Кафедра «Высшей математики»
Выполнил: Матвеев Ф.И.
Проверила: Бурлова Л.В.
Улан-Удэ.2002
1.Численные методы интегрирования
2.Вывод формулы Симпсона
3.Геометрическая иллюстрация
4.Выбор шага интегрирования
5.Примеры
1. Численные методы интегрирования
Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла
Посредством ряда значений подынтегральной функции .
Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.
Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.
Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.
Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции полиномом степени . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.
Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции сплайном-кусочным полиномом.
В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.
Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.
суммарная погрешность
погрешность усечения
погрешность округления
Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества
разбиений отрезка . Однако при этом возрастает погрешность округления
за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.
Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.
2. Вывод формулы Симпсона
Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.
Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с в точках :
Проинтегрируем :
и называется формулой Симпсона.
Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и параболой, проходящей через точки
Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке существуют непрерывные производные 
. Составим разность
К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку непрерывна на и функция неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором (то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:
(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция; ).
Дифференцируя дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для другое выражение:
, где 
Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:
Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , 
,..., применяют формулу Симпсона, именно:
Запишем формулу Симпсона в общем виде:
Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:
, (3)
Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.
Например, для функции форма трапеции при для дает точный результат , тогда как по формуле Симпсона получаем
3. Геометрическая иллюстрация
 |
На отрезке длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки ,
. Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми, принимают равной интегралу.
Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.
Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.
(4)
Это формула Симпсона «трех восьмых».
Для произвольного отрезка интегрирования формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем ( точек).
, m=2,3,... (5)
Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков:
(6)
Количество отрезков разбиения;
Степень используемого полинома;
Производная -го порядка в точке ;
Шаг разбиения.
В таблице 1 выписаны коэффициенты . Каждая строка соответствует одному набору промежутков узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.
Таблица 1:
Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде: (7),
где - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции;
h - шаг интегрирования;
p - порядок метода.
Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.
(8) - апостериорная оценка. Тогда Iуточн.= +Ro (9), уточненное значение интеграла .
Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом , то есть:
из системы трех уравнений:
с неизвестными I,А и p получаем:
Из (10) следует 
(11)
Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла и, вычисляемые по методу трапеции с шагами и , связаны соотношением:
Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами и , справедливы соотношения:
,
(13)
4. Выбор шага интегрирования
Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона:
Если ê ê, то ê ê
.
По заданной точности e метода интегрирования из последнего неравенства определяем подходящий шаг.
, 
.
Однако такой способ требует оценки (что на практике не всегда возможно). Поэтому пользуются другими приемами определения оценки точности, которые по ходу вычислений позволяют выбрать нужный шаг h.
Разберем один из таких приемов. Пусть
,
где - приближенное значение интеграла с шагом . Уменьшим шаг в два раза, разбив отрезок на две равные части и ().
Предположим теперь, что меняется не слишком быстро, так что почти постоянна: . Тогда 
и 
, откуда 
, то есть 
.
Отсюда можно сделать такой вывод: если 
, то есть если , , а - требуемая точность, то шаг подходит для вычисления интеграла с достаточной точностью. Если же , то расчет повторяют с шагом и затем сравнивают и и т.д. Это правило называется правилом Рунге.
Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость от обратно пропорциональная) и при достаточно малых может оказаться больше погрешности метода. Если превышает , то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение .
При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что . Если имеется только таблица значений , то проверку «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.
Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами, причем . Вычисление значений . Тогда 
(14).
За меру точности метода Симпсона принимают величину:
5. Примеры
Пример 1. Вычислить интеграл по формуле Симпсона, если задана таблицей. Оценить погрешность.
Таблица 3.
Решение: Вычислим по формуле (1) при и интеграл .
По правилу Рунге получаем Принимаем .
Пример 2.
Вычислить интеграл 
.
Решение: Имеем . Отсюда h==0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.
Таблица 4.
Вычисление интеграла по формуле Симпсона
| y0=1,00000; -0,329573ê£ 3. Оценки для погрешности метода Симпсона: £ 0.0000017 для =0.1, £ 0.0000002 для =0.05. Чтобы погрешность округления не искажала столь точный результат для формулы Симпсона, все вычисления проводились с шестью знаками после запятой. Окончательные результаты: |
Разобьем отрезок интегрирования [а , b ] на четное число n равных частей с шагом h . На каждом отрезке [х 0, х 2], [х 2, х 4],..., [x i-1, x i+1],..., [x n-2, x n] подынтегральную функцию f (х ) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
Коэффициенты этих квадратных трехчленов можно найти из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки 
:
Сумму элементарных площадей и (рис. 3.3) можно вычислить с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем
- 
Рис. 3.3. Иллюстрация к методу Симпсона
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
(3.35)
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол .
Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а , b ] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. разд. 3.2.6).
Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид
(3.36)
Легко видеть, что формула (3.36) совпадет с (3.35), если формулу (3.35) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h /2.
Пример . Вычислить по методу Симпсона интеграл
Значения функции при n = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3. Применяя формулу (3.35), находим
Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).
Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона показан на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а , b ],погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (x ) .
Рис. 3.4. Алгоритм метода Симпсона
Первоначально отрезок разбивается на две части с шагом h =(b - a)/2. Вычисляется значение интеграла I 1. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение I 2 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде . Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.
Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не используются значения функции f (x ), уже найденные на предыдущем этапе. Более экономичные алгоритмы будут рассмотрены в разд. 3.2.7.
Отрезок интегрирования
разобьем на четное число элементарных
отрезков равной длины точкамис шагом
(
).
На каждом отрезке
подынтегральную функцию аппроксимируем
многочленом второй степени, которая на
этом отрезке имеет вид
.
Заметим, чтоi
принимает здесь только нечетные значения
от 1 до
.
Таким образом, подынтегральная функция
аппроксимируется совокупностью
квадратных многочленов или сплайном
второй степени.
Вычислим произвольный интеграл из правой части.
Коэффициенты
,
и
могут быть найдены из условия интерполяции,
то есть из уравнений
,
Заметим, что точка
является серединой отрезка
,
следовательно
.
Подставим это выражение во второе
уравнение интерполяции:
.
Умножим это уравнение на 4 и сложим с остальными:
Последнее выражение в точности совпадает с выражением, стоящим в квадратных скобках формулы (5.1). Следовательно,
А значит,
Таким образом, формула Симпсона имеет вид:
Оценка погрешности квадратурных формул.
Оценим погрешность
при использования метода средних
прямоугольников в предположении, что
функция
бесконечно дифференцируема.
Разложим
подынтегральную функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки
,
.
Последний ряд содержит лишь нечетные степени x . Тогда
При малой величине
шага h
основной вклад в погрешность R
будет вносить величина
,
называемая главным членом погрешностиR
.
Применим метод
средних прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh
.
Тогда
.
Итак,
,
где
– постоянная величина. Погрешность в
приближенном равенстве
есть величина бесконечно малая высшего
порядка по сравнению с
при
.
Степень шага h , которой пропорционален остаток R , называется порядком точности метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок точности.
Оценим погрешность
при использовании метода трапеций также
в предположении, что функция
бесконечно дифференцируема.
Разложим
подынтегральную функцию в ряд Тейлора
в окрестности точки
(
).
Главный член погрешности R :
.
Применяя метод
левых прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh
,
получаем
.
Итак, метод трапеций также имеет второй порядок точности.
Аналогично можно показать, что методы левых и правых прямоугольников имеют первый, метод Симпсона – четвертый порядок точности.
Лекция 17.
«Правило Рунге практической оценки погрешности.
Понятие об адаптивных алгоритмах.
Особые случаи численного интегрирования.
Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов.»
Правило Рунге практической оценки погрешности.
Пусть некоторый
метод интегрирования имеет порядок
точности k
,
то есть
,
где
– погрешность,A
– коэффициент, зависящий от метода
интегрирования и подынтегральной
функции, h
– шаг разбиения. Тогда
а при шаге
,
Выведенная формула называется первой формулой Рунге. Она имеет большое практическое значение. Если нужно вычислить интеграл с точностью , то мы должны вычислять приближенные значения интеграла, удваивая число элементарных отрезков, пока не добьемся выполнения неравенства
Тогда, пренебрегая бесконечно малыми величинами, можно считать, что
Если мы хотим
получить более точное значение искомого
интеграла, то за уточненное значение J
мы можем принять вместо
сумму
.
Это вторая формула
Рунге. К сожалению, погрешность этого
уточненного значения остается
неопределенной, но обычно она на порядок
выше, чем точность первоначального
метода (когда за значение J
мы принимаем
).
Для примера рассмотрим метод трапеций. Как было показано выше, порядок точности k этого метода равен 2.
где
.
По второй формуле Рунге
где
есть приближенное значение интеграла
найденное методом Симпсона с шагом.
Так как порядок этого метода равен 4, то
в данном примере применение второй
формулы Рунге увеличило порядок точности
на 2.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Уже в 10 классе я задумываюсь о том, мне нужно будет сдавать профильный ЕГЭ по математике. Решая задания ЕГЭ, я столкнулся с заданиями на нахождение объема многогранников и тел вращения, хотя это задания из программы 11 класса. Заинтересовавшись этим вопросом, я узнал, что в связи с многообразием геометрических фигур тел существует огромное количество формул для нахождения площадей и объёма (на каждуюфигуруи каждое тело приходится своя формула). Рассматривая формулы по геометрии, я убедился, что огромное количество формул связано с площадями и объемами фигур. Таких формул более двенадцати по площадям плоских фигур и более десяти по объемам пространственных тел.
И я задался вопросом : а существует ли такая универсальная формула для нахождения площади и объёма геометрических фигур и тел?
Я считаю тему данного проекта актуальной не только среди учащихся, но и среди взрослых, т.к. школьная программа со временем забывается, и мало кому известно о том, что существует такая формула, которая объединила в себе все другие многочисленные и тяжело запоминающие формулы для нахождения объёма.
Проблема
Необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
Гипотеза
В XYIII веке английский математик Томас Симпсон вывел формулу для нахождения некоторых площадей плоских фигур и объемов пространственных тел через вычисление площадей нижнего, верхнего и среднего основания.
Я предполагаю, что данная универсальная формула позволит заменить все названные формулы и позволит легко их запомнить.
Цель работы: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии и ей можно пользоваться не только на практике, но и на экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.
Задачи работы:
Изучить основные характеристики геометрических тел стереометрии: призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара;
Изучить имеющуюся литературу по данной теме.
Используя универсальную формулу, вывести формулы площадей и объемов для всех фигур и тел.
Сравнить полученные формулы с формулами, предлагаемыми в учебнике.
Ознакомить учащихся старших классов с этой формулой и выяснить с помощью анкетирования, удобно ли применять её при подготовкек экзаменам.
Практическая значимость моей работы: Результаты данной работы могут иметь применение в школьной практике, а именно использоваться на занятиях по геометрии и алгебре, при подготовке и сдаче ЕГЭ.
Глава 1 Краткие характеристики свойств геометрических тел
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. С 7 по 9 класс я изучал свойства фигур на плоскости, в том числе и формулы для нахождения их площадей (Приложение 1-2).
В курсе 10 класса я начал изучать раздел геометрии-стереометрия, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. При написании работы, я рассмотрел геометрические тела и их поверхности. Объёмные геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.
Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Тела вращения - геометрические тела, полученные путём вращения вокруг своей оси. Тела вращения: цилиндр, конус, шар.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклые многогранники - расположены по одну сторону от плоскости каждой грани. Невыпуклые многогранники - расположены по обе стороны от плоскости хотя бы одной грани.
Пирамида
Параллелепипед
Глава 2. Формула Симпсона
Томас Симпсон (20 августа1710 - 14 мая1761) - английскийматематик. В 1746 году Симпсон избран в членыЛондонского королевского общества, а ранее - в члены основанного в 1717 году в Лондоне Математического общества. В 1758 избран иностранным членомШведской королевской академии наук. Назначенный профессором вКоролевскую военную академиювВулидже, Симпсон составил учебники поэлементарной математике. В особых отделахгеометриирассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии,правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи.
Замечательная формула существует; более того: она пригодна не только для вычисления объема цилиндра, полного конуса и усеченного конуса, но также и для всякого рода призм, пирамид полных и усеченных и даже для шара, а так же для вычисления площадей плоских фигур. Вот эта формула, известная в математике под названием формулы Симпсона:
где b 1 - площадь (длина) нижнего основания
b 2 - площадь (длина) среднего основания
b 3 - площадь (длина) верхнего основания
2.1 Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур.
Наша универсальная формула.b 1 = b 2 =b 3 , тогда получаем:
Ответ: S= hb 1
Вывод. Действительно, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Универсальная формула.
Так какАВСД-трапеция, то b 2 -ее средняя линия, значит
Тогда получаем:
Вывод. Действительно, площадь трапеции равна половине произведения двух оснований на высоту.
Проведя аналогичные доказательства (Приложение 3-4) для формул площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и ромба, я пришел к выводу, что универсальная формула Симпсона подошла для вычисления площадей таких плоских фигур как: параллелограмм, трапеция, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник.
2.2. Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов пространственных тел.
Так какb 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:
Ответ: V=b 1 h
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 6.
Вывод. Действительно, объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема цилиндра (Приложение 5)
Решение:Так как b 1 =0, а,то тогда получаем:
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 9.
Вывод. Действительно, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема пирамиды (Приложение 5)
Тогда получаем:
Вывод. Выведенная формула полностью совпадает с формулой, предложенной в учебнике
Задача 6. Объем шара.
Дано: шар
b 3 - площадь верхнего основании
Найти: Vшара.
(Рис. 11.Шар)
Так какb 1 =b 3 =0, h=2R
Тогда получаем:
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 10
Вывод: Формулы объемов всех пространственных тел, изучаемые в 11-м классе, также легко выводятся с помощью универсальной формулы Симпсона.
2.3 Практическое применение формулы
Следующим этапом моего исследования является практическое применение (см.Приложение 11-12)
Вывод. Объемы для каждой модели геометрических тел, найденные двумя способами, оказались равны. Формула Симпсона универсальна для таких тел, как пирамида, цилиндр, шар, куб и конус.
Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус. Зная плотности различных пород древесины, можно вычислить вес дерева на корню. Я решил эту задачу с помощью вычисления объема ствола, как объем цилиндра, диаметр основания которого равен диаметру ствола посредине длины: при этом результат получается, однако, преуменьшенный, иногда на 12 %. Без большой ошибки можно принимать объем дерева на корню половину объема цилиндра той же высоты с диаметром, равным поперечнику дерева на высоте груди.
Проделав расчеты, по известным нам ранее формулам, я вычислил объем ствола дерева на корню (см. Приложение 13)
Вывод. Из всего исследования можно сделать вывод о том, что я располагаю формулой, по которой можно приближённо вычислить объём ствола дерева и, зная плотность различных пород древесины, можно определить вес дерева на корню.
Глава 3. Анкетирование учащихся
3.1 Исследование и опрос
Среди учащихся 11-х классов я провел исследование (см.Приложение 13).
Цель исследования: определение количества формул, которые учащиеся могут воспроизвести без повторения за 10 минут, т.е. объема «остаточных» формул.
Результаты оказались следующими (см.Приложение 14):
Наибольшее количество воспроизведенных формул - 41, наименьшее - 5. Учитывая то, что количество формул могло достигать 500 за неограниченное время, я пришел к выводу, что огромное количество формул, изучаемых в школе, учащиеся не помнят. Воспроизведенные формулы составляют лишь 8,2 % от общего количества изученных формул. Чаще всего учащиеся воспроизводили формулы по алгебре (формулы тригонометрии, логарифмические формулы, формулы сокращенного умножения, формула корней квадратного уравнения, производные); по геометрии (формулы площадей плоских фигур, некоторые объемы пространственных тел); несколько формул по физике (формула кинетической энергии, силы тяжести, силы трения и МКТ); по информатике () Это было естественно, т.к. в математике формул больше, чем в любой другой науке.
Увидев полученные результаты, я решил определить причины столь низкого результата. Мною был проведен опрос (см. приложение 14-15) учащихся 11-х классов, в котором предлагалось ответить на следующие вопросы:
Вопросы анкеты.
Как Вы считаете, сколько примерно формул должен знать выпускник школы?
А) зазубривание
Б) понимание
В) метод ассоциаций
Г) другое
Результаты оказались следующими (см.Приложение 15).
Вопрос 1. От 60 до 250 формул
Вопрос 2 . Из полученных ответов можно сделать вывод, что учащиеся 11-х классов при заучивании формул стараются их понять или применяют зазубривание.
Вопрос 3. Мнение учащихся по данному вопросу разошлись, хотя по диаграмме видно, что в основном отвечали «да», т.е. учащиеся считают, что количество формул для запоминания соответствуют уровню памяти среднего ученика.
Вопрос 4 .Почти все учащиеся 11-х классов хотели бы использовать вместо множества формул только одну - универсальную.
3.2 Тестирование
Теперь я знаю, что формула Симпсона действительно универсальна, и её вполне можно применять в жизни. Но действительно ли она так необходима? Чтобы ответить на этот вопрос, я представил формулу на уроке 11 классу, после чего провел тестирование (см. приложение 16-17), и получил следующие результаты:
Тест № 1
23% признались, что им трудно запомнить все формулы.
17% сказали, что выучить все формулы им не составляет труда, в том числе и формулу Симпсона.
60% учащихся применяли формулу Симпсона у некоторых геометрических тел, и она им помогла в решении задач.
Тест № 2
100% утверждают, что формула Симпсона запоминается им легко.
0% признались, что испытывают некоторые трудности в её запоминании.
Тест № 3
76% будут применять эту формулу в дальнейшем.
24% признались, что она им вряд ли понадобится.
Тест № 4
82% считают, что формулу Симпсона стоит включить в школьную программу.
0% считают, что формулу не стоит включать в школьную программу.
18% утверждают, что формулу стоит включить в школьную программу, но только в профильных классах.
Тест № 5
35% считают, что помнить одну формулу для определения объёма сразу нескольких геометрических тел гораздо проще.
59% считают, что следует помнить все формулы, включая формулу Симпсона, ведь никогда не знаешь, какие условия будут даны.
6% считают, что достаточно помнить только формулы, включённые в школьную программу.
Эту формулу так же можно применить в решении задач, в том числе и на ЕГЭ. Приведу примеры задач, которые были даны в 11 классе, и которые были решены учениками без труда:
Задача1 Правильная шестиугольная призма с высотой 18см вписана в цилиндр, с радиусом основания 4см. Найдите объём призмы.
Задача2 Правильная четырехугольная пирамида, с высотой 24см и стороной основания 5см, вписана в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Вывод:
Заключение
За время обучения в школе, учащиеся должны знать огромное количество формул по разным предметам. Проведенный мной опрос показал, что не все учащиеся могут запомнить все эти формулы. Я столкнулсяс проблемой: необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, т.е формулу, пригодную для многих целей, выполняющую разнообразные функции.
Я предположил, что формула английского математика Томаса Симпсона
позволит заменить формулы площадей фигур и объемов тел одной формулой.
Я поставил перед собой цель: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии. Эту цель я раскрыл в нескольких задачах.
В результате своей работы я убедился, что формула Симпсона позволяет легко и быстро доказать теоремы об объемах тел, не применяя определенный интеграл.
Для того, чтобы облегчить работу по запоминанию и выводу формул, я предлагаю перед изучением темы «Площади фигур» учителю познакомить учащихся с формулой Симпсона, и предложить самостоятельно вывести изучаемые формулы. Доказательство, предложенное в учебнике, можно использовать учителю как дополнительный материал для урока или в качестве домашней работы.
Теперь прогуливаясь по лесу, вам наверно будет, вероятно, интересно определить объём любого дерева. Вычислить сколько в нём кубических метров древесины, а заодно и взвесить его - узнать, можно ли было бы, например, увезти такой ствол на одной телеге.
Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус.
Считаю, свою работу полезной, т.к. мною были выведены все формулы площадей и объемов изучаемых в школе.
Из результатов анкетирования я убедился, что формула Симпсона достаточно проста для запоминания, и её стоит включить в школьную программу.
Эту формулу так же можно применять на экзаменах, включая ЕГЭ.
Список использованной литературы:
Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. - М., «АСТ»,1999.
CD-ROM. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 2002.
Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11 . Учебник для общеобразовательных учреждений,- М., «Просвещение», 2002.
https://ru.wikipedia.org/wiki
https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/
https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html
https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona
Приложение 1
Краткие характеристики свойств геометрических тел
Треугольник
Приложение 2
Прямоугольник
Приложение 3
b 3 =0, так как верхнее основание является точкой.
Так как b 2 - является в треугольнике средней линией, то, тогда получаем:
Вывод. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Решение: - универсальная формула.
Так как АВСД- квадрат, то b 1 =b 2 =b 3 =h, тогда получаем
Приложение 4
Вывод. Действительно, площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Решение: - универсальная формула.
Так как АВСД - прямоугольник, то b 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:
Ответ: S=hb 1 .
Вывод. Действительно, площадь прямоугольника равна двух смежных сторон.
Решение: - универсальная формула.
b 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:
Приложение 5
Задача 2. Объем цилиндра.
Дано: Цилиндр
b 1 - площадь нижнего основания:
b 2 -площадь среднего сечения:
b 3 - площадь верхнего основания.
Найти: Vцилиндра
(Рис. 22. Цилиндр)
Т.к. b 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:
Ответ: V=b 1 h
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 7.
Вывод. Действительно, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Решение:Так как b 3 =0, а, то тогда получаем:
Ответ: Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 8.
Приложение 6
Приложение 7.
Приложение 8
Приложение 9.
Приложение 10
Приложение 11
Задача № 1. Вычисляем объём модели куба по обычной формуле. Для этого измеряем ребро модели куба: а = 10,5 см. V=a 3 = 1157,625 cм 3
Задача № 2. Вычисляем объём модели правильной шестиугольной пирамиды по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 17,2 см и сторону основания а = 6,5 см.
Задача № 3. Вычисляем объём модели цилиндра по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 20,4 см и радиус основания R = 14 см.
Приложение 12
|
Вычисляем S = π *R 2 = 3,14* 14 2 см 2 , V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cм 3 Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(S нижнего основания + S верхнего основания + 4S среднего сечения): |
||
|
Площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой S = π *R 2 = 3,14* 14 2 = 615,44см 2 , h= 20,4 см. V =20,4/6*(20,4+20,4)=12554,976 см 3 |
||
|
Задача № 4. Вычисляем объём модели конуса по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 21 см и радиус основания R = 6 см. |
||
|
Задача № 5. Вычисляем объём модели шара по обычной формуле. Для этого измеряем радиус шара R = 7 см. |
||
Приложение 13
Расчёт для берёзы :
Расчёт для осины.
Расчёт для сосны.
Приложение 14
Результаты исследования «Определение объема «остаточных» формул»
Диаграмма 1. Определение количества «остаточных» формул.
Диаграмма 2. Предметы, по которым указаны формулы.
Приложение 15
Какой способ для запоминания формул Вы используете?
А) зазубривание
Б) понимание
В) метод ассоциаций
Г) другое
Диаграмма 3. Методы запоминания формул
Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?
Диаграмма 4. Соответствие количества формул уровню памяти среднего ученика
Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?
Диаграмма 5. Необходимость применения универсальной формулы
Приложение 16
Приложение 17
При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.
Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.
Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации
Задана функция вида y = f (x) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f (x) d x
Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b - a n и точками a = x 0 < x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Каждый интервал x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Поэтому метод и имеет такое название.
Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол.Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)
При помощи красной линии изображается график функции y = f (x) , синей – приближение графика y = f (x) при помощи квадратичных парабол.
Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Пусть x 2 i - 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Изобразим, что через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.
Имеем, что x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что
a i (x 2 i - 2) 2 + b i · x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i · x 2 i - 1 + c i = f (x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i · x 2 i + c i = f (x 2 i)
Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что
(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить только одна парабола.
Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .
Видно, что
f (x 2 i - 2) = f (0) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i · h 2 + b i · h + c i f (x 2 i) = f (0) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i
Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i
Значит, получаем формулу, используя метод парабол:
∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Определение 1
Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .
Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .
Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол
Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:
- при приближенном вычислении определенного интеграла;
- при нахождении приближенного значения с точностью δ n .
На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.
Пример 1
Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.
Решение
По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f (x) = x x 4 + 4 .
Тогда запишем формулу Симпсона в виде
∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b - a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим
h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5
Найдем значение функции в точках
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795
Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 . 5 | 2 | 2 . 5 |
| f x i | 0 | 0 . 12308 | 0 . 2 | 0 . 16552 | 0 . 1 | 0 . 05806 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 3 | 3 . 5 | 4 | 4 . 5 | 5 |
| f x i | 0 . 03529 | 0 . 02272 | 0 . 01538 | 0 . 01087 | 0 . 00795 |
Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171
Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274
Ответ: Результаты совпадают до сотых.
Пример 2
Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .
Решение
По условию имеем, что а = 0 , b = π , f (x) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001
Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88
Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.
f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " (x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2
Область определения f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу - 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .
Производим подстановку:
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159
Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .
Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого
h = b - a 2 n = π - 0 2 · 5 = π 10
Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0 . 5 7 π 10
Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650
Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .
При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463
Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237
Замечание
В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f (4) (x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter