Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок - для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби - это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.
Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.
Числовая дробь (или просто дробь) - это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.
Дроби, записанные через горизонтальную черту:
Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.
Обычно дроби записываются через горизонтальную черту - так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу - знаменателем.
Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, 12 = 12/1 - получилась дробь из приведенного выше примера.
Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение - знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»
Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.
Основное свойство дроби
Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .
Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, 1/2 = 2/4 , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, 1/3 ≠ 5/4 , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.
Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:
Основное свойство дроби - числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.
Это очень важное свойство - запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.
Неправильные дроби. Выделение целой части
Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.
Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):
Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:
- Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае - равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
- Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае - ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
- Знаменатель переписываем без изменений.
Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться - и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:
Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:
Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления - зеленым.
Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24: 6 = 4 - суровый факт из таблицы умножения.
Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.
Переход к неправильной дроби
Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.
Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:
- Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
- Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
- Переписать знаменатель - опять же, без изменений.
Вот конкретные примеры:
Задача. Переведите в неправильную дробь:
Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби - зеленым.
Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:
В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.
Сделать это очень просто, если вспомнить правила:
- «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе - положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
- «Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их - никаких дополнительных действий не требуется.
Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего - в числитель).
Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем - с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:
Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.
Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».
Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные - и лишь затем приступают к вычислениям.
имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.Запомните!
У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.
Любая неправильная дробь всегда больше правильной.
Как выделить целую часть
У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:
- разделить с остатком числитель на знаменатель;
- полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
- остаток записываем в числитель дроби;
- делитель записываем в знаменатель дроби.
| 11 |
| 2 |
Запомните!
Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом .
Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби .
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:
- умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
- к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
- записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.
Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.
Урок математики в 4 классе тема: Выделение целой части из неправильной дроби Тема урока: Выделение целой части из неправильной дроби. Дидактическая цель: создать условия для формирования новой учебной информации. Цели и задачи урока: 1. Сформировать понятие смешанного числа. 2.Сформировать умение выделять целую часть из неправильной дроби. 3. Развивать вычислительные навыки. 4. Развивать умение анализировать и решать текстовые задачи на нахождение части от числа и числа по его части. 5. Развивать логическое мышление учащихся. Планируемые результаты обучения, формирования УУД: Предметные: расширять понятие числа, формировать умения по переводу неправильных дробей в смешанные числа и применять полученные знания и умения при выполнении различных заданий. Метапредметные: развивать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни. Познавательные УУД: развивать представления о числе; умение работать с учебником, дополнительными источниками информации (анализировать, извлекать необходимую информацию); умение делать обобщение, выводы, устанавливать причинноследственные связи. Коммуникативные УУД: воспитывать уважение друг к другу, развивать умение вступать в учебный диалог с учителем, с одноклассниками, соблюдая нормы речевого поведения, умение задавать вопросы, слушать и отвечать на вопросы других, умение выдвигать гипотезу. Регулятивные УУД: определять цель задания, учиться планировать этапы работы, контролировать свои действия, обнаруживать и исправлять ошибки, критически оценивать результаты своей работы и работы всех, исходя из имеющихся критериев, формировать способность к мобилизации сил и энергии, к преодолению препятствий. Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, инициативность, развивать навыки грамотной устной и письменной математической речи, способность к самооценке своих действий. Ресурсы: мультимедийный проектор, презентация. Тип урока: изучение нового материала. Этап урока Деятельность учителя Деятельность ученика Организацион ный момент Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. . Включаются в деловой ритм урока. Используемые методы, приемы, формы Словесные Формируемые УУД Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Умение слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД). Как вы поняли из прочитанного, сегодня на уроке мы продолжим работу над дробями. Ребята, на уроке вы должны открыть новые знания, но, как известно, каждые новые знания связаны с тем, что мы уже изучили. Поэтому, начнём мы с повторения. Устный счёт Актуализац ия знаний и умений Практические Ответы записывают в столбик, проверяем ответы по слайдам. на уроке проговаривать Уметь последовательность действий (Регулятивные УУД). Уметь преобразовывать информацию из одной формы в другую (Познавательные УУД) .Уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме (Коммуникативное УУД). Блиц опрос: Какими правилами вы пользовались когда: 1.Находили сумму дробей. 2.Находили разность дробей. 3.Находили число по части. 4.Находили часть по числу. Рассказывают правила. Участие в беседе с учителем. Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя (Познавательные УУД). Умение слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД). Целеполагани е и мотивация 3. Постановка проблемы Словесные Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Уметь ориентироваться в. . своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью (Познавательные учителя УУД). Дети высказывают варианты свои решений. 4. «Формулирование проблемы и цели урока Выделите из этой дроби целую часть. Что предлагаете? Как вы думаете, какую же цель урока мы поставим? Формулируется цель урока и тема учащимися. Цель: Научиться выделять целую часть из неправильной дроби Словесные, практические Уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на (Познавательные уроке УУД). Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь (Коммуникативные других УУД). Итак, любую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа. Целая часть - это натуральное число, а дробная часть правильная дробь. . . Составление алгоритма. Словесно наглядно практический, репродуктивный анализ на работать уроке проговаривать по Уметь коллективно составленному плану (Регулятивные УУД). Уметь последовательность действий (Регулятивные УУД). Уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД) Уметь последовательность действий (Регулятивные УУД). Уметь выполнять работу по предложенному плану (Регулятивные УУД). проговаривать уроке на Усвоение новых знаний и способов усвоения 5.Открытие нового: Объяснение на доске. Запишите дробь 16/5 в виде частного Какое правило использовали, чтобы из неправильной дроби выделить целую часть Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо: разделить с остатком числитель на знаменатель; полученное неполное частное записать в Уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок (Регулятивные УУД). Способность к самооценке на критерия успешности учебной деятельности (Личностные УУД). основе целую часть дроби; остаток записать в числитель дроби; делитель записать в знаменатель дроби. 16:5=3(ост. 1)) 3 – целое число 1 – числитель 5 – знаменатель 16/5 = 3 1/5 Чтение правила в учебнике на С. 26, №3 – у доски 1 пример с объяснением. Остальные с комментированием. №4(а,б,в) – самостоятельно. Взаимопроверка. m целое, n и b части В дроби всегда целое это числитель. Ребята говорят правило чтобы найти целое нужно умножить 6.Формулирование нового знания. Подтвердим своё высказывание правилом в учебнике. 7. Первичное закрепление 8. Физкультминутка 9. Повторение изученного Запись на доске: m/n = b Выделите где в дроби целое и части? Как найти целое? Применяя правило, решим уравнение. части С. 28, задача10. Какие дополнительные вопросы можно поставить? С. 27, №8 – у доски (а,б,в) – решают 3 ученика. Остальные решают в парах (г). Проверка Разбор задачи. Самостоятельная запись решения. Отвечая на вопросы, анализируют свою работу на уроке Подведение итогов урока Словесный, анализ 10. Итог урока: Чему учились на уроке? Выделять целую часть из неправильной дроби. Словесно наглядный К какому выводу пришли? надо Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть её числитель разделить на знаменатель, частное будет целой частью, остаток числителем, а делитель знаменателем дроби. А сейчас проверим себя, как вы этому научились. Выполняют самостоятельно. (взаимопроверка). Информация о домашнем задании Рефлексия 11. Домашнее задание: C. 26, №4 (г,д,е), выучить правило на с. 26 и с. 28 №11 Если вы считаете, что вы поняли тему сегодняшнего урока, то раскрасте листочек зелёным карандашом. что не Если вы считаете, достаточно усвоили материал жёлтым. Если вы считаете, что вы не поняли тему сегодняшнего урока красным. Самооценка Уметь оценивать правильность выполнения действия уровне адекватной ретроспективной оценки. (Регулятивные УУД). на основе Способность к самооценке критерия на успешности учебной деятельности (Личностные УУД).
Конспект урока в 5 классе
«Смешанные числа. Выделение целой части из неправильной дроби»
Ход урока
Организационный момент. Приветствие.
Устный счет мы проведем и рекорды все побьем
Устный счет.
Найди ошибки
Правильные дроби.
б)
Выпишем на доске то, что не можем пока сравнивать.
2. Выполнить деление:
45: 9=5 ; 0: 67=0; 234: 1=234;
567: 567=1; 34:17=2; а:а=1;
3. Выполнить деление с остатком:
6 = 2 (ост. 2)
3 = 8 (ост. 1)
48: 9 = 5 (ост. 3)
Выполните действия:
Последний пример мы не можем решить, выпишем его.
Объяснение нового материала
Что показано на рисунке? На сколько частей разделили торт? Сколько частей взяли? Представьте в виде дроби.
Что на данном рисунке? Видно, что торт на разных подносах. Сколько частей на первом подносе? Втором?
Можно обозначить в виде такого числа:
1 – целая часть, - дробная часть.
Сумма целой и дробной части называется смешанным числом .
Определи по рисунку, какое смешанное число равно дроби?
Т. е. мы увидели связь между неправильной дробью и смешанным числом.
Сделаем выводы: мы можем превратить неправильную дробь в смешанное число, т.е. как говорят в математике, выделить целую часть из неправильной дроби.
Правило выделения целой части из неправильной дроби:
Разделить с остатком числитель на знаменатель
Неполное частное будет целой частью
Остаток дает числитель, а делитель - знаменатель дробной части
Работа по теме урока.
Выдели целую часть из неправильной дроби (вместе с классом):
Выдели целую часть из неправильной дроби (у доски)
Сравни
Исторические сведения.
В старину на Руси использовались монеты достоинством меньше одной копейки:
грош - к. и полушка - к.
Другие монеты тоже имели названия:
3 к. – алтын, 5 к. – пятак, 15 к. – пятиалтынный,
10 к. – гривенник, 20 к. двугривенный,
25 к. – четвертак, 50 к. – полтинник.
Самостоятельная работа
Как можно представить
1 гривенник, 1 алтын, три полушки .
Рефлексия
Какое у вас настроение?
Напишите дробь, которая наиболее соответствует вашим знаниям:
2 (ничего не понятно)
2 (было интересно, но непонятно)
3 (трудно, тема не интересная)
3 (было трудно, но я обязательно приложу усилия в изучения темы)
4 (некоторые примеры вызвали трудности)
4 (понятно все, но помочь не смогу)
5 (все понятно, могу помочь другим)
Я надеюсь, что ваша оценка будет только увеличиваться с каждым уроком! А что бы получить оценку 5, нужно работать не только в классе, но и дома.
Домашнее задание.
§ 1 Выделение целой части из неправильной дроби
В этом уроке Вы научитесь переводить неправильную дробь в смешанное число с помощью выделения целой части, а также наоборот получать из смешанного числа неправильную дробь.
Для начала вспомним, что такое смешанное число и неправильная дробь.
Смешанное число - это особая форма записи числа, которая содержит целую и дробную части.
Неправильная дробь - это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.
Рассмотрим задачу:
Разделим 8 конфет на троих ребят. Сколько достанется каждому?
Чтобы узнать, сколько конфет получит каждый ребенок, надо
Но в ответе не принято записывать неправильную дробь. Ее предварительно заменяют либо равным ей натуральным числом (когда числитель делится нацело на знаменатель), либо проводят так называемое выделение целой части из неправильной дроби (когда числитель не делится нацело на знаменатель).
Выделение целой части из неправильной дроби - это замена дроби равным ей смешанным числом.
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. При этом неполное частное будет являться целой частью, остаток - числителем, а делитель - знаменателем.
Вернемся к задаче.
Итак, 8 разделим на 3 с остатком, получим в неполном частном 2 и в остатке 2.
§ 2 Представление смешанного числа в виде неправильной дроби
Давайте выполним следующее задание:
Разделим 49 на 13, получаем в неполном частном 3 (это будет целой частью) и в остатке 10 (это запишем в числитель дробной части).
Для выполнения различных действий со смешанными числами оказывается полезным навык представления смешанных чисел в виде неправильных дробей. Пришло время разобраться, как осуществляется такой перевод.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно знаменатель дроби умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель. В результате мы получим число, которое будет являться числителем новой дроби, а знаменатель остается без изменения.
Первый шаг - умножим целую часть 5 на знаменатель 7, получим 35.
Второй шаг - к полученному произведению 35 прибавим числитель 4, будет 39.
Теперь запишем 39 в числитель, а в знаменателе оставим 7.
Таким образом, на этом уроке Вы научились переводить неправильную дробь в смешанное число, для этого нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Тогда неполное частное будет являться целой частью, остаток - числителем, а делитель - знаменателем дробной части смешанного числа.
Также Вы познакомились с представлением смешанного числа в виде неправильной дроби. Для того, чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби нужно знаменатель дробной части смешанного числа умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель.
Список использованной литературы:
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
- Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
- Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009