Направление вектора с определяется следующим образом. Во–первых, с направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены а и b . Из двух возможных направлений выбирается то, куда перемещается буравчик (правый винт), вращающийся от направления первого сомножителя ко второму по кратчайшему направлению (см.рис.1). Обозначается векторное произведение а и b как [а ,b ] или a ´b .
Из определения векторного произведения видно, что оно обладает следующими очевидными свойствами:
[а ,b ] = – [b ,а ]
[a ,a ] = 0.
Можно также доказать, что:
= [а ,ab ] = a[а ,b ],
где a – скаляр,
[а+b ,c ] =[а ,c ]+ [b ,c ].
Иногда полезно иметь в виду, что величина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, двумя смежными сторонами которого являются эти векторы. Или иначе: величина векторного произведения двух векторов равна удвоенной площади треугольника, двумя сторонами которого являются эти векторы.
1. Моментом импульса материальной точки относительно некоторой избранной точки (полюса –в терминологии теоретической механики) называется вектор:
L= [r ,p ].
Здесь r – радиус-вектор материальной точки, начало которого совпадает с полюсом, а конец с материальной точкой, р – импульс материальной точки.
Величину момента импульса часто удобно вычислять как произведение
L= rmv ,
где h – плечо силы, т.е. расстояние между полюсом и линией действия силы (рис. 3).
3. Связь между L и M дается уравнением моментов:
где M – момент сил, приложенных к данной материальной точке. Существенно, что L и М вычисляются относительно одного и того же полюса.
4. Момент импульса аддитивен. Момент импульса системы материальных точек равен сумме моментов отдельных точек, составляющих систему. Все моменты должны определяться относительно одного полюса.
5. Производная по времени от момента импульса системы точек определяется уравнением моментов:
где М внеш – сумма моментов внешних сил, действующих на точки системы. Из этого уравнения следует, что момент импульса замкнутой системы тел сохраняется. Данное утверждение носит название закона сохранения момента импульса.
6. Моментом импульса или моментом силы относительно оси называется проекция соответствующего момента на эту ось . При этом полюс обязательно должен лежать на оси.
7. Для момента импульса системы точек справедливо равенство:
L = [R ци ,P ]+ L 0 ,
где L 0 – момент импульса системы точек относительно ее центра масс, R ци – радиус–вектор центра масс системы, Р – импульс системы. Это соотношение называют теоремой Кёнига для момента импульса.
8. Момент системы сил, определяется как сумма моментов сил, приложенных к точкам системы. Как и момент каждой сил, составляющих систему сил, он зависит от выбора полюса, относительно которого вычисляются эти моменты:
M = [R ,F ]+ M ",
где M – момент системы сил относительно старого полюса О ,M "– момент импульса системы точек относительно нового полюса О’ , R – радиус-вектор направленный от старого полюса к новому, F – сумма сил, приложенных к точкам системы (Рис. 4). Как видим, в случае F = 0, момент системы сил не зависит от выбора полюса. Таким свойством обладает в частности пара сил , т.е. система двух равных по величине и противоположных по направлению сил.
Момент пары, как нетрудно убедиться, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, составляющие пару, в направлении, совпадающем с направлением перемещения буравчика (винта), вращаемого этой парой. Величина момента пары равна произведению величины сил, составляющих пару на расстояние между линиями действия этих сил. Это расстояние называется плечом пары сил или просто: плечом пары.
9. Если тело движется в центральном поле, то момент силы, действующей на тело в этом поле, относительно центра поля равен нулю. Поэтому момент импульса тела относительно центра поля постоянен.
Задача 1
Шайба движется по гладкой горизонтальной плоскости и испытывает в точке 0 упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Найти точки, относительно которых момент импульса шайбы остается постоянным в этом процессе. Угол между направлением скорости шайбы и нормалью к стенке равен a.
Решение
Движение шайбы представлено на рис.1. Так как стенка гладкая то F тр = 0, и N – сила реакции при ударе направленная перпендикулярно стенке, ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на прямой OO ", перпендикулярной стенке.
Согласно уравнению моментов d L /dt = M . Так как относительно точек прямой ОО " момент силы реакции M = 0, то d L /dt = 0 и L = const . Итак, момент импульса шайбы сохраняется относительно любой точки, лежащей на прямой ОО ". Другие силы, действующие на шайбу, как нетрудно понять, не изменяют ее момента (разберитесь с этим сами).
Поскольку шайбы движутся по гладкой горизонтальной плоскости, то сумма внешних сил – силы тяжести и силы реакции стола, действующих на каждую шайбу, равна нулю, поэтому такая система ведет себя как замкнутая, и в ней сохраняются импульс и момент импульса. Кроме того, в системе действуют лишь консервативные силы (силы упругости пружины), поэтому сохраняется ее энергия.
Этих трёх законов сохранения достаточно, чтобы решить задачу. Удобнее всего делать это в системе отсчета, связанной с центром инерции. В этой системе отсчета сумма импульсов шайб равна нулю, откуда следует, что в любой момент времени скорости шайб равны по величине и направлены в противоположные стороны. Начальные скорости шайб относительно плоскости равны соответственно v 0 и нулю. Поэтому скорость центра инерции:
Скорости шайб по отношению к центру инерции равны, соответственно:
Так как в начальный момент времени пружина не деформирована, то энергия системы относительно ее центра масс определяется в этот момент лишь кинетической энергией частиц:
Момент импульса L 1 системы шайб относительно центра инерции в этот же момент времени равен:
Когда пружина окажется максимально растянутой, скорости шайб опять будут направлены перпендикулярно пружине, иначе шайбы удалялись бы или приближались друг к другу, т.е. длина пружины либо увеличивалась, либо уменьшалась бы, но, в любом из этих случаев, не была бы в этот момент максимальной. Если обозначить величину скорости шайб в этот момент через u ", длину пружины в этот момент через l ", то
В выражении для энергии второе слагаемое представляет собой потенциальную энергию растянутой на длину l’ – l 0 пружины.
В силу законов сохранения энергии и момента импульса имеем следующие уравнения:
Выразив новую скорость шайб v’ из второго из этих уравнений, и подставив её в первое уравнение, найдём:
откуда приходим к уравнению:
После сокращения обеих частей уравнения на l’– l 0 получим:
а учитывая малую величину удлинения пружины (l’– l 0 << l 0), приходим к ответу:
Из полученного ответа видно, что удлинение пружины будет малым, если выполнено неравенство:
Задача 3
По гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массой m , привязанное к невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие O (рис. 1) с постоянной скоростью u . Найти угловую скорость тела в зависимости от расстояния r тела до отверстия, если в начальный момент оно находилось на расстоянии r 0 , а угловая скорость нити была равна w 0 . Найти силу натяжения нити N как функцию расстояния r тела до отверстия О и площадь, которую опишет тело за один оборот.
Решение
Рис. 1
|
Поскольку сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой реакции стола, а момент силы N натяжения нити относительно точки O равен нулю, то момент импульса тела L относительно точки О сохраняется. Запишем выражение для момента импульса тела:
L = [r ,p ] = m [r ,v ].
Разложим скорость тела v на две составляющие: v " – поперек направления нити и u – вдоль нити (рис.2):
v = v " + u .
Так как векторное произведение [r ,u ] = 0, то:
L = m [r ,v " + u ] = m [r ,v "].
Поскольку v’= wr , где w – угловая скорость, и векторы r иv " взаимно ортогональны, то величина момента:
L=mru "= mr 2 w.
Поскольку L = const , а в начальный момент w=w 0 , r= r 0 , то:
mr 2 w= mr 0 2 w 0 ,
Рис. 2
|
Для нахождения величины силы натяжения нити N удобнее всего воспользоваться соотношением между скоростью изменения кинетической энергии тела Т и мощностью Р , действующих на него сил:
В нашем случае:
поскольку u=const .
Так как 
, то:
Производная dr /dt – это проекция скорости тела на направление нити (радиальное направление) и, поскольку нить укорачивается, т.е. тело приближается к отверстию со скоростью u , то dr /dt = –u .
Окончательно:
Для мощности имеем:
P= (N ,v ) = (N ,u+v ") = (N ,u ) + (N ,v ") = (N ,u ) = Nu .
Здесь мы учли, что N и v " взаимно ортогональны, а N и u направлены в одну и ту же сторону вдоль нити. Итак, получаем:
Найдём теперь площадь фигуры, которую опишет тело за один оборот (она затенена на Рис. 3). Для этого найдём площадь треугольника (он заштрихован на рис. 3), которую опишет нить за малый промежуток времени dt . Для этого учтём, что величина этой площади dS может быть записана как половина модуля векторного произведения векторов r и d s = v dt :
где L – величина момента импульса.
Так как L=const , то искомая площадь:
Рис. 3
|
где t – время одного оборота тела вокруг точки О .
Осталось найти это время. Для этого учтём, что за один оборот нить повернётся на угол 2p. С другой стороны, угол поворота d j за малый промежуток времени dt равен произведению wdt. Угловая скорость найдена ранее:
.
Проинтегрировав это равенство по периоду, найдём:
Задача 4
Нить длины l с подвешенным к ней небольшим телом массы m отклонена от вертикали на угол a. Тело толкнули в горизонтальном направлении перпендикулярно нити. При его последующем движении угол отклонения нити в тот момент, когда скорость тела вновь была направлена горизонтально, оказался равным b. Найти начальную скорость тела, и скорость в точке, где нить была отклонена на угол b.
Решение
В процессе движения тела скорость его всё время остаётся перпендикулярной нити, так как нить нерастяжима. Это означает, что сила натяжения нити не совершает работы. Как следствие этого механическая энергия тела остаётся постоянной, так как только сила тяжести (она консервативна) совершает работу над телом.
Рассмотрим теперь момент импульса тела, выбрав в качестве полюса, относительно которого определяем момент, точку подвеса О нити. Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, образуемой нитью и вектором скорости. Поскольку тело движется, эта плоскость непрерывно изменяет своё положение, следовательно, изменяется и вектор момента импульса. Так что вектор момента импульса тела не сохраняется. Однако, как нетрудно убедиться, проекция вектора момента импульса на вертикальное направление, то есть момент импульса относительно нити, будет сохраняться. Для этого рассмотрим момент сил, приложенных к телу относительно точки О . Этих сил две – сила реакции нити и сила тяжести. Но сила натяжения нити направлена вдоль нити, поэтому её момент равен нулю.
Что касается момента силы тяжести M тяж = [r ,m g ], то он перпендикулярен как радиус–вектору r (направлению нити), так и вектору g . Но это означает, что момент силы тяжести всё время направлен горизонтально. Если мы запишем уравнение моментов относительно полюса О :
и спроецируем его на вертикальное направление (ось OZ ), то получим:
т.е. L z = const .
В начальный момент:
L z =L 0 ×sina = mu 0 l sina.
Примем, что в точке, где скорость тела вновь направлена горизонтально, нить отклонена на угол b. Но тогда точно так же:
L z =L 1 ×sinb = mu 1 l sinb.
Здесь v 1 – скорость тела в новом положении. Закон сохранения момента импульса тогда запишется следующим образом:
u 0 sina = u 1 sinb.
Запишем теперь уравнение, выражающее закон сохранения энергии:
.
Исключив отсюда скорость u 1 с помощью закона сохранения момента импульса, получим:
Задача 5
По гладкой горизонтальной плоскости движется гантелька, состоящая из двух небольших шариков массой m и М , соединённых невесомым стержнем длины l . Шарик массы М испытывает абсолютно упругий удар о неподвижную стенку, поверхность которой перпендикулярна скорости шара. Найти скорости шариков после удара, считая, что до удара они двигались с одинаковыми скоростями, в направлении перпендикулярном стержню.
Решение
Поскольку удар упругий, то энергия гантельки сохраняется. Кроме того, сохраняется момент импульса гантельки относительно точки удара О со стенкой, поскольку момент силы реакции N относительно её точки приложения равен нулю.
Запишем эти уравнения:
Здесь мы учли, что радиус-вектор шарика, испытавшего удар, коллинеарен вектору его скорости, поэтому момент импульса этого шарика относительно точки удара равен нулю.
Рис. 1
|
Согласно второму из получившихся уравнений видим, что u 1 = u 0 , тем самым u 2 = – u 0 . Таким образом, первый шар сразу после удара не изменил своей скорости, а второй начал двигаться назад с прежней по величине скоростью. Это означает, что импульс этой гантельки изменился в результате удара:
Причина изменения импульса гантельки – импульс, переданный гантельке силой реакции стенки.
Задача 6
При каких условиях метеорит, движущийся вдали от Земли со скоростью V 0 , может упасть на поверхность Земли? Влиянием других небесных тел пренебречь.
Решение
Очевидно, падение метеорита на Землю возможно, если минимальное расстояние, на котором проходит его траектория от центра Земли не превышает радиуса Земли (см. Рис. 1).
При движении тела в центральном поле его момент импульса относительно центра этого поля остаётся неизменным:
mV 0 r = mV 1 R (1),
Рис. 1
|
здесь R – радиус Земли, r – прицельное расстояние метеорита относительно центра Земли, V 0 и V 1 – скорость метеорита вдали и, соответственно, вблизи Земли.
Помимо закона сохранения момента импульса, в данной задаче мы можем воспользоваться ещё и законом сохранения энергии, поскольку поле тяготения является консервативным полем. Потенциальную энергию тела в поле тяготения найдём из закона всемирного тяготения:
Здесь т и М – масса тела и, соответственно, масса того небесного тела, в поле тяготения которого это тело движется, G – постоянная всемирного тяготения, r – расстояние между телами, F r – проекция силы тяготения на радиальное направление. Воспользовавшись соотношением между силой и потенциальной энергией, найдём после интегрирования по dr :
Здесь мы положили постоянную интегрирования равной нулю, что соответствует выбору потенциальной энергии равной нулю на бесконечном удалении от небесного тела (сравните с задачей 1 раздела 5 Движение точки в консервативных полях). Записывая выражение для энергии метеорита вдали от Земли и в точке касания её поверхности, получим:
Потенциальную энергию, при выбранной выше её нормировке, можно записать как – mgR , поскольку сила тяготения, действующая на тело, находящееся на поверхности Земли равна mg :
Тем самым уравнение закона сохранения энергии запишем в виде:
откуда найдём V 1:
Воспользовавшись законом сохранения момента импульса (1), получим с учётом найденной нами скорости V 1:
.
Заметим, что 2mgR = V 2 2 , где V 2 – вторая космическая скорость. Тем самым:
.
Вторая космическая скорость для Земли V 2 составляет 11,2 км/с, а скорость метеоритов V 0 обычно заметно больше, её величина около 30 км/с. Тем самым, для того чтобы метеорит мог упасть на поверхность Земли, его прицельное расстояние должно быть не больше радиуса Земли. А вот для Юпитера, вторая космическая скорость которого более чем в 5 раз превосходит вторую космическую скорость для Земли, прицельное расстояние оказывается приблизительно в 2,5 раза больше радиуса Юпитера, т.е. приблизительно в 25–30 раз больше радиуса Земли.
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. В механике абсолютно твёрдым телом – в дальнейшем просто твердым телом – называют систему материальных точек, расстояния между которыми всё время остаются неизменными.
Рис. 1
|
2. Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом остаётся параллельной себе самой. Прямая жестко связанная с телом это такая прямая, расстояние от любой точки которой до любой точки тела неизменно в процессе движения.
3. Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называют такое его движение, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Положение тела тогда задаётся углом его поворота вокруг этой оси.
4. Вектором угловой скорости твёрдого тела называется вектор w , направленный вдоль оси вращения твёрдого тела в ту же сторону, в какую перемещается буравчик, вращающийся вместе с телом (рис.1). Проекция вектора угловой скорости на направление оси вращения (ось OZ на Рис. 1) равна производной по времени от угла поворота твёрдого тела:
w z = d j/dt .
Угол поворота считается положительным, если для наблюдателя, расположенного так, что ось вращения направлена к нему, поворот происходит против часовой стрелки. Соответственно, и проекция w z положительна, если для такого наблюдателя вращение тела происходит против часовой стрелки.
5. Вектор v i скорости произвольной точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен векторному произведению векторов угловой скорости и радиус-вектора этой точки:
v i = [w ,r i ].
Начало координат при этом выбрано на оси вращения твёрдого тела (см. Рис. 1).
Может быть ввести (перед пунктом 6) общий случай: вращение вокруг точки, то есть вращение вокруг вращающейся оси? В последней фразе пункта 6 присутствуют слова: "… вращения тела относительно центра масс." Или там поменять на "вращение тела вокруг неподвижной в (с.ц.и.) оси, проходящей через центр масс".
6. Произвольное движение твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как совокупность поступательного и вращательного движений (теорема Эйлера). Точку внутри твёрдого тела, через которую проходит ось вращения можно выбирать произвольно, при этом величина и направление вектора угловой скорости не зависят от выбора этой точки, скорость же поступательного движения тела совпадает со скоростью этой выбранной точки. Физически наиболее обусловлено и практически чаще всего наиболее удобно выбирать ось вращения так, чтобы она проходила через центр масс тела. Тогда движение твердого тела складывается из поступательного движения со скоростью центра масс этого тела и вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс.
7. Кинетическая энергия Т твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна:
где w – величина угловой скорости вращения, а I – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, определяемый равенством:
Здесь Dm i – массы "точек" твёрдого тела, a R i – их расстояния от оси вращения ОО ". Момент инерции в задачах, связанных с вращением твёрдого тела играет роль подобную той, что играет масса тела при его поступательном движении. Под "точкой" твердого тела имеется ввиду физически бесконечно малый элемент объема тела с массой Dm i . Суммирование производится по всем таким объёмам, на которые разбито тело.
Рис. 2
|
8. Если известен I С – момент инерции твёрдого тела относительно некоторой оси OO , проходящей через его центр инерции, то I – момент инерции твердого тела относительно произвольной, но параллельной ей оси O"O" находится с помощью теоремы Штейнера:
I=I С + md 2
где m – масса твёрдого тела, d – расстояние между осями.
9. В силу теоремы Эйлера для описания движения твёрдого тела необходимо знать скорость движения его центра инерции и угловую скорость вращения. Поэтому система уравнений, определяющих движение твёрдого тела, состоит из уравнения движения центра масс и уравнения моментов:
где М – масса твёрдого тела, а ци – ускорение его центра масс, F внеш – сумма внешних сил, приложенных к твёрдому телу, L – момент импульса твёрдого тела, М внеш – сумма моментов внешних сил, приложенных к нему. Заметим, что L и М внеш могут вычисляться как относительно центра масс, так и относительно любой другой точки (разумеется, при этом точка, относительно которой вычисляются L и М внеш должна быть одной и той же как для L , так и для М внеш ).
Рис. 3
|
10. Поскольку разложение движения твердого тела на поступательное и вращательное можно производить различными способами, то в некоторых задачах бывает удобно выбирать ось вращения таким образом, чтобы движение твердого тела представлялось как чистое вращение. Положение этой оси будет, вообще говоря, изменяться с течением времени, поэтому ее называют мгновенной осью вращения .
11. Вектор момента импульса твердого тела определяется как сумма моментов "точек" этого тела:
L = S DL i .
12. Направление вектора момента импульса твердого тела, при вращении вокруг произвольной оси, не совпадает, вообще говоря, с направлением этой оси (Рис. 3). Однако в каждом твердом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, при вращении вокруг которых векторы L и w совпадают по направлению. Такие оси носят название главных осей инерции . Если тело имеет ось симметрии, то она будет одной из главных осей инерции.
Задача 1
Докажите, что при поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями.
Решение
Рис. 1
|
Выберем в теле произвольным образом две точки. Пусть это точки А и В . Обозначим их радиус–векторы r A и r В, а вектор, соединяющий их, обозначим как R . Тогда:
r В = r A + R .
Дифференцируя это равенство по времени (дифференцирование по времени обозначаем точкой), получим:
.
Но вектор R – постоянный вектор, так как, ни его длина, ни направление не изменяются. Действительно, расстояния между точками твёрдого тела неизменны, поэтому длина вектора R также неизменна. Кроме того, тело движется поступательно, поэтому направление вектора R также не изменяется. Поэтому производная вектора R равна нулю, тем самым:
Т.е. скорости выбранных нами точек одинаковы. Но в силу произвольности выбора этих точек, все точки тела имеют такие же скорости.
Задача 2
Докажите, что кинетическую энергию твёрдого тела в самом общем случае можно представить в виде:
,
где V ци – скорость центра масс твердого тела, I С – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс твердого тела, w – угловая скорость вращения твёрдого тела.
Решение
Согласно теореме Кёнига кинетическую энергию твёрдого тела можно представить как:
Здесь M – масса тела, V ц – скорость его центра инерции, Т 0 – кинетическая энергия тела в системе отсчета, движущейся со скоростью центра инерции. Но в этой системе отсчёта центр инерции неподвижен. Следовательно, движение твёрдого тела в этой системе отсчёта есть вращение вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, и кинетическая энергия такого движения равна:
где I С – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр инерции тела, а w – угловая скорость вращения твёрдого тела.
Тем самым утверждение доказано:
.
Задача 3
Докажите, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связана с вектором момента импульса L этого тела и вектором угловой скорости w его вращения следующим образом:
Полюс, относительно которого определяется момент импульса, выбран на оси вращения тела.
Решение
Вектор момента импульса твердого тела определяется как сумма моментов "точек" этого тела:
Рис. 1
|
Преобразуем двойное векторное произведение под знаком суммы с помощью известного тождества:
[a ,[b ,c ]] = b (a ,c ) – c (a ,b ).
Эта формула показывает, что направления векторов L
иw,
вообще говоря, не совпадают, поскольку в самом общем случае сумма 
представляет собой вектор, направление которого не обязано совпадать с направлением вектора угловой скорости.
Умножим теперь обе части полученного выражения скалярно на вектор w :
Здесь I z – момент инерции тела относительно оси вращения OZ .
Поделив обе части полученного соотношения на 2, придём к искомому результату:
Поскольку Т вращ
> 0, то угол между вектором момента импульсаL
и вектором угловой скорости w
может быть только острым. Полученный результат можно записать несколько по-иному, имея в виду, что 
:
Здесь L z – проекция момента импульса тела на направление оси вращения OZ . Сократив обе части полученного равенства на w/2, получим:
L z = I z w.
Как видим, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость вращения вокруг этой оси.
Задача 4
Докажите, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связана с проекциями вектора угловой скорости w на главные оси твёрдого тела и моментами инерции относительно главных осей следующим образом:
Решение
Согласно результату предыдущей задачи, кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела связана с его моментом импульса:
Если выбрать какие-либо оси координат, связанные с этим телом, то тогда:
Вообще говоря, каждая проекция момента импульса зависит от всех трёх проекций угловой скорости на оси координат. Однако если в качестве системы координат выбрать систему, оси которой являются главными осями тела, то, согласно свойствам этих осей:
Тем самым:
Задача 5
Как зависит скорость изменения кинетической энергии твёрдого тела, т.е. производная dT /dt , от сил, приложенных к этому телу?
Решение
Согласно теореме Кёнига и результату предыдущей задачи, кинетическая энергия твёрдого тела может быть записана в виде:
Здесь I x , I y , I z – моменты инерции твёрдого тела относительно главных осей, а w x , w y ,w z – проекции вектора угловой скорости на эти оси.
Продифференцировав это равенство по времени, получим:
Здесь мы учли, что
Здесь F внеш и М внеш векторная сумма внешних сил и, соответственно, векторная сумма моментов внешних сил, приложенных к телу.
Как видим, изменение кинетической энергии твёрдого тела определяется как внешними силами, так и моментами этих сил. Причём, что интересно, ответ не зависит от того, в каких именно точках тела приложены действующие на тело силы. Всё определяется векторной суммой внешних сил и скоростью движения центра инерции тела, и, соответственно, векторной суммой моментов внешних сил, приложенных к телу и угловой скоростью вращения тела:
Поскольку производная dT /dt равна мощности сил, действующих на тело, то полученный результат представляет мощность внешних сил, приложенных к твёрдому телу.
Момент импульса
Определение
Моментом импульса относительно неподвижной оси $z$ называется скалярная величина $L_{z} $, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси.
Значение момента импульса $L_{z} $ не зависит от положения точки 0 на оси $z$. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса $r_{i} $ с некоторой скоростью $v_{i} $. Скорость $v_{i} $ и импульс $m_{i} v_{i} $ перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора $m_{i} v_{i} $. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси $z$ равен:
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:
Учитывая связь между линейно и угловой скоростями ($v_{i} =\omega r_{i} $), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:
$L_{z} =\sum _{i=1}^{n}m_{i} r_{i}^{2} \omega =\omega \sum \limits _{i=1}^{n}m_{i} r_{i}^{2} =J_{z} \omega $, (1)
т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцировав выражение (1) по времени, получим:
$\frac{dL_{z} }{dt} =J_{z} \frac{d\omega }{dt} =M_{z} $ (2)
Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.
Закон сохранения импульса
Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем: если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Действительно, если:
$M=0$, то $\frac{dL}{dt} =0$,
откуда: $\overline{L}=const$. (3)
Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси $z$ (уравнение 2), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если $M_{z} =0$, то $\frac{dL_{z} }{dt} =0$, откуда $\overline{L}_{z} =const,$ или $J_{z} \omega =const$.(4)
Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства -- его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
Справедливы следующие выражения:
- Момент инерции тела относительно оси вращения -- это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: \
- Момент инерции тела $J_{z} $ относительно любой оси вращения равен моменту его инерции $J_{c} $относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: $J_{z} =J_{c} +ma^{2} $;
- При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси $z$ его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости: \
- Из сравнения формул $E_{k_{2@} } =\frac{J_{z} \omega ^{2} }{2} $и $E_{k} =\frac{mv^{2} }{2} $ следует, что момент инерции -- мера инертности тела при вращательном движении;
- Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид: $M_{z} =J_{z} \varepsilon =\frac{dL_{z} }{dt} $.
Пример
Груз массой 0,8 кг подвешен на тонкой невесомой нити, на высоте 3 м над полом. Нить намотана на сплошной однородный цилиндрический вал радиусом 30 см с моментом инерции 0,15 кг*м2. Вращаясь, вал опускает груз на пол. Определить: время опускания груза до пола, силу натяжения нити, кинетическую энергию груза в момент касания грузом пола.
$r$= 15 см=0,15м
$J_{x} $= 0,18 кг*м2
Найти: $t,N,E_{k} $-?
Отсюда, сила натяжения нити: $N=\frac{J_{x} \varepsilon }{r} =\frac{0,18\cdot 4}{0,15} =4,8H$.
Кинетическая энергия груза в момент удара об пол:
Ответ: $t=3,2A$, $N=4,8H$, $E_{k} =0,9Дж.$
Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).
Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О:
М = Fp=Frsinα.
Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:
(3.1)
Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).
Направление М можно найти с помощью правила правого винта.
Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:
или в скалярном виде L = гPsinα
Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.
§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера
Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:
I i =m i r i 2 (3.2)
Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:
(3.3)
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.
Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.
· Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню
(3.6)
· Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпендикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,
(3.7)
· Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,
(3.8)
· Момент инерции шара относительно диаметра
(3.9)
| Рис.3.2 |
Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
(3.11)
Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг м 2).
Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен
(3.12)
§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение 
или F = ma
τ .
Используя соотношение a τ = βr , получаем F = m βr.
Умножим обе части написанного выше равенства на r.
Fr = m βr 2 . (3.13)
Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2 .
Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки ):
М = β J или 
(3.14)
При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:
(3.15)
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде
или 
(3.16)
[ 
-момент импульса (или момент количества движения), МΔt - импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].
Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде
(3.17)
§ 3.4 Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, .
Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов
импульсов отдельных его частиц :
(3.18)
Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:
dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)
Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.
Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса ):
d(Jω)=0 Jω=const (3.20)
Согласно закону сохранения момента импульса можно записать
J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)
где J 1 и ω 1 - момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J 2 и ω 2 – в момент времени t.
Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.
§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела
Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки
или 
Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:
(3.22)
(J - момент инерции тела относительно оси вращения)
Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.
Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна
(3.23)
Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.
§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела
При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:
ΔA = ΔE или 
Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем
ΔA =MΔφ (3.24)
Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол φ равна
При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.
Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси z с угловой скоростью . Для нахождения момента импульса тела рассматриваем его как механическую систему материальных точек. Мысленно разобьём тело на элементарные части массой Dm i , которые можно принять за материальные точки. Очевидно, что момент импульса тела относительно оси равен векторной сумме отдельных элементарных частей тела относительно той же оси. При вращении тела все его точки движутся по окружностям различного радиуса R i , плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Поэтому моменты импульсов всех элементарных частей тела, согласно правилу правого винта, направлены в одну сторону вдоль оси вращения. Тогда векторное сложение заменяется скалярным, т.е.
Используя формулу (7), имеем: 
где ¾ модуль линейной скорости i
-ой части. Но u i
= wR i
. Поэтому 
, и с учётом выражения (9) 
Поскольку все точки тела обладают одинаковой угловой скоростью w, то её выносим за знак суммы: 
Так как 
¾ момент инерции тела, то L
z = I
z w. Запишем это выражение в векторном виде:
Итак, момент импульса твёрдого телаотносительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость . Направление , как и направление , находят по правилу правого винта.
АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
Рассмотрев поступательное и вращательное движения можно установить аналогию между ними. В кинематике поступательного движения используются путь s , скорость u и ускорение а . Их роль во вращательном движении играют угол поворота j, угловая скорость w и угловое ускорение ε. В динамике поступательного движения применяются понятия силы , массы т и импульса Во вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы - момент инерции I z и роль импульса - момент импульса Зная формулы поступательного движения легко записать формулы вращательного движения. Например, скорость и ускорение тела при поступательном движении вычисляются по формулам и Тогда угловая скорость и угловое ускорении при вращательном движении находится по формулам и При поступательном движении импульс тела равен Поэтому при вращательном движении момент импульса равен Эту аналогию можно продолжать и дальше.
ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Пусть тело с моментом инерции I z вращается относительно оси z под действием равнодействующего момента сил. Запишем второй закон Ньютона, являющимся основным законом динамики поступательного движения: и Здесь и т - ускорение и масса тела, - импульс тела и - равнодействующая сил, приложенных к телу. Тогда, пользуясь аналогией между поступательным и вращательным движениями, получаем две записи основного закона динамики вращательного движения:
(11) 
(12)
Их формулировка: угловое ускорение, приобретаемое телом, пропорционально моменту внешних сил, приложенных к нему, относительно оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.
Момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен производной по времени от момента импульса тела относительно той же оси. Соотношение (12) является более общей записью основного закона динамики вращательного движения тела, так как оно оказывается справедливым и для тел, у которых момент инерции тела не является постоянной величиной.
При решении задач на движение тел в пространстве часто используют формулы сохранения кинетической энергии и импульса. Оказывается, что аналогичные выражения существуют и для вращающихся тел. В данной статье подробно рассматривается закон сохранения момента импульса (формулы соответствующие также приводятся) и дается пример решения задачи.
Процесс вращения и момент импульса
Перед тем как перейти к рассмотрению формулы закона сохранения момента импульса, необходимо познакомиться с этим физическим понятием. Проще всего его можно ввести, если воспользоваться рисунком ниже.
На рисунке видно, что на конце вектора r¯, направленного от оси вращения и перпендикулярного ей, имеется некоторая материальная точка массой m. Эта точка движется по окружности названного радиуса с линейной скоростью v¯. Из физики известно, что произведение массы на линейную скорость называется импульсом (p¯). Теперь стоит ввести новую величину:
L¯ = r¯*m*v¯ = r¯*p¯.
Здесь векторная величина L¯ представляет собой момент импульса. Чтобы перейти к скалярной форме записи, необходимо знать модули соответствующих значений r¯ и p¯, а также угол θ между ними. Скалярная формула для L имеет вид:
L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).
На рисунке выше угол θ является прямым, поэтому можно просто записать:
L = r*m*v = r*p.
Из записанных выражений следует, что единицей измерения для L будут кг*м 2 /с.
Направление вектора момента импульса
Поскольку рассматриваемая величина является вектором (результат векторного произведения), то она будет иметь определенное направление. Из свойств произведения двух векторов следует, что их результат даст третий вектор, перпендикулярный плоскости, образованной первыми двумя. При этом направлен он будет таким образом, что если смотреть с его конца, то тело будет вращаться против часовой стрелки.
Результат применения этого правила показан на рисунке в предыдущем пункте. Из него видно, что L¯ направлен вверх, поскольку, если смотреть на тело сверху, его движение будет происходить против хода стрелки часов. При решении задач важно учитывать направление во время перехода к скалярной форме записи. Так, рассмотренный момент импульса считается положительным. Если бы тело вращалось по часовой стрелке, тогда в скалярной формуле перед L следовало бы поставить знак минуса (-L).
Аналогия с линейным импульсом
Рассматривая тему момента импульса и закона его сохранения, можно проделать один математический трюк - преобразовать выражение для L¯, помножив и поделив его на r 2. Тогда получится:
L¯ = r*m*v¯*r 2 /r 2 = m*r 2 *v¯/r.
В этом выражении отношение скорости к радиусу вращения называется угловой скоростью. Она обычно обозначается буквой греческого алфавита ω. Эта величина показывает, на сколько градусов (радиан) сделает поворот тело по орбите своего вращения за единицу времени. В свою очередь, произведение массы на квадрат радиуса - это тоже физическая величина, имеющая собственное название. Обозначают ее I и называют моментом инерции.
В итоге формула для момента импульса преобразуется в следующую форму записи:
L¯ = I *ω¯, где ω¯= v¯/r и I=m*r 2 .
Выражение демонстрирует, что направление момента импульса L¯ и угловой скорости ω¯ совпадают для системы, состоящей из вращающейся материальной точки. Особый интерес представляет величина I. Ниже она рассмотрена подробнее.
Момент инерции тела
Введенная величина I характеризует "сопротивляемость" тела любому изменению скорости его вращения. То есть она играет точно такую же роль, что и инерция тела при линейном перемещении объекта. По сути I для кругового движения с физической точки зрения означает то же самое, что и масса при линейном движении.
Как было показано, для материальной точки с массой m, вращающейся вокруг оси на расстоянии от нее r, момент инерции рассчитать просто (I = m*r 2), однако для любых других тел этот расчет будет несколько сложным, поскольку предполагает использование интеграла.
Для тела произвольной формы I можно определить при помощи следующего выражения:
I = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ V (r 2 *ρ*dV), где ρ - плотность материала.
Выражения выше означают, что для вычисления момента инерции следует разбить все тело на бесконечно малые объемы dV, умножить их на квадрат расстояния до оси вращения и на плотность и просуммировать.
Для тел разной формы эта задача решена. Ниже приводятся данные для некоторых из них.
Материальная точка: I = m*r 2 .
Диск или цилиндр: I = 1/2*m*r 2 .
Стержень длиной l, закрепленный по центру: I = 1/12*m*l 2 .
Шар: I = 2/5*m*r 2 .
Момент инерции зависит от распределенной массы тела относительно оси вращения: чем дальше от оси будет находиться большая часть массы, тем больше будет I для системы.
Изменение момента импульса во времени
Рассматривая момент импульса и закон сохранения момента импульса в физике, можно решить простую проблему: определить, как и за счет чего он будет изменяться во времени. Для этого следует взять производную по dt:
dL¯/dt = d(r¯*m*v¯)/dt = m*v¯*dr¯/dt+r*m*dv¯/dt.
Первое слагаемое здесь равно нулю, поскольку dr¯/dt = v¯ и произведение векторов v¯*v¯ = 0 (sin(0) = 0). Второе же слагаемое может быть переписано следующим образом:
dL¯/dt =r*m*a¯, где ускорение a = dv¯/dt, откуда:
dL¯/dt =r*F¯=M¯.
Величина M¯, согласно определению, называется моментом силы. Она характеризует действие силы F¯ на материальную точку массой m, расположенную на расстоянии r от оси вращения.
Что показывает полученное выражение? Оно демонстрирует, что изменение момента импульса L¯ возможно только за счет действия момента силы M¯. Эта формула - закон сохранения момента импульса точки: если M¯=0, то dL¯/dt = 0 и L¯ является постоянной величиной.
Какие моменты сил могут изменить L¯ системы?
Существует два вида моментов сил M¯: внешние и внутренние. Первые связаны с силовым воздействием на элементы системы со стороны любых внешних сил, вторые же возникают за счет взаимодействия частей системы.
Согласно третьему закону Ньютона, любой силе действия соответствует направленная противоположно сила противодействия. Это означает, что суммарный любых взаимодействий внутри системы всегда равен нулю, то есть он не может повлиять на изменения момента импульса.
Величина L¯ может измениться только за счет внешних моментов сил.
Формула закона сохранения момента импульса
Формула для записи выражения сохранения величины L¯ в случае, если сумма внешних моментов сил равна нулю, имеет следующий вид:
I 1 *ω 1 = I 2 *ω 2 .
Любые изменения момента инерции системы пропорционально отражаются на изменении угловой скорости таким образом, что произведение I*ω не меняет своего значения.
Вид этого выражения аналогичен закону сохранения линейного импульса (роль массы играет I, а роль скорости - ω). Если развивать аналогию дальше, то, помимо этого выражения, можно записать еще одно, которое будет отражать сохранение кинетической энергии вращения:
E = I *(ω) 2 /2 = const.
Применение закона сохранения момента импульса находит себя в целом ряде процессов и явлений, которые кратко охарактеризованы ниже.
Примеры использования закона сохранения величины L¯
Следующие примеры закона сохранения момента импульса имеют важное значение для соответствующих сфер деятельности.
- Любой вид спорта, где необходимо совершать прыжки с вращением. Например, балерина или спортсмен по фигурному катанию начинает исполнение пируэта с вращением, разведя широко руки и отодвинув ногу от центра тяжести своего тела. Затем он прижимает ногу ближе к опорной и руки ближе к телу, уменьшая тем самым момент инерции (большая часть точек тела расположена близко к оси вращения). По закону сохранения величины L, должна увеличиться его угловая скорость вращения ω.
- Для изменения направления ориентации относительно Земли какого-либо искусственного спутника. Выполняется это так: спутник имеет специальный тяжелый "маховик", его приводит в движение электромотор. Общий момент импульса должен сохраняться, поэтому сам спутник начинает вращаться в противоположную сторону. Когда он примет нужную ориентацию в пространстве, маховик останавливают, и спутник также перестает вращаться.
- Эволюция звезд. По мере того как звезда сжигает свое водородное топливо, силы гравитации начинают преобладать над давлением ее плазмы. Этот факт приводит к уменьшению радиуса звезды до небольших размеров и, как следствие, к сильному увеличению скорости вращения угловой. Например, установлено, что нейтронные звезды, имеющие диаметр несколько километров, вращаются с гигантскими скоростями, делая один оборот за доли миллисекунды.
Решение задачи на закон сохранения L¯
Учеными установлено, что через несколько миллиардов лет Солнце, исчерпав энергетические запасы, превратится в "белого карлика". Необходимо рассчитать, с какой скоростью оно будет вращаться вокруг оси.
Для начала необходимо выписать значения необходимых величин, которые можно взять из литературы. Итак, сейчас данная звезда имеет радиус 696 000 км и один оборот вокруг своей оси делает за 25,4 земных суток (значение для области экватора). Когда она подойдет к концу своего эволюционного пути, то сожмется до размеров 7000 км (порядка радиуса Земли).
Полагая, что Солнце - идеальный шар, можно воспользоваться формулой закона сохранения момента импульса для решения этой задачи. Нужно перевести сутки в секунды и километры в метры, получается:
L = I*ω = 2/5*m*r 1 2 *ω 1 = 2/5*m*r 2 2 *ω 2 .
Откуда следует:
ω 2 = (r 1 /r 2) 2 *ω 1 = (696000000/7000000) 2 *2*3,1416/(25,4*24*3600)= 0,0283 рад/с.
Здесь использовалась формула для угловой скорости (ω = 2*pi/T, где T - период вращения в секундах). При выполнении вычислений также было сделано предположение, что масса Солнца остается постоянной (это не верно, поскольку она будет уменьшаться. Тем не менее полученное значение ω 2 является нижней границей, то есть в действительности Солнце-карлик будет вращаться еще быстрее).
Поскольку полный оборот - это 2*pi радиан, тогда получится:
T 2 = 2*pi/ω 2 = 222 с.
То есть в конце своего жизненного цикла данная звезда будет делать один оборот вокруг своей оси быстрее, чем за 222 секунды.