцисс (на оси частот). При этом положение отрезка на оси абсцисс (от начала координат) отражает частоту соответствующей гармоники, а длина отрезка соответствует амплитуде этой гармоники.

Операция формирования сложного сигнала из набора гармоник называется синтезом сигнала. На практике для синтеза сигналов обычно используют не бесконечный ряд, а ограниченный набор гармоник (его называют усеченным рядом Фурье). Понятно, что если сигнал будет представлен неполным набором гармоник, его форма будет искажена. Одной из задач синтеза сигналов является формирование сигналов с допустимыми искажениями из ограниченного набора гармоник.

В качестве примера рассмотрим формирование сигнала, близкого к прямоугольному, из усеченного ряда Фурье. На рисунке 4.6 представлены сигналы, полученные суммированием первых гармоник, выбранных из полного ряда Фурье. На рисунке 4.6,а пунктиром изображен меандр (симметричный прямоугольный сигнал) m(t), сплошной линией - уровень первой гармоники a1(t), содержащейся в этом сигнале. На рисунке 4.6,б изображен спектр первой гармоники s1(f). Спектр гармонического (синусоидального) колебания содержит только одну составляющую на частоте f = f1 = 1/Т, где Т - период колебаний. Периоды исходного прямоугольного сигнала и его первой гармоники совпадают.

Рис. 4.6 Формирование прямоугольного сигнала из суммы первых гармоник: а), в), д) - временное представление первых гармоник меандра и их суммы; б), г), е) - спектральное представление соответствующих наборов гармоник

На рисунке 4.6,в пунктиром изображены первая и третья гармоники, содержащиеся в меандре, а сплошной линией - их сумма. Заметим, что у симметричных сигналов (в том числе и у меандра) все гармоники с четными номерами отсутствуют (точнее, их значения равны нулю). Спектры первых трех гармоник приведены на рисунке 4.6,г (уровень второй гармоники равен нулю). На рисунке 4.6,д приведены первые четыре ненулевые гармоники (то есть гармоники с номерами 1, 3, 5 и 7) и их сумма. На рисунке 4.6,е показаны их спектры.

На рисунке видно, что с увеличением количества гармоник форма синтезированного сигнала все более приближается к прямоугольной, а различие между прямоугольной волной и сигналом, образованным суммой гармонических составляющих, становится все меньше.

В заключение следует добавить, что в ряд Фурье можно разлагать только периодические сигналы, для анализа же непериодических сигналов используется аппарат интегралов Фурье.

При разложении периодического сигнала s (t ) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида (3.22):

1, cos w 1 t ,sinw 1 t , cos2w 1 t , sin2w 1 t ,...

..., cos n w 1 t, sin n w 1 t ,... (3.22)

или: ... , , 1 , , ... (3.23)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2p/w 1 функции s (t ).

Система функций (3.22) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (3.23) - к комплексной форме . Между этими формами существует простая связь.

Воспользуемся системой комплексных гармоник (3.23), тогда ряд Фурье будет иметь вид:

Совокупность коэффициентов C n ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала , а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты ряда (3.24) легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы (3.15) следует, что квадрат нормы равен:

Таким образом, независимо от n , норма базисной функции .

Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье (3.16) получим:

В (3.25) и (3.26) учтено, что для e jn w 1t комплексно-сопряженной является функция e -jn w 1t .

Коэффициенты C n в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера e ±jx = cos x ± j sin x ,

Получим:

Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента C n :

а мнимая - синусная часть :

Коэффициенты С n часто бывает удобно записывать в форме:

Модуль C n является четной функцией относительно n , а аргумент Y n - нечетной (это следует из (3.28) и (3.29)). Используя модуль и аргумент, ряд (3.24) может быть записан:

Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (3.32) пару слагаемых, соответствующих ±n (например, n =2) и учитывая что Y -2 =-Y 2 ,
а ½C -2 ½=½C 2 ½, получим для суммы:

Окончательно ряд (3.32) в тригонометрической форме записывается:

Смысл удвоения коэффициентов Фурье C n в тригонометрическом ряде при n ³1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векторы вращаются с одинаковой скоростью n w 1 , но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.

После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.

Нередко встречается другая форма записи:

Сравнивая (3.35) и (3.34) между собой, можно увидеть, что амплитуда n -й гармоники A n связана с коэффициентом ½C n ½ ряда (3.32):

A n = 2½C n ½; a n = 2C n cos ; b n = 2C n sin

Таким образом, для всех положительных n , включая и n= 0:

Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s (t )= s (-t ), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты b n в соответствии с (3.36) обращаются в нуль.

Для нечетной относительно t функции s (t ), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты a n и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.

Две характеристики - амплитудная и фазовая , то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.

Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным , так как состоит из отдельных линий , соответствующих дискретным частотам 0, w 1 , 2w 1 , 3w 1 ... и так далее.