Широкое применение отношений эквивалентности в современной математике связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы.
П р и м е р 1. Пусть на множестве всех целых неотрицательных чисел N 0 = {0, 1, 2, 3, …} задано отношение Р : «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3». Докажем, что Р – отношение эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.
В самом деле:
а) отношение Р – рефлексивно, поскольку любое х Î N 0 имеет при делении на 3 тот же остаток, что х ;
б) Р – симметрично, поскольку для любых х, у Î N 0 , если числа х и у у и х имеют один и и тот же остаток при делении на 3;
в) Р – транзитивно, поскольку для любых трех чисел x, y, z Î N 0, если х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, и у и z имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа х и z имеют один и тот же остаток при делении на 3.
Следовательно, отношение Р : «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3» является отношением эквивалентности, и поэтому оно разбивает множество N 0 на классы. Эти классы называются классами вычетов по модулю 3.
– так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 0, т.е. = {0, 3, 6, 9, 12 …}, или = {3k }, где k Î N 0 .
– так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, т.е. = {1, 4, 7, 10, 13 …}, или = {3k + 1};
– так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2, т.е. = {2, 5, 8, 11, 14 …}, или = {3k + 2}.
Итак, отношение Р разбивает множество N 0 на 3 класса, и вообще, можно доказать, что отношение «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на m » разбивает это множество на m классов.
П р и м е р 2. На множестве N – натуральных чисел задано отношение Р следующим образом: (х 1 , у 1) Р (х 2 , у 2) .
Установим, что Р является отношением эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.
Действительно, это отношение:
а) рефлексивно, поскольку для любых пар (х
, у
) имеет место
ху
= ух
;
б) симметрично, поскольку для любых двух пар натуральных чисел (х 1 , у 1) и (х 2 , у 2), если х 1 у 2 = у 1 х 2 , то х 2 у 1 = у 2 х 1 ;
в) транзитивно, поскольку для любых трех пар (х 1 , у 1), (х 2 , у 2), (х 3 , у 3), если х 1 у 2 = у 1 х 2 и х 2 у 3 = у 2 х 3 , то х 1 у 2 х 2 у 3 = у 1 х 2 у 2 х 3 , т.е. х 1 у 3 = у 1 х 3 .
Таким образом, отношение Р разбивает множество N на классы эквивалентности. Каждый из этих классов называется рациональным числом.
Например, пары (1, 2), (2, 4), (3, 6) принадлежат одному классу {(1, 2), (2, 4), (3, 6), …}. Можно этот класс определить следующим образом , т.е. как множество пар, эквивалентных паре (1, 2). Обычно эти пары записывают так: и называют дробями, а эквивалентность пар называют равенством дробей. Для упрощения заменяют класс эквивалентности каким-нибудь его элементом (представителем), чаще всего наиболее простым (несократимой дробью), называя его рациональным числом. Такое упрощение допустимо, так как рациональное число, как класс эквивалентности, однозначно определяется любым элементом этого класса, а операции над рациональными числами, как над классами пар, определяются через операции над представителями этих классов таким образом, что результаты этих операций не зависят от выбора представителей.
Как видно, дробь – форма выражения числа, при этом бесконечное множество дробей, составляющих один класс эквивалентности по отношению P на N , выражает одно число, которое может оказаться целым или дробным положительным числом, т.е. одно рациональное число.
Во многих вычислительных задачах берутся большие множества и разбиваются таким образом, чтобы все интересующие нас ситуации можно было исследовать на нескольких правильно выбранных примерах.
Определение 1: Пусть A ¹ Æ и {A i },i= совокупность подмножеств таких, что A= . Тогда совокупность этих подмножеств называется покрытием множества A.
Например, {A, B}- покрытие AÈB; {A, AÈB, B, C}-покрытие AÈBÈC.
Замечание: В общем случае покрытие может быть и бесконечным. однако с точки зрения изучения конкретных свойств такая ситуация не вызывает энтузиазма.
Определение 2: Разбиением непустого множества А называется такое его покрытие , что если i¹ j, то A i ÇA j =Æ.
Например, {A, A’} – разбиение U .
{AÇB, AÇB’, A’ÇB, A’ÇB’} – разбиение U ,
{A\B, AÇB, B\A} – разбиение AÈB.
Организовать разбиение непустого множества можно при помощи отношений, которые ведут себя подобно отношениям равенства на множестве чисел или множеств.
Определение 3: Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Примеры :
1. На множестве всех треугольников: {(x, y)| x и y имеют одинаковую площадь}
2. На множестве всех программ: {(a, b)| a, b вычисляют одну и ту же функцию на конкретной машине}
Определение 4: Пусть R – отношение эквивалентности на множестве А и xÎA. Классом эквивалентности порожденным элементом х называется множество {y| xR y}=[x] R .
Определение 5: Любой элемент класса эквивалентности называется представителем этого класса. Полной системой представителей называется множество представителей, по одному из каждого класса.
Пример 3 :
N – натуральные числа, s – фиксированный элемент. На Z определено отношение: r s = {(x, y)| x-y=ns, nÎZ }. Отношение сравнения по модулю s (запись: xºy(mod s)).
Нетрудно проверить, что отношение сравнения по модулю s, есть отношение эквивалентности на множестве Z.
Пусть, например, s=10. Тогда:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
На самом деле есть всего 10 классов эквивалентности по этому отношению, а числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 образуют полную систему представителей . Классы эквивалентности по этому отношению эквивалентности называют классами вычетов по модулю s.
Определение 6: Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности R называется множество всех классов эквивалентности по этому отношению и обозначается A/R.
Множество классов вычетов по модулю s обозначают Z s .
Имеет место
Теорема (о разбиении): Пусть R - отношение эквивалентности на непустом множестве А. Тогда фактор-множество A/R является разбиением множества А.
Доказательство:
"xÎA(xÎ[x] R). Надо доказать, что каждый элемент множества А принадлежит в точности одному классу. То есть, докажем, что если классы имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают. Пусть cÎ[a] и cÎ[b]. Пусть xÎ[a], но тогда x R a, a R c, c R b Þ x R b(транзитивность R). Значит, [a] Ì [b]. (где рефлексивность? а она есть!) Аналогично [b] Ì [a].
Что и требовалось доказать.
Имеет место и обратное утверждение. Пусть S- разбиение множества А и R s – бинарное отношение на A, такое что: R={(x,y)ïx и y принадлежат одному элементу разбиения }, тогда R , будем называть– отношением, определяемым разбиением S.
Теорема (обратная): Отношение R на А, определяемое разбиением S, является отношением эквивалентности на А, причем A/R s =S.(самостоятельно)
Упражнения:
1. Пусть А- конечное множество. Какие отношения эквивалентности дают наибольшее и наименьшее число классов эквивалентности.
2. Если {A 1 , A 2 , ..., A n }- разбиение А и А конечно, то .
Отношение порядка.
Из понятия равенства (например, чисел) возникает математическое понятие эквивалентности. А из понятия неравенства возникает другой тип отношений, которые называются отношениями порядка.
Определение 1: Частичным порядком на множестве А называется бинарное отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Частичный порядок - это обобщение отношения £ на R. Можно ввести понятие строгого порядка , соответствующего отношению < на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
Если задан £, то можно определить <: a
Множество, на котором задано отношение порядка, будем обозначать
(X, £) (или (X, <), если порядок строгий).
Определение 2: Множество, на котором задано отношение порядка, называется частично упорядоченным.
Пример: A - множество. (P (A),Í ), легко проверить, что отношение Í является отношением порядка на P (A).
Определение 3: Отношение порядка R на А называется полным (линейным) порядком , если " x, yÎA (xR y Ú yR x). Множество (A, R) называется линейно упорядоченным.
Примеры :
1. отношение £ на R является отношением полного порядка. Таким образом (R, £) - линейно упорядочено.
2. а вот (P (A),Í ) не является линейно упорядоченным
3. x£y Û y x на множестве N не является полным порядком
Определение 4: пусть (A, £) – частично упорядоченное множество. Элемент аÎА называетсянаименьшим /наибольшим/ в А, если " xÎA (a£ x) /x £ a /. Элемент bÎА называется минимальным /максимальным/ если " xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /.
Задача: Доказать, что для линейно упорядоченного множества понятия наибольшего (наименьшего) и максимального (минимального) элементов совпадают. Привести пример частично упорядоченного множества, где они не совпадают.
Композиция отношений
Пусть заданы множества A, B и C и отношения S между A и B (то есть SÌA´B) и R между B и C (RÌB´C). Определим новое отношение между A и C следующим образом:
Определение 1: Множество всех пар (x, y), таких, что существует zÎB такое, что (x, z)Î S и (z, y)Î R называется композицией отношений S и R . Обозначается: R o S . Таким образом, R o S Ì A ´ C .
R oS = {(x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)} или x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).
Пример 1 : Пусть A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, C={3, 6, 9, 12}, s ={(1,2), (2,4), (3,6)}, r={(1,3), (2,6), (3,9), (4,12)}. Тогда r o s={(1,6), (2,12)}.
Проиллюстрируем ситуацию на картинке:
Пример 2 : Пусть s и r - отношения на N такие, что
S = {(x,x+1)ïxÎN } и r = {(x 2 ,x)ïxÎN }. Тогда D r = {x 2 ïxÎN }={1,4,9,16,25,...}, а D s = N.
D r o s ={xïxÎN Ù x+1=y 2 }={3,8,15,24,...}.
В случае, когда отношение задано на множестве, оно может быть скомбинировано с самим собой:
sos = s 2 = {(x,x+2)½xÎN } и ror = r 2 = {(x 4 ,x)½xÎN }.
Используя это обозначение, можно определить энную степень отношения:
, где nÎN
, n>1.
Например, для отношений из примера 2 имеем:
, 
Хотелось бы дополнить аналогию с умножением. Для этого введем следующее естественное определение:
Определение 2: Бинарные отношения называются равными , если они равны как подмножества, то есть R=S, если"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS).
Понятно, что отношения должны быть определены на одних и тех же множествах.
Теорема (свойства композиции отношений): Для любых бинарных отношений R, S, T имеют место равенства:
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = S -1 o R -1
Доказательство:
1) Для любых x и y имеем:
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt))ÙtRy) º $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 oR -1 y.
Что и требовалось доказать.
Замечание: если R - отношение на множестве A, то ясно, что I A oR=RoI A =R. То есть I A ведет себя как единица при умножении чисел. Однако полной аналогии провести нельзя. Поскольку, например, коммутативность, в общем случае места не имеет, так как RoS может быть определено, а SoR нет. Также как и не всегда имеет смысл равенство R -1 oR=RoR -1 = I A .
Замыкание отношений
Понятие замыкания является фундаментальным математическим понятием и используется в большинстве разделов математики. Проиллюстрируем это понятие на общем примере: возьмем объект x 0 и процесс P, который, будучи примененный последовательно, порождает некоторое множество и, значит, определяет последовательность x 1 , x 2 , ..., x n , ... так, что x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),... 
Определение 1: множество, содержащее все элементы всех последовательностей, которые могут быть получены при помощи процесса P и начинающиеся с x 0 , называется замыканием процесса P относительно x 0 .
Ясно, что результат будет заключаться в нахождении Р n (x 0) при некотором n. Это n мы заранее не знаем, оно зависит от самого процесса. Более того, если мы возьмем элемент y из этого замыкания и будем применять к нему процесс р, то не получим ничего нового. То есть множество таким путем расширено быть не может - оно замкнуто!
Пример : Возьмем квадрат S, обозначенный ABCD и рассмотрим процесс r, заключающийся в повороте квадрата по часовой стрелке на 90°:
| |
| |
| |
| |
| |
Пусть отношение A задано на некотором множестве. Тогда:
Определение 2: Транзитивным замыканием отношения A на данном множестве называется отношение A + :
Таким образом, из не транзитивного отношения A на некотором множестве можно построить транзитивное A + .
Примеры:
1. r - отношение на N
: r={(x, y)| y=x+1}, тогда r + ={(x, y)| x 2. s на Q
: s={(x, y)| x 3. t наQ
: t={(x, y)| x×y=1}, тогда r + ={(x, x)| x¹0} 4. Пусть L - множество станций лондонского метро; L={a, b, c} последовательные станции. N={(x, y)| y следует за x}.Значит (a, b), (b, c) ÎN; кроме того (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) Î N 2 . Значит, N + =L´L Вообще говоря, транзитивное замыкание не является рефлексивным (пример 2). Пусть A - отношение на X. Положим A 0 =I X . Определение 3:
Рефлексивным замыканием А*
отношения A называют отношение Примеры:
1. r*={(x, y)| x£y} Часто используют инфиксную форму записи: . Если отношение определено на множестве, то возможно следующее определение: Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы
и частично упорядоченные множества. Для определены свойства: Рефлексивность
(англ. reflexivity
): ; Отношение R
на множестве Х
называется рефлексивным,
если о каждом элементе множества Х
можно сказать, что он находится в отношении R
с самим собой: хRх.
Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения. Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др. Антирефлексивность
(англ. irreflexivity
): ; Отношение R
на множестве Х
называется антирефлексивным
, если для любого элемента из множества Х
всегда ложно хRх:.
Симметричность
(англ. symmetry
): ; Отношение R
на множестве Х
называется симметричным
,
если выполняется условие: из того, что элемент х
находится в отношении с элементом y
, следует, что и элемент y
находится в отношении R
с элементом х: xRyyRx .
Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др. Антисимметричность
(англ. antisymmetry
): ; Отношение R
называют антисимметричным
, если для любых элементов х
и y
из истинности xRy
следует ложность yRx: : xRyyRx.
Транзитивность
(англ. transitivity
): ; Отношение R на множестве Х
называют транзитивным,
если из того, что элемент х
находится в отношении R
с элементом y,
а элемент y
находится в отношении R
с элементом z
, следует, что элемент х
находится в отношении R
с элементом z
: xRy
и yRzxRz.
Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а
длиннее отрезка b
, отрезок b
длиннее отрезка с
, то отрезок а
длиннее отрезка с.
Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)(а=с).
Связность (англ. connectivity
): ; Отношение R
на множестве Х
называется связанным,
если для любых элементов х
и y
из данного множества выполняется условие: если х
и y
различны, то либо х
находится в отношении R
с элементом y
, либо элемент y
находится в отношении R
с элементом х
. С помощью символов это определение
можно записать так: xyxRy
или yRx.
Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x. Ассимметричность
(англ. assymetric relation
): . Выделяются следующие виды отношений: квазипорядка (англ. quasiorder
) - рефлексивное транзитивное; эквивалентности (англ. equivalence
) - рефлексивное симметричное транзитивное; Отношение R
на множестве Х
называется отношением эквивалентности,
если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности. Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными). В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х
разбилось на три подмножества: {; ;
}, {; },
{}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х
, т.е. имеем разбиение множества на классы. Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.
частичного порядка (англ. partial order
) - рефлексивное антисимметричное транзитивное; Бинарное отношение
на множественазывается отношением частичного порядка
(англ. partial order relation
Рефлексивность
(англ. reflexivity
): . Антисимметричность
(англ. antisymmetry
): еслии, то. Транзитивность
(англ. transitivity
): еслии, то. «больше или равно» и «меньше или равно» - нестрогого, причем линейного порядка, но не полного. Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка. строгого порядка (англ. strict order
) - антирефлексивное антисимметричное транзитивное; Бинарное отношение
на множественазывается строгим отношением частичного порядка
(англ. strict order relation
), если оно обладает следующими свойствами: Антирефлексивность
(англ. irreflexivity
): - не выполняется. Антисимметричность
(англ. antisymmetry
): еслии, то. Транзитивность
: (англ. transitivity
) еслии, то. На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка линейного порядка (англ. total order
) - полное антисимметричное транзитивное; Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел. Бинарное отношение
на множественазывается отношением линейного порядка
(англ. total order relation
), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: либо, либо. доминирования (англ. dominance
) - антирефлексивное антисимметричное. толерантности Отношением толерантности (или просто толерантностью) на множестве X называется бинарное отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности
и симметричности
, но не обязательно являющееся транзитивным. Таким образом, отношение эквивалентности является частным случаем толерантности. В отличие от отношения эквивалентности, дающего разбиение множества элементов, на котором оно определено, на непересекающиеся подмножества, отношение толерантности даёт покрытие этого множества. Отношение толерантности используется, например, также при классификациях информации в базах знаний. На содержательном уровне толерантность означает следующее. Любой объект неразличим сам с собой (свойство рефлексивности), а сходство двух объектов не зависит от того, в каком порядке они сравниваются (свойство симметричности). Однако, если один объект сходен с другим, а этот другой - с третьим, то это вовсе не значит, что все три объекта схожи между собой (таким образом, свойство транзитивности может не выполняться). Отношение толерантности часто используется для описания отношения сходства между реальными объектами, отношений знакомства или дружбы между людьми. Во всех этих случаях свойство транзитивности не предполагается обязательно быть выполненным. В самом деле, Иванов может быть знаком с Петровым, Петров - с Сидоровым, но при этом Иванов и Сидоров могут быть незнакомы между собой. Толерантным также будет и отношение на множестве слов, при котором оно задаётся как наличие хотя бы одной общей буквы. В этом случае, например, в отношении находятся пересекающиеся слова кроссворда. Примеры отношений Примеры рефлексивных отношений
: равенство, одновременность, сходство. Примеры нерефлексивных отношений
: «заботиться о», «развлекать», «нервировать». Примеры транзитивных отношений
: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее». Примеры симметричных отношений
: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства). Примеры антисимметричных отношений
: больше, меньше, больше или равно. Примеры асимметричных отношений
: отношение «больше» (>) и «меньше» (<). Бинарное отношение
на множественазывается отношением эквивалентности
(англ. equivalence binary relation
), если оно обладает следующими свойствами: Рефлексивность
: . Симметричность
: если, то. Транзитивность
: еслии, то. Отношение эквивалентности обозначают символом. Запись видачитают как "эквивалентно" Отношение равенства
() является тривиальным примером отношения эквивалентности на любом множестве. Отношение равенства по модулю
: на множестве целых чисел. Отношение параллельности
прямых на плоскости. Отношение подобия
фигур на плоскости. Отношение равносильности
на множестве уравнений. Отношение связности
вершин в графе. Отношение быть одного роста
на множестве людей. Система непустых подмножеств множестваназывается разбиением
(англ. partition
) данного множества, если: Множества называются классами
данного разбиения. Если на множестве M задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности
такое, что: любые два элемента одного класса находятся в отношении любые два элемента разных классов не находятся в отношении Семейство всех классов эквивалентности множества образует множество, называемое фактор-множеством
, или факторизацией
множества по отношению, и обозначаемое. Равенство
- классический пример отношения эквивалентности на любом множестве. Арифметику остатков лучше всего вводить с помощью отношения эквивалентности. Поскольку такие отношения будут играть важную роль как в этой главе, так и далее, стоит подробно разобрать это базисное понятие. Пусть X - конечное или бесконечное множество. Отношением на X называется правило, по которому «сравниваются» его элементы. Это неформальное определение, но его вполне достаточно для наших целей. Заметим, что для определения отношения мы должны четко задать само множество; другими словами, нам должно быть ясно, какие элементы нужно сравнивать. Рассмотрим несколько примеров. На множестве целых чисел есть много простых отношений, вроде «равно», «не равно», «меньше, чем», «меньше или равно». На множестве цветных мячей у нас есть отношение «тот же цвет». Последний пример, ввиду своей конкретности, хорош для запоминания в качестве модельного случая. Кстати, мы предполагаем, что каждый мяч из множества окрашен только в один цвет, пестрые мячи мы не рассматриваем. Отношение эквивалентности - это отношение весьма специфичного вида. Возвращаясь к общим определениям, предположим, что X - множество, в котором было определено отношение. Удобно зафиксировать какой-нибудь символ для обозначения эквивалентности, обычно употребляют значок «~». С этого момента «~» будет отношением эквивалентности, если для всех выполнены следующие свойства: Первое свойство называется рефлексивностью. Оно говорит, что когда мы имеем отношение эквивалентности, любой элемент эквивалентен сам себе. Это свойство верно для равенства целых чисел: любое целое число равно самому себе. Но оно не выполнено для отношения Поэтому на множестве не является отношением эквивалентности. Второе свойство называется симметричностью. Отношение на множестве целых чисел не симметрично. Действительно, в то время как неравенство ложно. С другой стороны, отношение на рефлексивно, но не симметрично. Третье - свойство транзитивности. На множестве целых чисел отношения «равно», «меньше, чем», «меньше или равно», - транзитивны. А вот «не равно» этим свойством не обладает. Действительно, и но из этих неравенств не следует Добавим, что симметрично, но не рефлексивно. Мы предусмотрительно привели примеры отношений, которые не удовлетворяют этим свойствам, потому что это единственный путь к пониманию их действительного смысла. Именно владение примерами и контрпримерами обеспечивает успех в усвоении новых понятий. В примерах отношения эквивалентности нет недостатка. Равенство целых чисел, очевидно, удовлетворяет всем свойствам, выписанным выше. Отношение «тот же цвет» на множестве цветных мячей - еще один простой и, пожалуй, самый яркий пример. Среди примеров отношения эквивалентности на множестве многоугольников находятся такие отношения, как «одинаковое число сторон» и «одна и та же площадь». Отношение эквивалентности используют для классификации элементов данного множества, группируя их в подмножества по принципу схожести свойств. Естественное разбиение множества, индуцированное отношением эквивалентности, называется разбиением на классы эквивалентности. Пусть на множестве X задано отношение эквивалентности и х - элемент этого множества. Классом эквивалентности элемента х называется подмножество в X, состоящее из всех элементов, эквивалентных х относительно Обозначив класс эквивалентности элемента х символом х, можно записать: Приведем простой пример. Обозначим символом М множество цветных мячей с отношением эквивалентности «тот же цвет». Класс эквивалентности красного мяча в М состоит из всех красных мячей, содержащихся в М. Одно из свойств классов эквивалентности настолько важно, что мы назовем его основным принципом классов эквивалентности. Принцип гласит, что любой элемент класса эквивалентности - хороший представитель всего класса. Иначе говоря, зная один элемент из класса эквивалентности, можно немедленно восстановить этот класс полностью. Этот факт бросается в глаза, когда мы имеем дело с множеством М цветных мячей и отношением «тот же цвет». Предположим, Вам говорят, что в картонной коробке находятся все элементы одного класса эквивалентности множества М. Увидев один элемент из этого множества (допустим, это синий мяч), Вы немедленно заключаете, что в коробке лежит класс эквивалентности всех синих мячей М. Проще и быть не может! Вернемся к абстрактному множеству X с отношением эквивалентности Основной принцип говорит, что если у - элемент из класса эквивалентности х, то классы эквивалентности х и у совпадают. То же самое можно выразить короче: Докажем это непосредственно из определяющих свойств отношения эквивалентности. Если то, по определению класса эквивалентности, Ввиду симметричности, Но если то и Тогда свойство транзитивности влечет Мы доказали включение: . Похожее рассуждение доказывает обратное включение: Вероятно, это все может показаться несколько педантичным. Но основной принцип - такой источник неразберихи и ошибок, что нам не стоит жалеть усилий на прояснение его точного смысла. Кроме того, полезно осознать, что он непосредственно следует из определения отношения эквивалентности. Кстати о педантичности: вы поняли, что свойство вытекает из рефлексивности? Основной принцип приводит к важнейшему свойству отношения эквивалентности. Как и раньше, пусть X - множество с отношением эквивалентности тогда (1) X - объединение своих классов эквивалентности относительно и (2) два разных класса эквивалентности не могут иметь общего элемента. Первое утверждение следует из часто упоминаемого факта: класс эквивалентности элемента содержит сам этот элемент. Для доказательства второго предположим, что элементы Так как то по основному принципу Аналогично Так что у. Заметим, что свойства (1) и (2) означают, что множество X разбито на непересекающиеся подмножества, классы эквивалентности. Другими словами, мы имеем дело с разбиением множества Множество, составленное из классов эквивалентности множества X относительно отношения эквивалентности имеет специальное название: фактормножество X по отношению Отметим, что элементы фактормножества - это подмножества в Поэтому фактормножество не является подмножеством в X, будьте внимательны! Закончим этот параграф примером, в котором проявляется наконец истинная природа дробей. Из чего состоит дробь? Когда Вы на нее смотрите, то видите два числа, одно из которых (знаменатель) должно быть ненулевым. Конечно, Вы ее, вероятно, воспринимаете как частное. Но если на Вас надавить, Вы можете попытаться выбрать более легкий выход и сказать, что дробь в действительности - пара чисел, одно из которых не равно нулю. Однако, такое определение некорректно. В математике две пары равны, если они имеют одинаковые первый и второй элементы. Так, пары (2,4) и (1,2) неравны. Но дроби 2/4 и 1/2 равны; так что дроби - не пары чисел. Что же такое дроби? Это элементы фактормножества! Рассмотрим множество пар целых На стандартном жаргоне Две пары и целых чисел можно теперь называть эквивалентными, если Легко проверить, что это отношение эквивалентности, а дробь - класс эквивалентности множества относительно этого отношения. Следовательно, означает не пару а бесконечное множество всех пар из эквивалентных Итак, множество рациональных чисел - это фактормножество множества по только что определенному отношению эквивалентности. Представьте себе на минуту, что Вы до сих пор ничего о дробях не слышали и Вам придется исходить из описания, сделанного выше. Если Вам теперь скажут, что нужно вычислять с дробями, Вы почувствуете, что имеете вескую причину для паники: Вы же только что выучили, что дробь - это бесконечное множество. Мысль о прибавлении к одному бесконечному множеству другого бесконечного множества внушает легкое беспокойство. Именно в этот момент приходит на помощь основной принцип. Вам не нужно заботиться о бремени всего бесконечного множества; нужно знать только один элемент из него. Этот элемент расскажет Вам обо всем, что необходимо знать о целом классе эквивалентности. Более того, Вас устроит любой элемент класса. Итак, Вы можете оперировать с 1/2 как обычно, так же, как если бы это была пара чисел. Вы вспоминаете, что дробь - это класс эквивалентности, только когда (в процессе вычислений) оказывается, что дробь можно сократить. В этот момент вы заменяете одного представителя класса эквивалентности на другой для упрощения вычислений. Зачем мы сделали такое длинное отступление о дробях? В следующем параграфе определятся отношение эквивалентности на множестве а фактормножество этого отношения играет абсолютно фундаментальную роль в этой книге. Как и в случай дробей, классы эквивалентности будут бесконечны, а нам предстоит делать вычисления с ними. Но теперь Вы знаете, что нет причин для волнения. I. Разбиение на классы. Отношение эквивалентности Определение 2.1. Назовем взаимозаменяемыми те и только те объекты некоторого данного множества М, которые обладают одним и тем же набором формальных признаков, существенных в данной ситуации. Обозначим через М х -множество всех объектов, взаимозаменяемых с объектом х. Очевидно, что х М х и объединение всех М х (при всевозможных х из М) совпадает совсем множеством М: Предположим, что. Это значит, что существует некоторый элемент z, такой, что он одновременно принадлежит и и. Значит x взаимозаменяем с z и z взаимозаменяем с у. Следовательно, х взаимозаменяем с у, а значит и с любым элементом из. Таким образом. Аналогично показывается и обратное включение. Таким образом, встречающиеся в объединении (2.1) множества либо не пресекаются, либо целиком совпадают. Определение 2.2. Систему непустых подмножеств {M 1 , M 2 ,….} множества М мы будем называть разбиением этого множества, если Сам множества при этом называются классами разбиения. Определение 2.3. Отношение с на множестве М называется эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует такое разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М такое, что (х, у) выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения. Пусть {M 1 , M 2 ,….} разбиение множества М. Определим, исходя из этого разбиения, отношение с на М: (х, у),если х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения. Очевидно, что отношение с является эквивалентностью. Назовем с отношением эквивалентности, соответствующим данному разбиению. Определение 2.4. Если в каждом подмножестве M i выбрать содержащийся в нем элемент х i , то этот элемент будем называть эталоном для всякого элемента у, входящего в тоже множество M i . По определению, положим выполненным отношение с* «быть эталоном» (х i , у) Легко видеть, что эквивалентность с, соответствующая данному разбиению, может быть определена и так: (z, у) если z и у имеют общий эталон (х i , z) и (х i , у). Пример 2.1: Рассмотрим в качестве М множество целых неотрицательных чисел и возьмем его разбиение на множество М 0 четных чисел и множество М 1 - нечетных. Соответствующее отношение эквивалентности на множестве целых чисел обозначается так: и читается: n сравнимо с m по модулю 2. В качестве эталонов естественно выбрать 0 - для четных чисел и 1 - для нечетных. Аналогично, разбивая то же множество М на k подмножеств M 0 , M 1 ,… M k-1 , где M j состоит из всех чисел, дающих при делении на k в остатке j, мы придем к отношению эквивалентности: которое выполняется, если n и m имеют одинаковые остатки при делении на k. В качестве эталона в каждом M j естественно выбрать соответствующий остаток j. II. Фактор-множество Пусть - отношение эквивалентности. Тогда по теореме, существует разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М на классы эквивалентных друг другу элементов - так называемые классы эквивалентности. Определение 2.5. Множество классов эквивалентности по отношению обозначают М/ и читают фактор-множество множества М по отношению. Пусть ц: M > S - сюрьективное отображение множества М на некоторое множество S. Для всякого ц: M > S - сюрьективного отображения существует такое отношение эквивалентности на множестве М, что М/ и S могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. III. Свойства эквивалентности Определение 2.6. Отношение с на множестве М называется эквивалентностью (отношением эквивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Теорема 2.1: Если отношение с на множестве М рефлексивно, симметрично и транзитивно, существует такое разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М такое, что (х, у) выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения. Обратно: Если задано разбиение {M 1 , M 2 ,….} и бинарное отношение с задано как «принадлежать к общему классу разбиения», то с рефлексивно, симметрично и транзитивно. Доказательство: Рассмотрим рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение с на М. Пусть для любого состоит из всех таких z, для которых (x, z) с Лемма 2.1: Для любых x и y либо либо Из леммы и рефлексивности отношения с следует, что множества вида образуют разбиение множества М. (Это разбиение естественно назвать разбиением, соответствующим исходному отношению). Пусть теперь (x, y) с. Это значит, что y. Но и х в силу (x, х) с. Следовательно, оба элемента входят в. Итак, если (x, y) с, то х и у входят в общий класс разбиения. Наоборот, пусть uи v. Покажем, что (u, v) с, Действительно, имеем (x, u) с и (x, v) с. Отсюда по симметричности (u, x) с. По транзитивности из (u, x) с и (x, v) с следует (u, v) с. Первая часть теоремы доказана. Пусть дано разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М. Т.к. объединение всех классов разбиения совпадает с М, то любой хвходит в некоторый класс. Отсюда следует, что (x, х) с, т.е. с - рефлексивно. Если x и y входят в некоторый класс, то y и x входят в тот же класс. Это означает, что из (x, y) с вытекает (y, x) с, т.е. отношение симметрично. Пусть теперь выполнено (x, y) с и (y, z) с. Это означает, что x и y входят в некоторый класс, а y и z входят в некоторый класс. Классы имеют общий элемент у, а, следовательно, совпадают. Значит x и z входят в класс, т.е. выполняется (x, z) с и отношение транзитивно. Теорема доказана. IV. Операции над эквивалентностями. Определим здесь некоторые теоретико-множественные операции над эквивалентностями и приведем без доказательств их важные свойства. Вспомним, что отношение - это пара (), где М - множество элементов, вступающих в отношение, а - множество пар, для которых отношение выполнено. Определение 2.7. Пересечением отношений (с 1 , М) и (с 2 , М) назовем отношение, определенное пересечением соответствующих подмножеств. (x, y) с 1 с 2 тогда и только тогда, когда одновременно (x, y) с 1 и (x, y) с 2 . Теорема 2.2: Пересечение с 1 с 2 эквивалентностей с 1 с 2 само является отношением эквивалентности. Определение 2.8. Объединением отношений (с 1 , М) и (с 2 , М) назовем отношение, определенное объединением соответствующих подмножеств. (x, y) с 1 с 2 тогда и только тогда, когда (x, y) с 1 или (x, y) с 2 . Теорема 2.3: Для того, чтобы объединение с 1 с 2 эквивалентностей с 1 с 2 само по себе было отношением эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы с 1 с 2 =с 1 с 2 Определение 2.9. Прямой суммой отношений (с 1 , М 1) и (с 2 , М 2) называется отношение). Прямая сумма обозначается (с 1 , М 1) (с 2 , М 2). Таким образом, если (с 1 , М 1) (с 2 , М 2)= (), то M=. Теорема 2.4: Если, а отношения - эквивалентности, то прямая сумма отношений (с 1 , М 1) (с 2 , М 2)= (), также является эквивалентностью. V. Типы отношений Введем еще несколько важных типов отношений. Примеры будут приведены в третьей главе. Определение 2.10. Отношение с на множестве М называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично. Определение 2.11. Отношение с на множестве М называется отношением строгого порядка если оно антирефлексивно и транзитивно. Определение 2.12. Отношение строгого порядка с называется совершенным строгим порядком, если для всякой пары элементов x и y из М верно либо (х, у), либо (у, х) Определение 2.13. Отношение с на множестве М называется отношением нестрогого порядка если оно может быть представлено в виде: где строгий порядок на М, а Е -диагональное отношение.
. То есть 
.
