Нарисуйте схему системы и отметьте на ней центр тяжести. Если найденный центр тяжести находится вне системы объектов, вы получили неверный ответ. Возможно, вы измерили расстояния от разных точек отсчета. Повторите измерения.
- Например, если на качелях сидят дети, центр тяжести будет где-то между детьми, а не справа или слева от качелей. Также центр тяжести никогда не совпадет с точкой, где сидит ребенок.
- Эти рассуждения верны в двумерном пространстве. Нарисуйте квадрат, в котором поместятся все объекты системы. Центр тяжести должен находиться внутри этого квадрата.
Проверьте математические вычисления, если вы получили маленький результат. Если точка отсчета находится на одном конце системы, маленький результат помещает центр тяжести возле конца системы. Возможно, это правильный ответ, но в подавляющем большинстве случаев такой результат указывает на ошибку. Когда вы вычисляли моменты, вы перемножали соответствующие веса и расстояния? Если вместо умножения вы сложили веса и расстояния, вы получите гораздо меньший результат.
Исправьте ошибку, если вы нашли несколько центров тяжести. Каждая система имеет только один центр тяжести. Если вы нашли несколько центров тяжести, скорее всего, вы не сложили все моменты. Центр тяжести равен отношению «суммарного» момента к «суммарному» весу. Не нужно делить «каждый» момент на «каждый» вес: так вы найдете положение каждого объекта.
Проверьте точку отсчета, если ответ отличается на некоторое целое значение. В нашем примере ответ равен 3,4 м. Допустим, вы получили ответ 0,4 м или 1,4 м, или другое число, оканчивающееся на «,4». Это потому, что в качестве точки отсчета вы выбрали не левый конец доски, а точку, которая расположена правее на целую величину. На самом деле, ваш ответ верен, независимо от того, какую точку отсчета вы выбрали! Просто запомните: точка отсчета всегда находится в положении x = 0. Вот пример:
- В нашем примере точка отсчета находилась на левом конце доски и мы нашли, что центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от этой точки отсчета.
- Если в качестве точки отсчета выбрать точку, которая расположена на расстоянии 1 м вправо от левого конца доски, вы получите ответ 2,4 м. То есть центр тяжести находится на расстоянии 2,4 м от новой точки отсчета, которая, в свою очередь, находится на расстоянии 1 м от левого конца доски. Таким образом, центр тяжести находится на расстоянии 2,4 + 1 = 3,4 м от левого конца доски. Получился старый ответ!
- Примечание: при измерении расстояния помните, что расстояния до «левой» точки отсчета отрицательные, а до «правой» – положительные.
Расстояния измеряйте по прямым линиям. Предположим, на качелях два ребенка, но один ребенок намного выше другого, или один ребенок висит под доской, а не сидит на ней. Проигнорируйте такую разницу и измерьте расстояния по прямой линии доски. Измерение расстояний под углами приведет к близким, но не совсем точным результатам.
- В случае задачи с качелями-доской помните, что центр тяжести находится между правым и левым концами доски. Позже вы научитесь вычислять центр тяжести более сложных двумерных систем.
Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.
Пусть тело состоит только из двух грузов массы и , соединенных стрежнем (рис. 125). Если масса стержня мала по сравнению с массами и , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действуют силы тяжести, равные соответственно и ; обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке , которая определяется из условия
Рис. 125. Определение центра тяжести тела, состоящего из двух грузов
Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Если это тело подвесить в точке , оно останется в равновесии.
Так как две равные массы имеют общий центр тяжести в точке, делящей пополам расстояние между этими массами, то сразу ясно, что, например, центр тяжести однородного стержня лежит в середине стержня (рис. 126).
Поскольку любой диаметр однородного круглого диска делит его на две совершенно одинаковые симметричные части (рис. 127), то центр тяжести должен лежать на каждом диаметре диска, т. е. в точке пересечения диаметров - в геометрическом центре диска . Рассуждая сходным образом, можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в его геометрическом центре, центр тяжести однородного прямоугольного параллелепипеда лежит на пересечении его диагоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца лежит в его центре. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может лежать вне тела.
Рис. 126. Центр тяжести однородного стержня лежит в его середине
Рис. 127. Центр однородного диска лежит в его геометрическом центре
Если тело имеет неправильную форму или если оно неоднородно (например, в нем есть пустоты), то расчет положения центра тяжести часто затруднителен и это положение удобнее найти посредством опыта. Пусть, например, требуется найти центр тяжести куска фанеры. Подвесим его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении равновесия центр тяжести тела должен лежать на продолжении нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому, проведя на нашем куске фанеры прямую, представляющую продолжение нити, можем утверждать, что центр тяжести лежит на этой прямой.
Действительно, подвешивая тело в разных точках и проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести тела (так как он должен лежать одновременно на всех таких прямых). Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоской фигуры, но и более сложного тела. Положение центра тяжести самолета определяют, вкатывая его колесами на платформы весов. Равнодействующая сил веса, приходящихся на каждое колесо, будет направлена по вертикали, и найти линию, по которой она действует, можно по закону сложения параллельных сил.
Рис. 128. Точка пересечения вертикальных линий, проведенных через точки подвеса и есть центр тяжести тела
При изменении масс отдельных частей тела или при изменении формы тела положение центра тяжести меняется. Так, центр тяжести самолета перемещается при расходовании горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для наглядного опыта, иллюстрирующего перемещение центра тяжести при изменении формы тела, удобно взять два одинаковых бруска, соединенных шарниром (рис. 129). В том случае, когда бруски образуют продолжение один другого, центр тяжести лежит на оси брусков. Если бруски согнуть в шарнире, то центр тяжести оказывается вне брусков, на биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из брусков надеть дополнительный груз, то центр тяжести переместится в сторону этого груза.
Рис. 129. а) Центр тяжести соединенных шарниром брусков, расположенных на одной прямой, лежит на оси брусков, б) Центр тяжести согнутой системы брусков лежит вне брусков
81.1. Где находится центр тяжести двух одинаковых тонких стержней, имеющих длину 12 см и скрепленных в виде буквы Т?
81.2. Докажите, что центр тяжести однородной треугольной пластины лежит на пересечении медиан.
Рис. 130. К упражнению 81.3
81.3. Однородная доска массы 60 кг лежит на двух опорах, как показано на рис. 130. Определите силы, действующие на опоры.
Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).
Радиус-вектор этой точки
Рисунок 1.6
Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела
P k = γΔV k (P = γV ) подставить в формулу для определения r C , имеем
Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема
Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)
Рисунок 1.7
Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)
Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
1 Аналитический (путем интегрирования).
2 Метод симметрии . Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4 Разбиение . Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1 ) и C 2 (x 2 , y 2 ) . Тогда координаты центра тяжести тела равны
Рисунок 1.8
5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9
Центры тяжести простейших фигур
Рисунок 1.10
1 Треугольник
Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).
DM = MB , CM = (1/3)AM .
2 Дуга окружности
Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y C = 0 .
dl – элемент дуги, dl = Rdφ , R – радиус окружности, x = Rcosφ , L = 2αR ,
Следовательно:
x C = R(sinα/α) .
3 Круговой сектор
Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox , на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).
Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R .
Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB :
14. Способы задания движения точки.
При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.
При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:
Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t .
При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.
15. 1.2 Скорость точки
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt :
средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени
Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Для создания поделок, головоломок да и просто в домашних делах, иногда возникает ситуация когда необходимо рассчитать центр тяжести какой либо фигуры. И если для простейших фигур, формулы расчета центра тяжести известны, например для круга центр тяжести совпадает с центром окружности, то более сложные фигуры, а тем более фигуры состоящие из ломаных линий, вручную посчитать очень сложно.
Что же такое центр тяжести? Это такая точка на фигуре, поднимая за которую, фигура остается в таком же положении как она лежала например на столе. Это дилетанское конечно же объяснение, кроме этого мы говорим о плоских фигурах. Более правильное такое: Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю .
Калькулятор рассчитвает центр тяжести любой плоской однородной по составу фигуры, состоящей из ломаных линий.
Что же Вам, как пользователю необходимо знать? Необходимы координаты точек вершин такого многоугольника.
Как определить центр тяжести?
Если на точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2 ) действуют паралельные силы то точка М приложения равнодействующей этих сил делит отрезок М1М2 обратно пропорционально этим силам
Поэтому координаты точки М будут
если речь идет о воздействии трех действующих сил то формулы аналогичные и высчитываются как арифметическое средневзвешенное
таким же способом рассчитываются если в точках приложения сил не три, а четыре или пять или десять например.
Если принять что силой действующий на точки будет сила тяжести, а масса точек будет одинакова, то после сокращений одинаковых значений, наша формула для трех точек будет следующей
Здесь положение центра тяжести зависит только от положения точек. Точка () называется геометрическим центром тяжести этих точек
Если фигура симметрична - то центр тяжести совпадает с геометрическим центром фигуры. Это касается таких например фигур как квадрат, круг, правильный многоугольник, равносторонний треугольник и другие подобные объекты.
И еще, немного теории, которая поможет рассчитать центр тяжести сложных фигур.
Положение центра тяжести чистемы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заменить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве массы сумму масс точек этой группы.
РАСЧЕТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО КООРДИНАТАМ
Рассчитаем центр тяжести треугольной пластины, произвольной формы, одинаковой толщины.
Из какого материала мы будем делать, из стали, бумаги или платика не столь важно.
Центр тяжести трегольника является одной из семи замечательных точек, и определяется как точка пересечения медиан сторон этого треугольника.
Если же нам известны только координаты треугольника, например, мы его вырезали из тетрадки в клеточку, то координаты точки тяжести, будут определяться так
Не пытайтесь аппроксимировать эту формулу и подумать что центр трапеции будет вычисляться аналогично например по таким формулам
Это неверно, вернее неверно в случае когда масса распределена в плоскости между этими точками (например пластины).
Если же речь идет о точечных массах расположенных в этих координатах, то формула центра масс, будет правильной.
РАСЧЕТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ трапеции ПО КООРДИНАТАМ
Как же тогда рассчитывать центр тяжести трапеции?
Умные люди нашли формулу расчета точки, но в ней исходные данные представлены в виде длин сторон трапеции.
Вот эта формула.
Она не удобна, когда нам известны только координаты трапеции. Но мы воспользуемся способом разбиения трапеции два треугольника, где для каждого из них находим центр тяжести, а потом рассчитывая уже для двух точек(центров), находим окончательное решение.
Для каждого треугольника центр будет рассчитыватся по известной формуле
Но вот, когда мы будем рассчитывать окончательную точку, надо учитывать что мы, "стягивая" в центр тяжести каждый треугольник, стягиваем и всю массу поверхности которая лежала между этими координатами.
Так как между площадью фигуры (при одинаковой толщине) и массой связь линейная, то легко предположить что окончательный расчет будет не таким
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.
Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:
1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;
2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;
3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.
Примеры решения задач
Пример1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.
Решение
Разбиваем фигуру на три части:
Аналогично определяется у С = 4,5 см.
Пример 2.
Найти положение центра тяжести симметричной стержневой фермы ADBE
(рис. 116), размеры которой таковы: АВ =
6м, DE =
3 м и EF =
1 м.
Решение
Так как ферма симметричная, то ее центр тяжести лежит на оси симметрии DF. При выбранной (рис. 116) системе координатных осей абсцисса центра тяжести фермы
Неизвестной, следовательно, является лишь ордината у С центра тяжести фермы. Для ее определения разбиваем ферму на отдельные части (стержни). Длины их определяются из соответствующих треугольников.
Из ΔAEF имеем
Из ΔADF имеем
Центр тяжести каждого стержня лежит в его середине, координаты этих центров легко определяются из чертежа (рис. 116).
Найденные длины и ординаты центров тяжести отдельных частей фермы заносим в таблицу и по формуле
определяем ординату у с центра тяжести данной плоской фермы.
Следовательно, центр тяжести С всей фермы лежит на оси DF симметрии фермы на расстоянии 1,59 м от точки F.
Пример 3.
Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).
Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.
Для стандартных прокатных профилей собственные геометрические характеристики известны. Они приводятся в соответствующих стандартах.
Решение
1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необходимые данные:
1 - швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А 1 = 10,9 см 2 ;
2 - двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А 2 - 20,2 см 2 ;
3 - лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A 3 = 0,5 10 = 5 см 2 .
2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно определить по чертежу.
Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата х С = 0.
3. Определение центра тяжести составного сечения:
Пример 4. Определить координаты центра тяжести сечения, показанного на рис. 8, а. Сечение состоит из двух уголков 56x4 и швеллера № 18. Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести. Указать его положение на сечении.
Решение
1. : два уголка 56 х 4 и швеллер № 18. Обозначим их 1, 2, 3 (см. рис. 8, а).
2. Укажем центры тяжести каждого профиля, используя табл. 1 и 4 прил. I, и обозначим их С 1 , С 2 , С 3 .
3. Выберем систему координатных осей. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х проведем через центры тяжести уголков.
4. Определим координаты центра тяжести всего сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, поэтому х с = 0. Координату у с определим по формуле
Пользуясь таблицами приложения, определим площади каждого профиля и координаты центров тяжести:
Координаты у 1 и у 2 равны нулю, так как ось х проходит через центры тяжести уголков. Подставим полученные значения в формулу для определения у с :
5. Укажем центр тяжести сечения на рис. 8, а и обозначим его буквой С. Покажем расстояние у С = 2,43 см от оси х до точки С.
Поскольку уголки симметрично расположены, имеют одинаковую площадь и координаты, то А 1 = А 2 , у 1 = у 2 . Поэтому формула для определения у С может быть упрощена:
6. Выполним проверку. Для этого ось х проведем по нижнему краю полки уголка (рис. 8, б). Ось у оставим, как в первом решении. Формулы для определения х С и у С не изменяются:
Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжестей уголков и швеллера изменятся. Выпишем их:
Находим координату центра тяжести:
По найденным координатам х с и у с наносим на рисунок точку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Проверим это. Разница между координатами у с, найденными при первом и втором решении, составляет: 6,51 - 2,43 = 4,08 см.
Это равно расстоянию между осями х при первом и втором решении: 5,6 - 1,52 = 4,08 см.
Ответ: у с = 2,43 см, если ось х проходит через центры тяжести уголков, или у с = 6,51 см, если ось х проходит по нижнему краю полки уголка.
Пример 5. Определить координаты центра тяжести сечения, изображенного на рис. 9, а. Сечение состоит из двутавра № 24 и швеллера №.24а. Показать положение центра тяжести на сечении.
Решение
1. Разобьем сечение на профили проката : двутавр и швеллер. Обозначим их цифрами 1 и 2.
3. Укажем центры тяжести каждого профиля С 1 и С 2 , используя таблицы приложений.
4. Выберем систему осей координат. Ось х совместим с осью симметрии, а ось у проведем через центр тяжести двутавра.
5. Определим координаты центра тяжести сечения. Координата у с = 0, так как ось х совпадает с осью симметрии. Координату х с определим по формуле
По табл. 3 и 4 прил. I и схеме сечения определим
Подставим числовые значения в формулу и получим
5. Нанесем точку С (центр тяжести сечения) по найденным значениям х с и у с (см. рис. 9, а).
Проверку решения необходимо выполнить самостоятельно при положении осей, как показано на рис. 9, б. В результате решения получим х с = 11,86 см. Разница между значениями х с при первом и втором решении равна 11,86 - 6,11 = 5,75 см, что равно расстоянию между осями у при тех же решениях b дв /2 = 5,75 см.
Ответ: х с = 6,11 см, если ось у проходит через центр тяжести двутавра; х с = 11,86 см, если ось у проходит через левые крайние точки двутавра.
Пример 6. Железнодорожный кран опирается на рельсы, расстояние между которыми АВ = 1,5м (рис. 1.102). Сила тяжести тележки крана G r = 30 кН, центр тяжести тележки находится в точке С, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью рисунка. Сила тяжести лебедки крана Q л = 10 кН приложена в точке D. Сила тяжести противовеса G„=20 кН приложена в точке Е. Сила тяжести стрелы G c = 5 кН приложена в точке Н. Вылет крана относительно линии KL равен 2 м. Определить коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии и какой груз F можно поднять этим краном при условии, что коэффициент устойчивости должен быть не менее двух.
Решение
1. В ненагруженном состоянии у крана возникает опасность опрокидывания при повороте вокруг рельса А. Следовательно, относительно точки А момент устойчивости
2. Опрокидывающий момент относительно точки А создается силой тяжести противовеса, т. е.
3. Отсюда коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии
4. При нагрузке стрелы крана грузом F возникает опасность опрокидывания крана с поворотом около рельса В. Следовательно, относительно точки В момент устойчивости
5. Опрокидывающий момент относительно рельса В
6. По условию задачи эксплуатация крана разрешается при коэффициенте устойчивости k B ≥ 2 , т. е.
Контрольные вопросы и задания
1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?
2. Запишите формулы для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.
3. Повторите формулы для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга.
4. 
Что называют статическим моментом площади?
5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).
6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фигуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.
7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения (рис. 8.8).
При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).