Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное государственное образовательное
бюджетное учреждение высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Факультет: Финансы и кредит
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика»
Студентка: Коханская Е.Ю.
Курс: 2 № группы: ЗСПЗ-ЭК201
Преподаватель: Бутковский О.Я.
Владимир 2014
1. На складе имеется 20 приборов, из которых два неисправны. При отправке потребителю проверяется исправность приборов.
Найти вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.
Испытание (опыт) заключается в выборе наудачу 3 приборов со склада, на котором имеется 20 приборов (из которых 18 исправны и 2 неисправны).
Элементарным событием (исходом испытания) является полученный набор из трёх приборов.
Пусть событие А заключается в том, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.
Число исходов, благоприятствующих появлению события А (выбор трёх исправных приборов из):
Ответ: вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными, равна 0,716.
2. В типографии имеется пять плоскопечатных машин. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9.
Найти вероятность того, что в данный момент работает:
а) две машины;
б) хотя бы одна машина
а) Р=0.9 - вероятность того, что 1 машина работает
т.е. вероятноcть работы 2 машин: p = 0,9*0,9=0,81 => 81%
б) Так как события «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) противоположные, то сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность
Р(А)= 1- q5=1-(0,1)5=1- 0,00001=0,99999=99%
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то, на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий, мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
Ответ: а) вероятность того, что в данный момент работает две машины = 81%
б) вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина= 99 %
3. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров.
а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества;
б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества.
В этой задаче мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в исследовании качества выпущенного телевизора. Число испытаний в нашем случае.
Событие состоит в том, что выпущенный телевизор высшего качества.
а) Вычислить искомую вероятность появления события ровно 300 раз в 400 испытаниях по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомую вероятность можно вычислить, используя асимптотическую (приближённую) формулу Муавра - Лапласа.
Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа: если вероятность наступления события в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность вычисляется по приближённой формуле
Где - вероятность наступления события в каждом из испытаний,
Вероятность ненаступления события в каждом из испытаний,
Функция Гаусса.
Итак, событие состоит в том, что выпущенный телевизор высшего качества; вероятность наступления события в каждом из испытаний; вероятность ненаступления события в каждом из испытаний; число испытаний.
Значит вероятность того, что из 400 выпущенных телевизоров 300 высшего качества:
По таблице значений функции Гаусса находим: .
Следовательно, .
б) Воспользуемся следствием интегральной теоремы Муавра - Лапласа: если вероятность р наступления события А в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность заданного отклонения относительной частоты (частости) появления события А от его вероятности вычисляется по приближённой формуле
Где р - вероятность наступления события А в каждом из испытаний,
q - вероятность ненаступления события А в каждом из испытаний,
п - число испытаний, - заданное отклонение.
Функция Лапласа.
вероятность случайный величина ожидание
В нашем случае; ; число испытаний.
Найдём отклонение, при котором, то есть в силу следствия интегральной теоремы Муавра - Лапласа
Итак, найдём из выражения
По таблице значений функции Лапласа находим: .
Следовательно
Значит с вероятностью 0,9907 можно ожидать отклонение относительной частоты появления события от.
Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества: .
Другими словами, с вероятностью 0,9907 доля телевизоров высшего качества составляет от 74,8 % до 85,2 %.
Ответ: а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества равна 0,0022;
б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества от 74,8% до 85,2%.
4. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали. Составить закон распределения случайной величины - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.
Дискретная случайная величина - число стандартных деталей среди отобранных деталей - имеет следующие возможные значения: , .
Найдём вероятности, этих возможных значений.
Искомый закон распределения дискретной случайной величины, соответственно, будет иметь вид:
Испытание (опыт) заключается в случайном выборе двух деталей из партии, содержащей 8 деталей (6 стандартных и 2 нестандартных).
Элементарным событием (исходом испытания) является полученный набор из 2 деталей.
Число всех возможных исходов испытания:
Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 0 стандартных и 2 нестандартных):
Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:
Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 1 стандартная и 1 нестандартная):
Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:
Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 2 стандартных и 0 нестандартных):
Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:
Сумма вероятностей
Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
Найдём математическое ожидание и функцию распределения случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины:
Дисперсия дискретной случайной величины Х:
Функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения) случайной величины задаётся формулой.
При построении функции будем получать её аналитическое выражение на каждом промежутке разбиения числовой прямой точками, соответствующими значениям заданной случайной величины, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий:
a) для, так как в данном случае мы имеем дело с вероятностью невозможного события (в частности для);
b) для (в частности для);
c) для (в частности для);
Обобщая полученные данные, можно записать:
Ответ: ; ; ;
1. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице.
а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б)) можно гарантировать с вероятностью 0,98.
а) Выберем число больничных, в каждом из интервалов (середина интервала). В начальном интервале примем значение 2 дня. В конечном 12 дней, в прочих середину интервала.
Выборочная средняя равна:
Выборочная дисперсия:
найдём значение t из соотношения
Значения Ф(t) взяты из соответствующих таблиц.
б) В выборке доля таких сотрудников равна:
Полагая генеральную совокупность много большей, по сравнению с 100 имеем для требуемой величины:
Тогда искомые границы:
в) Объём для данного вида выборки и данной вероятности (t=2,33):
Ответ: а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день, равна 0,999;
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней от 47,3% до 66,7%;
в) объем бесповторной выборки с вероятностью 0,98 равен 141сотруднику.
3. Распределение 110 образцов полимерных композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов Х (%) и водопоглощению Y (%) представлено в таблице.
Необходимо:
1. Вычислить групповые средние, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости? = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов.
1). Вычислим групповые средние значения:
В таблице записана функциональная зависимость между и xi, или корреляционная зависимость у по х.
Построим эмпирические линии регрессии:
2). Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найдем уравнения прямых регрессии.
Случайная величина Х - содержание нефтешламов, %
Случайная величина Y - содержание водопоглащения, %.
Найдем ковариацию:
Вычислим коэффициент регрессии у по х и составим уравнение этой зависимости:
у = 1,117 х + 8,792
Вычислим коэффициент регрессии х по у и составим уравнение соответствующей зависимости:
х = 0,797 у -3,744
Построим графики прямых регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии:
б) Вычислим коэффициент корреляции:
Т.е. связь между переменными Х и Y (степенью автоматизации производства и ростом производительности труда) прямая, тесная.
Оценим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента:
Расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного
tтабл.(?=0,05; k=108) = 1,6591, следовательно коэффициент корреляции является значимым.
в) Определим, используя уравнение регрессии у по х, средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов:
у = 1,117 *35 + 8,792=47,887
Т.е. средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов, составит 47,9%.
Размещено на Allbest.ur
...Подобные документы
Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.
реферат , добавлен 25.10.2015
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа , добавлен 24.01.2013
Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа , добавлен 03.01.2012
Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа , добавлен 26.02.2012
Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа , добавлен 29.01.2014
Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.
реферат , добавлен 03.12.2007
Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция , добавлен 17.12.2010
Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа , добавлен 07.09.2010
Понятие и сущность многомерной случайной величины, ее отличие от одномерной и применение для решения статистических задач. Особенности условной вероятности, расчет и определение суммы всех вероятностей. Математический закон распределения событий.
презентация , добавлен 01.11.2013
Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.
Что такое теория вероятности?
Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.
Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.
Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.
Со страниц истории
Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.
Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.
Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.
Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.
Базовые понятия теории вероятностей. События
Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:
- Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
- Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
- Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.
Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:
- А = «студенты пришли на лекцию».
- Ā = «студенты не пришли на лекцию».
В практических заданиях события принято записывать словами.
Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.
Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:
- А = «студентка пришла на лекцию».
- В = «студент пришел на лекцию».
Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.
Действия над событиями
События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».
Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.
Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.
Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.
Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:
- А = «фирма получит первый контракт».
- А 1 = «фирма не получит первый контракт».
- В = «фирма получит второй контракт».
- В 1 = «фирма не получит второй контракт»
- С = «фирма получит третий контракт».
- С 1 = «фирма не получит третий контракт».
С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:
- К = «фирма получит все контракты».
В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.
- М = «фирма не получит ни одного контракта».
М = А 1 В 1 С 1 .
Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:
Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.
А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.
Собственно, вероятность
Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:
- классическое;
- статистическое;
- геометрическое.
Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:
- Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.
Формула выглядит так: Р(А)=m/n.
А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .
m - количество возможных благоприятных случаев.
n - все события, которые могут произойти.
Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:
Р(А)=9/36=0,25.
В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.
К высшей математике
Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.
Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.
Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:
Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.
Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?
А = «появление качественного товара».
W n (A)=97/100=0,97
Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.
Немного о комбинаторике
Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.
Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?
Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.
Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.
То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.
В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.
Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:
A n m =n!/(n-m)!
Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!
Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:
A n m =n!/m!(n-m)!
Формула Бернулли
В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.
Уравнение Бернулли:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.
Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.
Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.
Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?
Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.
А = «посетитель совершит покупку».
В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.
Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.
После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:
C n m = n! / m!(n-m)!
Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.
Формула Пуассона
Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.
Основная формула:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.
Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?
Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:
А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».
р = 0,0001 (согласно условию задания).
n = 100000 (количество деталей).
m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:
Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.
Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:
е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.
Теорема Муавра-Лапласа
Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.
Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:
Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.
Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.
Формула Байеса
Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:
Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).
А и В являются определенными событиями.
Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.
Р (В|А) - условная вероятность события В.
Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.
Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.
А = «случайно взятый телефон».
В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).
В итоге получим:
Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.
Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:
Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;
Р(А/В 2) = 0,04;
Р (А/В 3) = 0,01.
Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:
Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.
В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.
В статье рассмотрены основные задачи, в которых применяются различные методы теории вероятностей.
- Анализ динамических рядов (на примере отрасли пчеловодства)
- Применение теории вероятностей и математической статистики в страховой деятельности
- Самоанализ как начальный этап в освоении технологий самоменеджмента
- Средства стохастической подготовки обучающихся на основе информационных технологий
Теория вероятностей – это наука, изучающая использование специфических методов для решения задач, которые возникают при рассмотрении случайных величин. Она раскрывает закономерности, которые относятся к массовым явлениям. Эти методы не могут предсказать исход случайного явления, но могут предсказать суммарный результат. Следовательно, если мы изучим законы, которые управляют случайными событиями, то сможем при необходимости изменить ход этих событий. В свою очередь, математическая статистика - это раздел математики, который изучает методы сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия на их основе решений.
Почему же для обработки простых наборов данных требуется целая наука? Потому что эти данные, как бы мы не старались, никогда не являются точными, содержат случайные ошибки. Это могут быть и погрешности измерительных приборов, и человеческие ошибки, а так же неоднородность данных или, конечно, их недостаточность.
Обычно исследователь многократно повторяет свой опыт, получая большое количество однотипных данных, которые надо обработать и сделать весомые выводы, которые позволят не только продвинуться глубже в изучении предмета, но и сделать выводы, прогнозы, принять важные экономические решения и т.д.
Именно математическая статистика дает методы для обработки данных, алгоритмы для проверки статистических гипотез, критерии адекватности и значимости выбранной модели или закона, обоснованные границы точности для параметров распределения, которые мы можем получить исходя из наших данных и т.п.
Существует интересная история, которая говорит о том, что своим появлением теория вероятности обязана азартным играм. Основателем теории вероятностей считается французский ученый Блез Паскаль, который занимался в таких областях как физика, математика, философия. Однако на самом деле, Паскаль в своих работах обобщил опыт своего друга, известного в свое время Шевалье де Мере. Де Мере был азартным игроком, он увлекся расчетами того, сколько раз необходимо будет бросить игральные кости, чтобы заветные две шестерки выпали более, чем в половине случаев. Эти, казалось бы, не слишком серьезные вычисления, заставили Шевалье более глубоко заняться изучением вопроса вероятности, а позднее – вызвали интерес Паскаля.
В России наибольший интерес к теории вероятностей возник в первой половине XIX в. Значительный вклад в развитие науки теории вероятностей внесли русские ученые: П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
Практическое применение теории вероятностей велико. Во многих сферах и областях жизни применяются методы теории вероятностей. Рассмотрим некоторые из них на конкретных примерах.
1. В случайном эксперименте дети симметричную монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Шаг первый - выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже n=8 .
Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет m=3. Тогда вероятность события P=m/n=3/8=0.375P=m/n=3/8=0.375.
2. Для прядения бабушка смешала поровну черный и окрашенный хлопок. Какова вероятность что среди 1200 единиц окажется больше половины черного хлопка.
Решение. Общее число вариантов события - 1200. Теперь определим общее число благоприятных вариантов. Благоприятные варианты будут в том случае, когда количество черных единиц больше половины, то есть 601, 602 и так до 1200. То есть 599 благоприятных вариантов. Таким образом, вероятность благоприятного исхода составит
599 / 1200 = 0,499 .
3. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?
Решение: Используем формулу классической вероятности: P=m/n, где n - число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно n=5!1!2!1!1!=1⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2=60, из них только одна соответствует слову "кукла" (m=1), поэтому по классическому определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла" равна P=1/60.
4. Мужчина на шахматную доску случайным образом поставил две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех равновозможных элементарных исходов. Число всех способов расставить ладьи равно n=64⋅63=4032 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток). Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m=64⋅(64−15)=64⋅49=3136 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, вычеркиваем клетки, которые находятся в том же столбце и строке, что и данная ладья, затем вторую ладью ставим на любую из оставшихся после вычеркивания 49 клеток).
Тогда искомая вероятность P=3136/4032=49/63=7/9=0,778.
Ответ: 7/9.
5. Студент пришел на зачет, зная только 40 вопросов из 60. Какова вероятность сдачи зачета, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один?
Решение: Вероятность того, что преподаватель задал студенту вопрос, на который он не знал ответа (событие А) равна Р(А) = . Найдем вероятность того, что на второй вопрос преподавателя студент знает ответ (событие В) при условии, что ответа на первый вопрос студент не знал. Это условная вероятность, так как событие А уже произошло. Отсюда Р А (В) = 40/59. Искомую вероятность определим по теореме умножения вероятностей зависимых событий. Р(А и В) = Р(А)* Р А (В) = 40/59*20/60 = 0,23.
Таким образом, наша жизнь без применения теории вероятностей невозможна.
Список литературы
- Анасова, Т.А., Теория вероятностей [Электронный ресурс] : курс лекций для обучающихся по программе бакалавров и магистров высших учеб. заведений / Т. А. Анасова, Э. Ф. Сагадеева; М-во сел. хоз-ва РФ, Башкирский ГАУ. - Уфа: [БашГАУ], 2014. - 68 с.
- Гизетдинова, А. И., Применение актуарных расчетов в страховании [Текст] / А. И. Гизетдинова, Э. Ф. Сагадеева // Тенденции и перспективы развития статистической науки и информационных технологий: сборник научных статей, посвящается юбилею профессора кафедры статистики и информационных систем в экономике Рафиковой Н. Т. / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2013. - С. 192-194.
- Кабашова, Е.В. Математическая экономика. Модуль 1. Обобщенные модели экономики [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.В. Кабашова, Э.Ф. Сагадеева. – Уфа: Башкирский ГАУ, 2013. – 68 с.
- Кабашова, Е.В. Математическая экономика. Модуль 2. Глобальные модели экономики [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.В. Кабашова, Э.Ф. Сагадеева. – Уфа: Башкирский ГАУ, 2013. – 64 с.
- Научные основы развития сельского хозяйства Республики Башкортостан [Текст] / К. Б. Магафуров; Башкирский ГАУ. - Уфа: Изд-во БГАУ, 2003. - 112 с.
- Сагадеева, Э. Ф., Опыт кураторской работы в Башкирском государственном аграрном университете [Текст] / Э. Ф. Сагадеева // Проблемы повышения качества учебно-методической работы в вузе: опыт и инновации: сборник научных трудов / Российский университет кооперации, Башкирский кооперативный институт (филиал). - Уфа, 2009. - Вып. 11. - С. 128-131.
- Сагадеева, Э. Ф., Выполнение актуарных расчетов с использованием коммутационных чисел с применением ЭВМ [Текст] / Э. Ф. Сагадеева, Р. Р. Бакирова // Потребительская кооперация и отрасли экономики Башкортостана: инновационные аспекты развития: сборник научных трудов / Российский университет кооперации, Башкирский кооперативный институт (филиал). - Уфа, 2008. - [Вып.10]. - С. 132-138.
Либерт Елена
Азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс.
Скачать:
Предварительный просмотр:
МБОУ СШ №8 г. Ярцево Смоленской области
Проект по математике:
«История возникновения теории вероятностей»
Подготовила: ученица 11 класса
средней школы №8 Либерт Елена
Руководитель: учитель математики
Борисенкова Ольга Владимировна
Г. Ярцево, 2015г.
История возникновения теории вероятностей…………………………………………………………..…...3
Средневековая Европа и начало Нового времени……………………….4
XVII век: Паскаль, Ферма, Гюйгенс…..………………………………….5
XVIII век……..…………………………………………………………….7
XIX век. Общие тенденции и критика……………………….…………..7
Применение теории вероятности в XIX-XX веках……………….…..…8
- Астрономия………………………………………………………….8
- Физика………………………….……………………………………9
- Биометрия……………...……………………………………………9
- Сельское хозяйство………………………..………………………..9
- Промышленность …………………………………………………..10
- Медицина…………………………………………………………....10
- Биоинформатика……………...…………………………………….10
- Экономика и банковское дело…….……………………………….11
История возникновения теории вероятностей
Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.
В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие:
Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?
Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?
Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.
Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629-1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654-1705), Муавр (1667-1754), Лаплас (1749- 1827), Гаусс (1777-1855) и Пуассон (1781-1840). В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.
Средневековая Европа и начало Нового времени
Первые задачи вероятностного характера возникли в различных азартных играх - костях, картах и др. Французский каноник XIII века Ришар де Фурниваль правильно подсчитал все возможные суммы очков после броска трёх костей и указал число способов, которыми может получиться каждая из этих сумм. Это число способов можно рассматривать как первую числовую меру ожидаемости события, аналогичную вероятности. До Фурниваля, а иногда и после него, эту меру часто подсчитывали неверно, считая, например, что суммы 3 и 4 очка равновероятны, так как оба могут получиться «только одним способом»: по результатам броска «три единицы» и «двойка с двумя единицами» соответственно. При этом не учитывалось, что три единицы в самом деле получаются только одним способом: ~1+1+1, а двойка с двумя единицами - тремя: ~1+1+2;\;1+2+1;\;2+1+1, так что эти события не равновероятны. Аналогичные ошибки неоднократно встречались и в дальнейшей истории науки.
В обширной математической энциклопедии «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» итальянца Луки Пачоли (1494) содержатся оригинальные задачи на тему: как разделить ставку между двумя игроками, если серия игр прервана досрочно. Пример подобной задачи: игра идёт до 60 очков, победитель получает всю ставку в 22 дуката, в ходе игры первый игрок набрал 50 очков, второй - 30, и тут игру пришлось прекратить; требуется справедливо разделить исходную ставку. Решение зависит от того, что понимать под «справедливым» разделом; сам Пачоли предложил делить пропорционально набранным очкам (55/4 и 33/4 дуката); позднее его решение было признано ошибочным.
Распределение суммы очков после бросания двух костей
Крупный алгебраист XVI века ДжероламоКардано посвятил анализу игры содержательную монографию «Книга об игре в кости» (1526 год, опубликована посмертно). Кардано провёл полный и безошибочный комбинаторный анализ для значений суммы очков и указал для разных событий ожидаемое значение доли «благоприятных» событий: например, при бросании трёх костей доля случаев, когда значения всех 3 костей совпадают, равна 6/216 или 1/36. Кардано сделал проницательное замечание: реальное количество исследуемых событий может при небольшом числе игр сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр в серии, тем доля этого различия меньше. По существу, Кардано близко подошёл к понятию вероятности:
Итак, имеется одно общее правило для расчёта: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений.
Другой итальянский алгебраист, Никколо Тарталья, раскритиковал подход Пачоли к решению задачи о разделе ставки: ведь если один из игроков ещё не успел набрать ни одного очка, то алгоритм Пачоли отдаёт всю ставку его сопернику, но это трудно назвать справедливым, поскольку некоторые шансы на выигрыш у отстающего всё же имеются. Кардано и Тарталья предложили свои (различные) способы раздела, но впоследствии и эти способы были признаны неудачными.
Исследованием данной темы занимался и Галилео Галилей, написавший трактат «О выходе очков при игре в кости» (1718 год, опубликован посмертно). Изложение теории игры у Галилея отличается исчерпывающей полнотой и ясностью. В своей главной книге «Диалог о двух главнейших системах мира, птоломеевой и коперниковой» Галилей также указал на возможность оценки погрешности астрономических и иных измерений, причём заявил, что малые ошибки измерения вероятнее, чем большие, отклонения в обе стороны равновероятны, а средний результат должен быть близок к истинному значению измеряемой величины. Эти качественные рассуждения стали первым в истории предсказанием нормального распределения ошибок.
XVII век: Паскаль, Ферма, Гюйгенс
В XVII веке начало формироваться отчётливое представление о проблематике теории вероятностей и появились первые математические (комбинаторные) методы решения вероятностных задач. Основателями математической теории вероятностей стали Блез Паскаль и Пьер Ферма.
Перед этим математик-любитель шевалье де Мере обратился к Паскалю по поводу так называемой «задачи об очках»: сколько раз нужно бросать две кости, чтобы ставить на одновременное выпадение хотя бы раз двух шестёрок было выгодно? Паскаль и Ферма вступили в переписку друг с другом по поводу данной задачи и родственных вопросов (1654). В рамках этой переписки учёные обсудили ряд проблем, связанных с вероятностными расчётами; в частности, рассматривалась старая задача о разделе ставки, и оба учёных пришли к решению, что надо разделить ставку соответственно остающимся шансам на выигрыш. Паскаль указал де Мере на ошибку, допущенную им при решении «задачи об очках»: в то время как де Мере неверно определил равновероятные события, получив ответ: 24 броска, Паскаль дал правильный ответ: 25 бросков.
Паскаль в своих трудах далеко продвинул применение комбинаторных методов, которые систематизировал в своей книге «Трактат об арифметическом треугольнике» (1665). Опираясь на вероятностный подход, Паскаль даже доказывал (в посмертно опубликованных заметках), что быть верующим выгоднее, чем атеистом.
Гюйгенс, вначале использовал термин «стоимость», а термин «ожидание» появился впервые при переводе трактата Гюйгенса Ван Схоутеном на латинский язык и стал общепринятым в науке.
В книге большое число задач, некоторые с решениями, другие «для самостоятельного решения». Из последних особый интерес и оживлённое обсуждение вызвала «задача о разорении игрока». В несколько обобщённом виде она формулируется так: у игроков A и B есть a и b монет соответственно, в каждой игре выигрывается одна монета, вероятность выигрыша A в каждой игре равна p, требуется найти вероятность полного его разорения. Полное общее решение «задачи о разорении» дал Абрахам де Муавр полвека спустя (1711). В наши дни вероятностная схема «задачи о разорении» используется при решении многих задач типа «случайное блуждание».
Гюйгенс проанализировал и задачу о разделе ставки, дав её окончательное решение: ставку надо разделить пропорционально вероятностям выигрыша при продолжении игры. Он также впервые применил вероятностные методы к демографической статистике и показал, как рассчитать среднюю продолжительность жизни.
К этому же периоду относятся публикации английских статистиков Джона Граунта (1662) и Уильяма Петти (1676, 1683). Обработав данные более чем за столетие, они показали, что многие демографические характеристики лондонского населения, несмотря на случайные колебания, имеют достаточно устойчивый характер - например, соотношение числа новорождённых мальчиков и девочек редко отклоняется от пропорции 14 к 13, невелики колебания и процента смертности от конкретных случайных причин. Эти данные подготовили научную общественность к восприятию новых идей.
Граунт также впервые составил таблицы смертности - таблицы вероятности смерти как функции возраста. Вопросами теории вероятностей и её применения к демографической статистике занялись также Иоганн Худде и Ян де Витт в Нидерландах, которые в 1671 году также составили таблицы смертности и использовали их для вычисления размеров пожизненной ренты. Более подробно данный круг вопросов был изложен в 1693 году Эдмундом Галлеем.
XVIII век
На книгу Гюйгенса опирались появившиеся в начале XVIII века трактаты Пьера де Монмора «Опыт исследования азартных игр» (опубликован в 1708 и переиздан с дополнениями в 1713 году) и Якоба Бернулли «Искусство предположений» (опубликован уже после смерти учёного, в том же 1713 году). Последний имел для теории вероятностей особенно большое значение.
XIX век
Общие тенденции и критика
В XIX веке число работ по теории вероятностей продолжало расти, были даже компрометирующие науку попытки распространить её методы далеко за разумные пределы - например, на область морали, психологии, правоприменения и даже богословия. В частности, валлийский философ Ричард Прайс, а следом за ним и Лаплас, считали возможным рассчитать по формулам Байеса вероятность предстоящего восхода Солнца, Пуассон пытался провести вероятностный анализ справедливости судебных приговоров и достоверности показаний свидетелей. Философ Дж. С. Милль в 1843 году, указав на подобные спекулятивные применения, назвал исчисление вероятностей «позором математики». Эта и другие оценки свидетельствовали о недостаточной строгости обоснования теории вероятностей.
Математический аппарат теории вероятностей тем временем продолжал совершенствоваться. Основной сферой её применения в тот период была математическая обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, а также расчёты рисков в страховом деле и других статистических параметров. Среди главных прикладных задач теории вероятностей и математической статистики XIX века можно назвать следующие:
найти вероятность того, что сумма независимых случайных величин с одинаковым (известным) законом распределения находится в заданных пределах. Особую важность эта проблема представляла для теории ошибок измерения, в первую очередь для оценки погрешности наблюдений;
установление статистической значимости различия случайных значений или серий таких значений. Пример: сравнение результатов применения нового и старого видов лекарств для принятия решения о том, действительно ли новое лекарство лучше;
исследование влияния заданного фактора на случайную величину (факторный анализ).
Уже к середине XIX века формируется вероятностная теория артиллерийской стрельбы. В большинстве крупных стран Европы были созданы национальные статистические организации. В конце века область применения вероятностных методов начала успешно распространяться на физику, биологию, экономику, социологию.
Применение теории вероятности в XIX-XX веках.
В 19 и 20 столетиях теория вероятностей проникает сначала в науку (астрономию, физику, биологию), потом в практику (сельское хозяйство, промышленность, медицину), и наконец, после изобретения компьютеров, в повседневную жизнь любого человека, пользующегося современными средствами получения и передачи информации. Проследим применение в различных областях.
1.Астрономия.
Именно для использования в астрономии был разработан знаменитый “метод наименьших квадратов” (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Главной задачей, для решения которой он был первоначально использован, стал расчет орбит комет, который приходилось производить по малому числу наблюдений. Ясно, что надежное определение типа орбиты (эллипс или гипербола) и точный расчет ее параметров оказывается трудным, так как орбита наблюдается лишь на небольшом участке. Метод оказался эффективным, универсальным, и вызвал бурные споры о приоритете. Его стали использовать в геодезии и картографии. Сейчас, когда искусство ручных расчетов утрачено, трудно представить, что при составлении карт мирового океана в 1880-х годах в Англии методом наименьших квадратов была численно решена система, состоящая из примерно 6000 уравнений с несколькими сотнями неизвестных.
2.Физика.
Во второй половине 19 века была в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса была развита статистическая механика, которая описывала состояние разряженных систем, содержащих огромное число частиц (порядка числа Авогадро). Если раньше понятие распределения случайной величины было преимущественно связано с распределением ошибок измерения, то теперь распределенными оказались самые разные величины – скорости, энергии, длины свободного пробега.
3.Биометрия.
В 1870-1900 годах бельгиец Кетле и англичане Френсис Гальтон и Карл Пирсон основали новое научное направление – биометрию, в которой впервые стала систематически и количественно изучаться неопределенная изменчивость живых организмов и наследование количественных признаков. В научный оборот были введены новые понятия – регрессии и корреляции.
Итак, вплоть до начала 20 века основные приложения теории вероятности были связаны с научными исследованиями. Внедрение в практику – сельское хозяйство, промышленность, медицину произошло в 20 веке.
4.Сельское хозяйство.
В начале 20 века в Англии была поставлена задача количественного сравнения эффективности различных методов ведения сельского хозяйства. Для решения этой задачи была развита теория планирования экспериментов, дисперсионный анализ. Основная заслуга в развитии этого уже чисто практического использования статистики принадлежит сэру Рональду Фишеру, астроному по образованию, а в дальнейшем фермеру, статистику, генетику, президенту английского Королевского общества. Современная математическая статистика, пригодная для широкого применения в практике, была развита в Англии (Карл Пирсон, Стьюдент, Фишер). Стьюдент впервые решил задачу оценки неизвестного параметра распределения без использования байесовского подхода.
5.Промышленность.
Введение методов статистического контроля на производстве (контрольные карты Шухарта). Сокращение необходимого количества испытаний качества продукции. Математические методы оказываются уже настолько важными, что их стали засекречивать. Так книга с описанием новой методики, позволявшей сократить количество испытаний (“Последовательный анализ” Вальда), была издана только после окончания второй мировой войны в 1947 году.
6.Медицина.
Широкое применение статистических методов в медицине началось сравнительно недавно (вторая половина 20 века). Развитие эффективных методов лечения (антибиотики, инсулин, эффективная анестезия, искусственное кровообращение) потребовало достоверных методов оценки их эффективности. Возникло новое понятие “Доказательная медицина”. Начал развиваться более формальный, количественный подход к терапии многих заболевании – введение протоколов, guidelines.
С середины 1980-х годов возник новый и важнейший фактор, революционизировавший все приложения теории вероятностей – возможность широкого использования быстрых и доступных компьютеров. Почувствовать всю громадность произошедшего переворота можно, если учесть, что один современный персональный компьютер превосходит по быстродействию и памяти все компьютеры СССР и США, имевшиеся к 1968 году, времени, когда уже были осуществлены проекты, связанные со строительством атомных электростанций, полетами на Луну, созданием термоядерной бомбы. Сейчас методом прямого экспериментирования можно получать результаты, которые ранее были недоступны – thinkingofunthinkable.
7.Биоинформатика.
Начиная с 1980-х годов количество известных последовательностей белков и нуклеиновых кислот стремительно возрастает. Объем накопленной информации таков, что только компьютерный анализ этих данных может решать задачи по извлечению информации.
8.Экономика и банковское дело.
Широкое применение имеет теория риска. Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности. С математической точки зрения она является разделом теории вероятностей, а приложения теории риска практически безграничны. Наиболее продвинута финансовая область приложений: банковское дело и страхование, управление рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-рисками, телекоммуникациям. Развиваются и нефинансовые приложения, связанные с угрозами здоровью, окружающей среде, рисками аварий и экологических катастроф, и другими направлениями.
1. Вероятность и статистика нужны всем
Примеры применения теории вероятностей и математической статистики.
Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим инструментом для решения управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных задач. Так, например, в романе А.Н.Толстого «Хождение по мукам» (т.1) говорится: «мастерская дает двадцать три процента брака, этой цифры вы и держитесь, - сказал Струков Ивану Ильичу».
Как понимать эти слова в разговоре заводских менеджеров? Одна единица продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверно, Струков имел в виду, что в партии большого объема содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос, а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 – 300, или из 100000 – 30000 и т.д., надо ли обвинять Струкова во лжи?
Или другой пример. Монетка, которую используют как жребий, должна быть «симметричной». При ее бросании в среднем в половине случаев должен выпадать герб (орел), а в половине случаев – решетка (решка, цифра). Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает гербом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100000 бросаний окажется 40000 гербов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.
Пример может показаться недостаточно серьезным. Однако это не так. Жеребьевка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и т.п.). Допустим, необходимо сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах, т.е. в маслах состава А и В . При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло состава А , а какие – в масло состава В , но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью жребия.
Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из нее отбирается выборка. По результатам контроля выборки делается заключение о всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е. необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. В производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.
Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности и т.п. Всюду нужна жеребьевка или подобные ей процедуры.
Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал тогда и только тогда, когда до финала у нее не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадет. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя ее в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьевку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4/7. Соответственно с вероятностью 3/7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.
При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра и т.п.) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо сделать многократные измерения единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.
Поэтому встает вопрос, как по результатам измерений узнать, есть л систематическая погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к уже рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты, положительную погрешность – с выпадением герба, отрицательную – решетки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.
Итак, задача проверки отсутствия систематической погрешности сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведенные рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.
При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу р 0 , например, р 0 = 0,23 (вспомните слова Струкова из романа А.Н.Толстого).
| Предыдущая |