Каждый обращал внимание на все многообразие видов движения, с которыми он сталкивается в своей жизни. Однако любое механическое движение тела сводится к одному из двух типов: линейное или вращательное. Рассмотрим в статье основные законы движения тел.
О каких типах движения пойдет речь?
Как было отмечено во введении, все виды движения тела, которые рассматриваются в классической физике, связаны либо с прямолинейной траекторией, либо с круговой. Любые другие траектории можно получить благодаря комбинации этих двух. Далее в статье будут рассмотрены следующие законы движения тела:
- Равномерное по прямой линии.
- Равноускоренное (равнозамедленное) по прямой линии.
- Равномерное по окружности.
- Равноускоренное по окружности.
- Движение по эллиптической траектории.
Равномерное движение, или состояние покоя
Этим движением с научной точки зрения начал интересоваться впервые Галилей в конце XVI - начале XVII века. Изучая инерционные свойства тела, а также введя понятие о системе отсчета, он догадался, что состояние покоя и равномерного движения - это одно и то же (все зависит от выбора объекта, относительно которого рассчитывают скорость).
Впоследствии Исаак Ньютон сформулировал свой первый закон движения тела, согласно которому скорость последнего является постоянной величиной всегда, когда нет внешних сил, изменяющих характеристики движения.
Равномерное прямолинейное перемещение тела в пространстве описывается следующей формулой:
Где s - расстояние, которое преодолеет тело за время t, двигаясь со скоростью v. Это простое выражение также записывается в следующих формах (все зависит от величин, которые известны):
Перемещение по прямой с ускорением
Согласно второму закону Ньютона, наличие внешней силы, действующей на тело, неминуемо приводит к появлению ускорения у последнего. Из (быстрота изменения скорости) следует выражение:
a = v / t или v = a * t
Если действующая на тело внешняя сила будет оставаться постоянной (не будет изменять модуля и направления), то ускорение также не изменится. Такой тип движения называется равноускоренным, где ускорение выступает коэффициентом пропорциональности между скоростью и временем (скорость растет линейно).
Для этого движения пройденный путь рассчитывается с помощью интегрирования скорости по времени. Закон движения тела для пути при равноускоренном перемещении приобретает форму:
Самым распространенным примером этого движения является падение любого предмета с высоты, при котором сила тяжести сообщает ему ускорение g = 9,81 м/с 2 .
Прямолинейное ускоренное (замедленное) движение с наличием начальной скорости
По сути, речь идет о комбинации двух видов перемещения, рассмотренных в предыдущих пунктах. Представим простую ситуацию: автомобиль ехал с некоторой скоростью v 0 , затем водитель нажал на тормоза, и транспортное средство через некоторое время остановилось. Как описать движение в этом случае? Для функции скорости от времени справедливо выражение:
Здесь v 0 - начальная скорость (до торможения авто). Знак минус говорит о том, что внешняя сила (трения скольжения) направлена против скорости v 0 .
Как и в предыдущем пункте, если взять интеграл по времени от v(t), то получаем формулу для пути:
s = v 0 * t - a * t 2 / 2
Отметим, что по этой формуле вычисляется только путь торможения. Чтобы узнать расстояние, пройденное автомобилем за все время его движения, следует найти сумму двух путей: для равномерного и для равнозамедленного движения.
В примере описанном выше, если бы водитель нажал не на педаль тормоза, а на педаль газа, тогда в представленных формулах поменялся бы знак "-" на "+".
Движение по окружности
Любое движение по окружности не может происходить без ускорения, поскольку даже при сохранении модуля скорости изменяется ее направление. Ускорение, которое связано с этим изменением, называется центростремительным (именно оно искривляет траекторию тела, превращая ее в окружность). Модуль этого ускорения вычисляют так:
a c = v 2 / r, r - радиус
В этом выражении скорость может зависеть от времени, как это происходит в случае равноускоренного движения по окружности. В последнем случае a c будет быстро расти (квадратичная зависимость).
Центростремительное ускорение определяет силу, которую нужно прикладывать, чтобы удерживать тело на круговой орбите. Примером являются соревнования по метанию молота, когда спортсмены прикладывают значительные усилия, чтобы раскрутить снаряд до его метания.
Вращение вокруг оси с постоянной скоростью
Этот вид движения идентичен предыдущему, только описывать его принято не с использованием линейных физических величин, а с применением угловых характеристик. Закон вращательного движения тела, когда угловая скорость не изменяется, в скалярной форме записывается так:
Здесь L и I - моменты импульса и инерции, соответственно, ω - угловая скорость, которая с линейной связана равенством:
Величина ω показывает, на сколько радиан повернется тело за секунду. Величины L и I имеют такой же смысл, как импульс и масса для прямолинейного движения. Соответственно, угол θ, на который повернется тело за время t, вычисляется так:
Примером этого типа движения является вращение маховика, находящегося на коленчатом вале в двигателе автомобиля. Маховик - это массивный диск, которому очень тяжело придать какое-либо ускорение. Благодаря этому он обеспечивает плавность изменения крутящего момента, который передается от двигателя к колесам.
Вращение вокруг оси с ускорением
Если к системе, которая способна вращаться, прикладывать внешнюю силу, то она начнет увеличивать свою угловую скорость. Такая ситуация описывается следующим законом движения тела вокруг :
Здесь F - внешняя сила, которая приложена к системе на расстоянии d от оси вращения. Произведение в левой части равенства носит название момента силы.
Для равноускоренного движения по окружности получаем, что ω зависит от времени следующим образом:
ω = α * t, где α = F * d / I - угловое ускорение
В этом случае угол поворота за время t можно определить, проинтегрировав ω по времени, то есть:
Если же тело уже вращалось с некоторой скоростью ω 0 , а затем начал действовать внешний момент силы F*d, то по аналогии с линейным случаем можно записать такие выражения:
ω = ω 0 + α * t;
θ = ω 0 * t + α * t 2 / 2
Таким образом, появление внешнего момента сил является причиной наличия ускорения в системе с осью вращения.
Для полноты информации отметим, что изменить скорость вращения ω можно не только с помощью внешнего момента сил, но и благодаря изменению внутренних характеристик системы, в частности ее момента инерции. Эту ситуацию видел каждый человек, который наблюдал за вращением фигуристов на льду. Группируясь, спортсмены увеличивают ω за счет уменьшения I, согласно простому закону движения тела:
Движение по эллиптической траектории на примере планет Солнечной системы
Как известно, наша Земля и другие планеты Солнечной системы вращаются вокруг своей звезды не по окружности, а по эллиптической траектории. Впервые математические законы для описания этого вращения сформулировал знаменитый немецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII века. Используя результаты наблюдений своего учителя Тихо Браге за движением планет, Кеплер пришел к формулировке своих трех законов. Они формулируются следующим образом:
- Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце расположено в одном из фокусов эллипса.
- Радиус-вектор, который соединяет Солнце и планету, за равные промежутки времени описывает одинаковые площади. Этот факт следует из сохранения момента импульса.
- Если поделить квадрат периода обращения на куб большой полуоси эллиптической орбиты планеты, то получается некоторая константа, которая одинакова для всех планет нашей системы. Математически это записывается так:
T 2 / a 3 = С = const
Впоследствии Исаак Ньютон, используя эти законы движения тел (планет), сформулировал свой знаменитый закон всемирной гравитации, или тяготения. Применяя его, можно показать, что константа C в 3-м равна:
C = 4 * pi 2 / (G * M)
Где G - гравитационная универсальная константа, а M - масса Солнца.
Отметим, что движение по эллиптической орбите в случае действия центральной силы (тяготения) приводит к тому, что линейная скорость v постоянно меняется. Она максимальна, когда планета находится ближе всего к звезде, и минимальна вдали от нее.
И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.
Рассмотрим еще одну частную задачу.
Известно, что модуль скорости у тела во все время движения оставался постоянным и равным 5 м/с. Найти закон движения этого тела. Начало отсчета длин путей совпадает с начальной точкой движения тела.
Чтобы решить задачу, воспользуемся формулой
Отсюда можно найти приращение длины пути за любой малый промежуток времени
По условию модуль скорости постоянен. Это значит, что приращения длины пути за любые равные промежутки времени будут одинаковы. По определению, это равномерное движение. Полученное нами уравнение есть не что иное, как закон такого равномерного движения. Если в это уравнение подставить выражения то легко получить
Допустим, что начало отсчета времени совпадает с началом движения тела. Учтем, что по условию начало отсчета длин путей совпадает с начальной точкой движения тела. Возьмем в качестве промежутка время от начала движения до нужного нам момента Тогда мы должны положить После подстановки этих значений закон рассматриваемого движения будет иметь вид
Рассмотренный пример позволяет дать новое определение равномерного движения (§ 13): равномерным движением называется движение с постоянной по модулю скоростью.
Этот же пример позволяет получить общую формулу закона равномерного движения.
Если начало отсчета времени совпадает с началом движения, а начало отсчета длин путей совпадает с начальной точкой движения, то закон равномерного движения будет иметь вид
Если время начала движения а длина пути до начальной точки движения то закон равномерного движения приобретает более сложный вид:
Обратим внимание еще на один важный результат, который можно получить из найденного нами закона равномерного движения. Допустим, что для некоторого равномерного движения дан график зависимости скорости от времени (рис. 1.60). Закон этого движения Из рисунка видно, что произведение численно равно площади фигуры, ограниченной осями координат, графиком зависимости скорости от времени и ординатой, соответствующей
заданному моменту времени по графику скорости можно рассчитать приращения длин путей во время движения.
Используя более сложный математический аппарат, можно показать, что этот результат, полученный нами для частного случая, оказывается справедливым и для любых неравномерных движений. Приращение длины пути за время движения всегда численно равно площади фигуры, ограниченной графиком скорости осями координат и ординатой, соответствующей выбранному конечному моменту времени.
Такая возможность графического отыскания закона сложных движений будет использоваться в дальнейшем.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X
§ 218. Закон движения. Мгновенная скорость движения
К более полной характеристике движения можно прийти следующим образом. Время движения тела разобьем на несколько отдельных промежутков (t 1 , t 2), (t 2 , t 3) и т. д. (не обязательно равных, см. рис. 309) и на каждом из них зададим среднюю скорость движения.
Эти средние скорости, конечно, будут полнее характеризовать движение на всем участке, чем средняя скорость за все время движения. Однако и они не дадут ответа на такой, например, вопрос: в какой момент времени в интервале от t 1 до t 2 (рис. 309) поезд шел быстрее: в момент t" 1 или в момент t" 2 ?
Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем короче участки пути, на которых она определена. Поэтому один из возможных способов описания неравномерного движения состоит в задании средних скоростей этого движения на все более и более малых участках пути.
Предположим, что задана функция s (t ), указывающая, какой путь проходит тело, двигаясь прямолинейно в одном и том же направлении, за время t от начала движения. Эта функция определяет закон движения тела. Например, равномерное движение происходит по закону
s (t ) = vt ,
где v - скорость движения; свободное падение тел происходит по закону
где g - ускорение свободно падающего тела, и т. д.
Рассмотрим путь, пройденный телом, движущимся по некоторому закону s (t ) , за время от t до t + τ .
К моменту времени t тело пройдет путь s (t ), а к моменту времени t + τ - путь s (t + τ ). Поэтому за время от t до t + τ оно пройдет путь, равный s (t + τ ) - s (t ).
Разделив этот путь на время движения τ , мы получим среднюю скорость движения за время от t до t + τ :
Предел этой скорости при τ -> 0 (если только он существует) называется мгновенной скоростью движения в момент времени t:
(1)
Мгновенной скоростью движения в момент времени t называется предел средней скорости движения ва время от t до t + τ , когда τ стремится к нулю .
Рассмотрим два примера.
Пример 1 . Равномерное движение по прямой.
В этом случае s (t ) = vt , где v - скорость движения. Найдем мгновенную скорость этого движения. Для этого предварительно нужно найтн среднюю скорость в интервале времени от t до t + τ . Но для равномерного движения средняя скорость на любом участке мути совпадает со скоростью движения v . Поэтому мгновенная скорость v (t ) будет равна:
v (t ) =v = v
Итак, для равномерного движения мгновенная скорость (как и средняя скорость на любом участке пути) совпадает со скоростью движения.
К такому же результату, конечно, можно было бы прийти и формально, исходя из равенства (1).
Действительно,
Пример 2. Равноускоренное движение с нулевой начальной скоростью и ускорением а . В этом случае, как известно из физики, тело движется по закону
По формуле (1) получаем, что мгновенная скорость такого движения v (t ) равна:
Итак, мгновенная скорость равноускоренного движения в момент времени t равна произведению ускорения на время t . В отличие от равномерного движения мгновенная скорость равномерно ускоренного движения меняется с течением времени.
Упражнения
1741. Точка движется по закону 
(s
- путь в метрах, t
- время в минутах). Найти мгновенную скорость этой точки:
б) в момент времени t 0 .
1742. Найти мгновенную скорость точки, движущейся по закону s (t ) = t 3 (s - путь в метрах, t - время в минутах):
а) в начальный момент движения;
б) через 10 сек после начала движения;
в) в момент t = 5 мин;
1743. Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону s (t ) = √t , в произвольный момент времени t .