Каждый предмет или явление обладает некими свойствами (признаками).
Получается, что составить понятие об объекте означает, прежде всего, умение отличить его от других сходных с ним объектов.
Можно сказать, что понятие - это мысленное содержание слова.
Понятие - это форма мысли, отображающая предметы в их наиболее общих и существенных признаках.
Понятие - это форма мысли, а не форма слова, так как слово лишь метка, которой мы помечаем ту или иную мысль.
Слова могут быть различны, но при этом обозначать одно и то же понятие. По-русски - «карандаш», по-английски - «pencil», по-немецки - bleistift. Одна и та же мысль в разных языках имеет разное словесное выражение.
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.
Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, называются СРАВНИМЫМИ («адвокат» и «депутат»; «студент» и «спортсмен»).
В противном случае, понятия считаются НЕСРАВНИМЫМИ («крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).
Если кроме общих признаков понятия имеют и общие элементы объёма, то они называются СОВМЕСТИМЫМИ .
Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).
| ВИД ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ | ИЗОБРАЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА |
| РАВНОЗНАЧНОСТЬ (ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ) Объёмы понятий полностью совпадают. Т.е. это понятия, которые различаются по содержанию, но в них мыслятся одни и те же элементы объёма. | 1) А - Аристотель В - основатель логики 2) А - квадрат В - равносторонний прямоугольник |
| ПОДЧИНЕНИЕ (СУБОРДИНАЦИЯ) Объём одного понятия полностью входит в объём другого, но не исчерпывает его. | 1) А - человек В - студент 2) А - животное В - слон |
| ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (ПЕРЕКРЕЩИВАНИЕ) Объёмы двух понятий частично совпадают. То есть понятия содержат общие элементы, но и включают элементы, принадлежащие только одному из них. | 1) А - юрист В - депутат 2) А - студент В - спортсмен |
| СОПОДЧИНЕНИЕ (КООРДИНАЦИЯ) Понятия, не имеющие общих элементов, полностью входят в объём третьего, более широкого понятия. | 1) А - животное В - кот; С - собака; D - мышь 2) А - драгоценный металл В - золото; С - серебро; D - платина |
| ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (КОНТРАРНОСТЬ) Понятия А и В не просто включены в объём третьего понятия, а как бы находятся на его противоположных полюсах. То есть, понятие А имеет в своём содержании такой признак, которых в понятии В заменён на противополжный. | 1) А - белый кот; В - рыжий кот (коты бывают и чёрными и серыми) 2) А - горячий чай; холодный чай (чай может быть и тёплым) Т.е. понятия А и В не исчерпывают всего объёма понятия, в которое они входят. |
| ПРОТИВОРЕЧИЕ (КОНТРАДИКТОРНОСТЬ) Отношение между понятиями, одно из которых выражает наличие каких-либо признаков, а другое - их отсутствие, то есть просто отрицает эти признаки, не заменяя их никакими другими. | 1) А - высокий дом В - невысокий дом 2) А - выигрышный билет В - невыигрышный билет Т.е. понятия А и не-А исчерпывают весь объём понятия, в которое они входят, так как между ними нельзя поставить никакое дополнительное понятие. |
Упражнение : Определите вид отношений по объёму приведённых ниже понятий. Изобразите их с помощью кругов Эйлера .
1) А - горячий чай; В - холодный чай; С - чай с лимоном
Горячий чай (В) и холодный чай (С) - находятся в отношении противоположности.
Чай с лимоном (С) может быть как горячим,
так и холодным, но может быть и, например, тёплым.
2) А - деревянный; В - каменный; С - строение; D - дом.
Всякое ли строение (С) - дом (D)? - Нет.
Всякий ли дом (D) - строение (С)? - Да.
Что-то деревянное (А) обязательно ли дом (D) или строение (С) - Нет.
Но можно найти деревянное строение (например, будка),
также можно найти деревянный дом.
Что-то каменное (В) не обязательно дом (D) или строение (С).
Но может быть и каменное строение, и каменный дом.
3) А - российский город; В - столица России;
С - Москва; D - город на Волге; Е - Углич.
Столица России (В) и Москва (С) - один и тот же город.
Углич (Е) является городом на Волге (D).
При этом, Москва, Углич, как и любой город на Волге,
являются российскими городами (А)
Если Вы считаете, что ничего не знаете о таком понятии, как круги Эйлера, то вы глубоко заблуждаетесь. Еще из младшей школы известны схематические изображения, или кружки, позволяющие наглядно осмыслить взаимоотношения между понятиями и элементами системы.
Метод, придуманный Леонардом Эйлером, использовался ученым для решения сложных математических задач. Кругами он изображал множества и сделал эту схему основой такого понятия, как символическая . Метод призван максимально упростить рассуждения, направленные на решении той или иной задачи, именно поэтому методика активно используется как в младшей школе, так и в академической среде. Интересно, что подобный подход был ранее использован немецким философом Лейбницем, а позже был подхвачен и применен в различных модификациях известными умами в области математики. Например, прямоугольные схемы чешского Больцано, Шредера, Венна, известного созданием популярной диаграммы, основанной на этом простом, но удивительно действенном методе.
Круги являются основой так называемых «наглядных интернет мемов», которые основаны на схожести признаков отдельных множеств. Забавно, наглядно, а главное понятно.
Круги мысли
Круги позволяют наглядно описать условия задачи и мгновенно принять верное решение, или выявить направление движение в сторону правильного ответа. Как правило, круги Эйлера используются для решения логико-математических задач, связанных с множествами, их объединениями или частичными наложениями. В пересечение кругов попадают объекты, обладающие свойствами каждого из изображенных кружком множеств. Объекты, не вошедшие в множество, находятся за пределами того или иного круга. Если понятия абсолютно равнозначны, они обозначаются одним кругом, представляющим собой объединение двух множеств, имеющих равные свойства и объемы.
Логика взаимосвязей
Используя круги Эйлера, вы можете решить ряд бытовых задач и даже определиться с выбором будущей профессии, стоит лишь проанализировать свои возможности и желания и выбрать их максимальное пересечение.
Теперь становится ясно, что круги Эйлера вовсе не абстрактное математическое и философское понятие из разряда теоретических знаний, они имеют весьма прикладное и практическое значение, позволяя разобраться не только с простейшими математическими проблемами, но и решить важные жизненные дилеммы наглядным и понятным каждому способом.
При решении многих задач, связанных с множествами, незаменимым оказывается приём, основанный на использовании так называемых «кругов Эйлера». Эти диаграммы впервые появились в работах одного из величайших математиков в истории Леонарда Эйлера, который в течение продолжительного времени жил и работал в России и был членом Петербургской академии наук. Использование кругов Эйлера добавляет наглядности при решении сложных задач, делая многие вещи буквально очевидными. Предлагаю вам в этом убедиться самостоятельно на примере решения следующей задачи.
Пример решения задачи с помощью кругов Эйлера
Тут нужно понимать, что если сказано, что «42 человека используют метро», то это вовсе не означает, что кроме метро они не используют никаких других видов транспорта. Кто-нибудь из них может быть и использует. Может быть ещё какой-то один вид транспорта, трамвай или автобус. А может и сразу оба! Вопрос задачи как раз и состоит в том, чтобы посчитать людей, которые используют все три вида транспорта.
С первого взгляда даже непонятно, с чего начинать решение. Но если немного поразмыслить, становится ясно, что действовать нужно по следующему алгоритму. Будем стараться расписать всех людей (58 человек) через известные из условия данные. Нам известно, что автобус используют 44 человека. Прибавим к этому количество людей, которые используют метро. Их всего 42 человек. С помощью кругов Эйлера эту операцию можно изобразить наглядно в следующем виде:
То есть пока что мы имеем дело с выражением 58 = 44 + 42… Знак «…» означает, что выражение ещё не закончено. Проблема в том, что мы посчитали людей на пересечении этих кругов дважды. Соответствующая область на диаграмме выделена тёмно-зелёным цветом. Поэтому один раз их нужно вычесть. Это люди, которые пользуются автобусом и метро. Их, как известно, 31. То есть наше «неоконченное» выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31… И на диаграмме при этом пропадает тёмно-зелёный цвет:
Пока всё хорошо. Прибавляем теперь людей, которые ездят на трамвае. Таких людей 32. Выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31 + 32… Диаграмма с кругами Эйлера, в свою очередь, становится следующей:
К счастью в незакрашенной области как раз и находятся те люди, число которых нам нужно посчитать. Действительно, эти бедняги используют ежедневно все три вида транспорта для того, чтобы добраться до работы, ведь они находятся на пересечении всех трёх множеств. Обозначим количество этих бедолаг за . Тогда диаграмма примет следующий вид:
А уравнение станет следующим:
Расчёты дают . Это и есть ответ к задаче. Столько людей используют все три вида транспорта каждый день, чтобы добраться на работу.
Вот такое вот простое решение. Фактически, в одно уравнение. Просто удивительно, не правда ли?! А теперь представьте, как пришлось бы решать эту задачу без использования кругов Эйлера. Это было бы настоящее мучение. Так что в очередной раз убеждаемся, что любые методы визуализации чрезвычайно полезны при решении задач по математике. Используйте их, это поможет вам в решении сложных задач как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах по математике в лицеи и вузы.
Чтобы проверить, хорошо ли вы поняли решение данной задачи, ответьте на следующие вопросы:
- Сколько человек используют только один вид транспорта для того, чтобы добраться до работы?
- Сколько человек используют для этого ровно два вида транспорта?
Свои ответы и варианты решения присылайте в комментариях.
Материал подготовил , Сергей Валерьевич
Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка не раз с ними сталкивались, просто не знали, как это называется. Где именно? Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (растиражированных в сети изображений на определенную тему).
Давайте вместе разберемся, что же это за круги, почему они так называются и почему ими так удобно пользоваться для решения многих задач.
Происхождение термина
– это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.
Пока не очень понятно, верно? Посмотрите на этот рисунок:
На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.
Ну что, так стало понятнее? Именно поэтому круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.
Автор метода - ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он так и говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки.
До него подобным принципом при построении своих умозаключений руководствовался немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц.
Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.
Свою лепту внес также немецкий математике Эрнест Шредер. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом в логике и издал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свой вариант метода (использовал преимущественно изображения пересечений множеств).
Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна.
Зачем нужны круги Эйлера?
Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.
Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале статьи.
А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:
Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.
Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:
Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.
Решение задач с помощью кругов Эйлера
Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.
Вот на этом сайте - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и несложные задачи, для решения которых потребуется метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем одну из них.
Задача про любимые мультфильмы
Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».
Решение:
Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:
Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:
Выходит, что:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:
мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.
А еще давайте рассмотрим задачу , которая в 2011 году была вынесена на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).
Условия задачи:
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» - символ «&».
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.
| Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
| Крейсер | Линкор | 7000 |
| Крейсер | 4800 |
| Линкор | 4500 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор ?
Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Решение:
При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.
Опираясь на условия задачи, составим уравнения:
- Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
- Крейсер: 1 + 2 = 4800
- Линкор: 2 + 3 = 4500
Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:
4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.
Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:
2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.
Ответ: 2300 - количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.
Как видите, круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.
Заключение
Полагаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.
Вам еще наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера нашли отражение не только в виде мемов, но и в популярных сериалах. Таких, как «Теория большого взрыва» и «4исла».
Используйте это полезный и наглядный метод для решения задач. И обязательно расскажите о нем друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.