3.1 Среднеарифметическая погрешность. Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения.
Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение:
Средней абсолютной ошибкой называется среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений:
Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом:
| (5) |
где абсолютная погрешность a ср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для а ср оставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .
Относительная погрешность. Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением.
Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность.
Средней относительной погрешностью или просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины:
Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах.
3.2 Погрешность метода или приборная погрешность. Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов.
Погрешность метода или приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения.
Класс точности прибора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению
Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины.
Относительная погрешность прибора (по определению):
 | (10) |
откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому рекомендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы.
При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление).
Приборную погрешность косвенных измерений можно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения):
1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами.
2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной.
При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных:
| (11) | |
 | (12) |
Абсолютные ошибки непосредственных измерений могут иметь знаки "плюс" или "минус", но какой именно - неизвестно. Поэтому при определении погрешностей рассматривается наиболее невыгодный случай, когда ошибки прямых измерений отдельных величин имеют один и тот же знак, то есть абсолютная ошибка имеет максимальное значение. Поэтому при расчете приращений функции f(x 1 ,x 2 ,…,х n) по формулам (11) и (12) частные приращения должны складываться по абсолютной величине. Таким образом, используя приближение Dх i ≈ dx i , и выражения (11) и (12), для бесконечно малых приращений Dа можно записать:
 | (13) |
 | (14) |
Здесь: а - косвенно измеряемая физическая величина, то есть определяемая по расчетной формуле, Dа - абсолютная ошибка ее измерения, х 1 , х 2 ,...х n ; Dх 1, Dx 2 ,..., Dх n , - физические величины прямых измерений и их абсолютные ошибки соответственно.
Таким образом: а) абсолютная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей произведений частных производных функции измерения и соответствующих абсолютных ошибок прямых измерений; б) относительная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей дифференциалов от логарифма натурального функции измерения, определяемой расчетной формулой.
Выражения (13) и (14) позволяют рассчитать абсолютные и относительные погрешности по одноразовому измерению. Заметим, что для сокращения расчетов по указанным формулам достаточно рассчитать одну из погрешностей (абсолютную или относительную), а другую рассчитать, используя простую связь между ними:
| (15) |
На практике чаще пользуются формулой (13), так как при логарифмировании расчетной формулы произведения различных величин преобразуются в соответствующие суммы, а степенные и показательные функции преобразуются в произведения, что намного упрощает процесс дифференцирования.
Для практического руководства по расчету погрешности косвенного метода измерения можно пользоваться следующим правилом:
Чтобы вычислить относительную ошибку косвенного метода измерения, нужно:
1. Определить абсолютные ошибки (приборные или средние) прямых измерений.
2. Прологарифмировать расчетную (рабочую) формулу.
3. Принимая величины прямых измерений за независимые переменные, найти полный дифференциал от полученного выражения.
4. Сложить все частные дифференциалы по абсолютной величине, заменив в них дифференциалы переменных соответствующими абсолютными ошибками прямых измерений.
Например, плотность тела цилиндрической формы вычисляется по формуле:
 | (16) |
где m, D, h - измеряемые величины.
Получим формулу для расчета погрешностей.
1. Исходя из используемого оборудования, определяем абсолютные погрешности измерения массы, диаметра и высоты цилиндра (∆m, ∆D, ∆h соответственно).
2. Логарифмируем выражение (16):
3. Дифференцируем:
4. Заменяя дифференциал независимых переменных на абсолютные ошибки и складывая модули частных приращений, получаем:
5. Используя численные значения m, D, h, D, m, h , рассчитываем Е.
6. Вычисляем абсолютную ошибку
где r рассчитано по формуле (16).
Предлагаем самим убедиться, что в случае полого цилиндра или трубки с внутренним диаметром D 1 и внешним диаметром D 2
К расчету ошибки метода измерения (прямого или косвенного) приходится прибегать в случаях, когда многократные измерения либо невозможно провести в одних и тех же условиях, либо они занимают много времени.
Если определение погрешности измерения является принципиальной задачей, то обычно измерения проводят многократно и вычисляют и среднеарифметическую погрешность и погрешность метода (приборную погрешность). В окончательном результате указывают большую из них.
О точности вычислений
Ошибка результата определяется не только неточностями измерений но и неточностями вычислений. Вычисления необходимо проводить так, чтобы их ошибка была на порядок меньше ошибки результата измерений. Для этого вспомним правила математического действия с приближёнными числами.
Результаты измерений – приближённые числа. В приближённом числе все цифры должны быть верными. Последней верной цифрой приближённого числа считается такая цифра, ошибка в которой не превышает одной единицы её разряда. Все цифры от 1 до 9 и 0, если он стоит в середине или в конце числа, называются значащими. В числе 2330 - 4 значащих цифры, а в числе 6,1×10 2 – только две, в числе 0,0503 – три, так как нули слева от пятёрки незначащие. Запись числа 2,39 означает, что верны все знаки до второго после запятой, а запись в 1,2800 – что верно также и третий и четвёртый знаки. В числе 1,90 три значащих цифры и это значит, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые и сотые, а в числе 1,9 – только две значащих цифры и это значит, что мы учитывали целые и десятые и точность этого числа в 10 раз меньше.
Правила округления чисел
При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасываются.
1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля.
Например, различные округления числа 35,856 будут: 35,9; 36.
3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее чётное число, то есть, последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная и увеличивается на единицу, если она нечётная.
Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,365 округляем до 0,36.
Лабораторная работа № 1.
Расчет погрешностей емкости с помощью коэффициента Стьюдента.
Расчет погрешности измерения мощности и сопротивления
Цели занятия:
Общеобразовательная – Умение решать задачи по теме погрешности.
Развивающая - Углубление знаний.
Воспитательная – Проверить сформированность качеств знаний.
Теоретическая часть
Отклонение результата измерения от истинного измеряемой величины называют погрешностью измерения.
Абсолютная погрешность измерения ΔА равна разности между результатом измерения Ах и истинным значением измеренной величины А:
ΔА = Ах – А (1)
Действительная относительная погрешность представляет собой отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины, выраженное в процентах:
(2)
Номинальная относительная погрешность , равная отношению абсолютной погрешности к измеренному значению исследуемой величины,
т.е. к показанию прибора
(3)
Приведенная относительная погрешность измерения представляет собой отношение абсолютной погрешности измерения к максимальному значению измерительного прибора
(4)
Для приборов с двухсторонней шкалой А макс определяется как сумма абсолютных величин положительного и отрицательного пределов измерения.
Если шкала начинается не с нуля, а с какого-то минимального значения, то А макс равно разности между конечным и начальным значениями шкалы.
Случайными называются погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности нельзя исключить опытным путем, т. к. они возникают случайно. Для того, чтобы исключить случайные погрешности производят неоднократные измерения и определяют среднее арифметическое из полученных значений, определяемое как
,
где а 1 , а 2 , …, а n – результаты отдельных измерений;
n – число измерений.
Для оценки точности результата измерений необходимо знать закон распределения случайных погрешностей, таким законом является нормальный закон Гаусса. Среднее квадратическое отклонение может быть выражено через случайные отклонения результатов наблюдения Р:
где Р 1 = а 1 – А ср; Р 2 = а 2 – А ср; Р n = а n – А ср.
Этот способ определения доверительных интервалов справедлив толко для больших количеств измерений (20-30). Для небольшого количества измерений для определения доверительного интервала нужно пользоваться коэффициентами Стьюдента t n , которые зависят от задаваемой доверительной вероятности Р и количества измерений n.
Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность 
надо умножить на коэффициент Стьюдента. Окончательный результат измерения можно записать так:
А = Аср 
t n
Задача 1. Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результат измерения, емкость конденсатора С измерялась многократно в одинаковых условиях (таблица 1). Считая, что случайные погрешности имеют нормальный закон распределения, определить на основании заданного количества измерения (табл. 1, табл. 2):
Действительное значение измеряемой емкости;
Среднюю квадратическую и максимальную погрешности однократного измерения;
Доверительный интервал для результата измерения при доверительной вероятности Р д (табл.3).
Имеется ли систематическая составляющая в погрешности измерения емкости и с какой доверительной вероятностью ее можно оценить, если принять в качестве действительного значения емкости значения С ср (таб.1, таб.2).
Таблица 1
Таблица 2
Примечание. Количество и номера наблюдений значений емкости для каждого варианта определяются данными таблицы 1 и 2, например для варианта 1 следует взять результаты измерений 1-3 табл.2.
Указания к решению
Для удобства выполнения и проверки расчетов по заданию целесообразно представить промежуточное вычисление в виде таблицы
Таблица 3
| наблюдения | Сi – Cср, пФ | (Сi – Cср) 2 , пФ |
||
| Сумма Сi, пФ | Сумма Сi – Cср, пФ | Сумма (Сi – Cср) 2 , пФ |
Задание 2. . Используя формулы (1-7 примера) произвести расчет абсолютной и относительной погрешностей измерения мощности и сопротивления. Расчет выполняется в соответствии с вариантами указанными в задании.
Задача 1. Для определения сопротивления резистора и мощности, выделяемой на этом сопротивлении, измерены напряжение и ток. Зная основные параметры измерительных приборов (амперметра и вольтметра), определить ошибку косвенных измерений мощности и сопротивления.
Пример. Определить абсолютную и относительную погрешности измерения мощности, выделяемой на резисторе, если известны показания вольтметра класс точности Кв = 2,5, номинальное значение Umax = 150 В, показание 120 В и амперметра – класс точности К А = 1,0, номинальное значение шкалы 10 М А, показания 6 М А.
Решение:
Определяем мощность Р = U * I (Вт)
Абсолютная ошибка измерения напряжения, В
Абсолютная ошибка измерения тока, М А
В соответствии с таблицей абсолютная ошибка измерения мощности, Вт
Относительная ошибка
Примечание:
Для вычисления погрешностей измерения мощности используются формулы 1,2,3,4,
Для вычисления погрешностей измерения сопротивления используются формулы 2,3,5,6,7.
Формулы для выполнения контрольной работы и письменного экзамена по предмету «Электрические измерения»
1.Абсолютная погрешность измерения
ΔА = Ах – А
2. Действительная относительная погрешность
3 Номинальная относительная погрешность
4.Приведенная относительная погрешность
Сопротивление шунта
R Ш = R А / Р-1 (Ом)
6 .Добавочное сопротивление
R ДОБ = R V * (Р-1) (Ом)
Коэффициент трансформации по току:
8 Коэффициент трансформации по напряжению:
9 . Ток сети:
I C = K i * I (А)
Напряжение сети:
U C = K U * U (В)
Активная мощность сети:
P C = K i * K U *P (Вт)
Реактивная мощность сети:
Q = U*I* sinφ (Вар)
Полная мощность сети:
14. Полное сопротивление сети:
Z C = U C / I C (Ом)
15 Коэффициент мощности:
Cosφ = P C / S C
Номинальная постоянная счетчик а:
С НОМ = W НОМ / N НОМ (Вт*с/об)
Действительная постоянная счетчика:
С = (U*I*t / N) (Вт*с/об)
18 Поправочный коэффициент:
К= С / С НОМ
Относительная погрешность счетчика
Β = [(С НОМ – С) /C НОМ ] * 100%
Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.
Случайные погрешности при прямых измерениях
Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:
Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:
.
Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:
(2)
называется средней абсолютной погрешностью .
Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:
.
(3)
Приборные погрешности при прямых измерениях
Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).
Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).
Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:
Например:
и
,
где U max и I max – предел измерения прибора.
Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.
После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.
Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).
Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:
X = f(a ,b ,c …).
Одним из способов
вычисления погрешности является способ
дифференцирования натурального логарифма
функции Х = f(a
,
b
,
c
…).
Если, например, искомая величина Х
определяется соотношением Х =
,
то после логарифмирования получаем:lnX
= lna
+ lnb
+ ln(c
+
d
).
Дифференциал этого выражения имеет вид:
.
Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:
=
.
(4)
Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:
Х = Х(5)
Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:
1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.
2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.
3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:
X = f(a ,b ,c …).
4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).
5)
Рассчитывают относительную погрешность
=
.
6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).
7) Окончательный результат записывают в виде:
|
Х = Х ср Х |
Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:
|
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a+ b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a+ b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Оценка погрешностей результатов измерений Погрешности измерений и их типыЛюбые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т. д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т. е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131.gif" width="85" height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью
(ошибкой) измерения, а выражение Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной. Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки. Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т. д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов. Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т. д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта. Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора. Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т. п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности. 2. Оценка систематической (приборной) погрешности При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм. Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ. Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52.gif" width="123" height="24 src=">используется формула
где https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">, - частные производные функции по переменной https://pandia.ru/text/77/496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">. Частные производные по переменным d и h будут равны Https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">. Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с имеет следующий вид
где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра 3. Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал и доверительная вероятность https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка. Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений. Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле
где https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17">- среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений. Чем больше число измерений, тем меньше https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">, а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ , используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического . Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса. Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α Таблица 1. Пользуясь данными таблицы, можно: 1) определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью; 2) выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность. При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции
Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений. Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата. Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей
где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность. В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина. , α=…, Е=… (7) Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12. Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки. 4. Методика расчета погрешностей измерений. Погрешности прямых измерений При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций. Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и результаты записываются в таблицу. Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то они как промахи отбрасываются, если после проверки не подтверждаются. Вычисляется среднее арифметическое из n одинаковых измерений. Оно принимается за наиболее вероятное значение измеряемой величины Находятся абсолютные погрешности отдельных измерений Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений (Δх i)2 Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического
Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α=0,95. Находится коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см. табл.) Определяется случайная погрешность Определяется суммарная погрешность Оценивается относительная погрешность результата измерений
Записывается окончательный результат в виде С α=… Е=…%. 5. Погрешность косвенных измерений При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">, можно использовать два способа. Первый способ
используется, если величина y
определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения. Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений..gif" width="75" height="24">. В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y. Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле
Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y. Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, с α=… Е=…%. 6. Пример оформления лабораторной работы Лабораторная работа №1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело. Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений. Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту. Расчетная формула для вычисления объема цилиндра где d – диаметр цилиндра; h – высота. Результаты измерений Таблица 2.
В этой теме буду писать что-то вроде краткой шпаргалки по погрешностям. Опять же, данный текст ни в коей мере не официальный и ссылаться на него недопустимо. Буду признателен за исправление любых ошибок и неточностей, которые могут быть в этом тексте. |
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.
, (1)
,
, (3)
вычисляют по формуле
. (5)
, (6)
.
.
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений yi
; .
; Е = 0,5%.
Графики, как правило, выполняются на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической, полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т. е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Следует иметь в виду, что пересечение 
Экспериментальные точки на графике должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные при различных условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить разными цветами или разными значками. Если известна погрешность эксперимента, то вместо точки лучше изображать крест или прямоугольник, размеры которого по осям соответствуют этой погрешности. Не рекомендуется соединять экспериментальные точки между собой ломаной линией. Кривую на графике следует проводить плавно, следя за тем, чтобы экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой, как показано на рис.3.
При построении графиков помимо системы координат с равномерным масштабом применяют так называемые функциональные масштабы. Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при подборе к данному графику формулы для определения его параметров. Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб (рис.4).
или 
мм 
мм 
мм. Здесь лишний знак
и в погрешности, и в результате. Правильно будет мм. 
. Вам необходимо посчитать погрешность разброса, посчитать приборную погрешность и сложить их вместе.
