При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.
Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.
Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации
Задана функция вида y = f (x) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f (x) d x
Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b - a n и точками a = x 0 < x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Каждый интервал x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Поэтому метод и имеет такое название.
Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол.Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)
При помощи красной линии изображается график функции y = f (x) , синей – приближение графика y = f (x) при помощи квадратичных парабол.
Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Пусть x 2 i - 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Изобразим, что через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.
Имеем, что x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что
a i (x 2 i - 2) 2 + b i · x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i · x 2 i - 1 + c i = f (x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i · x 2 i + c i = f (x 2 i)
Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что
(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить только одна парабола.
Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .
Видно, что
f (x 2 i - 2) = f (0) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i · h 2 + b i · h + c i f (x 2 i) = f (0) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i
Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i
Значит, получаем формулу, используя метод парабол:
∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Определение 1
Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .
Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .
Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол
Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:
- при приближенном вычислении определенного интеграла;
- при нахождении приближенного значения с точностью δ n .
На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.
Пример 1
Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.
Решение
По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f (x) = x x 4 + 4 .
Тогда запишем формулу Симпсона в виде
∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b - a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим
h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5
Найдем значение функции в точках
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795
Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 . 5 | 2 | 2 . 5 |
| f x i | 0 | 0 . 12308 | 0 . 2 | 0 . 16552 | 0 . 1 | 0 . 05806 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 3 | 3 . 5 | 4 | 4 . 5 | 5 |
| f x i | 0 . 03529 | 0 . 02272 | 0 . 01538 | 0 . 01087 | 0 . 00795 |
Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171
Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274
Ответ: Результаты совпадают до сотых.
Пример 2
Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .
Решение
По условию имеем, что а = 0 , b = π , f (x) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001
Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88
Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.
f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " (x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2
Область определения f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу - 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .
Производим подстановку:
n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159
Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .
Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого
h = b - a 2 n = π - 0 2 · 5 = π 10
Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0 . 5 7 π 10
Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650
Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .
При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463
Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237
Замечание
В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f (4) (x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(x j , f
(x j
)), где j
= i
-1; i
-0.5; i
, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:
Проведя интегрирование, получим:
Это и есть формула Симпсона
или формула парабол. На отрезке
[a, b
] формула Симпсона примет вид
Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.
Рис. 10.4. Метод Симпсона
Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:
Тогда формула Симпсона примет вид
Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:
где h·n = b - a , . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O (h 4 ).
Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.
10.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло
Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными , то есть лишенными элемента случайности.
Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла
При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b ] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:
Здесь γ i - случайное число, равномерно распределенное на интервале
. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.
На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).
(2.23)
Рис. 10.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)
Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале , то полученные значения (γ 1, γ 2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
. Здесь S
– число пар точек, попавших под кривую, а N
– общее число пар чисел.
Пример 2.1. Вычислить следующий интеграл:
Поставленная задача была решена различными методами. Полученные результаты сведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Замечание. Выбор табличного интеграла позволил нам сравнить погрешность каждого метода и выяснить влияние числа разбиений на точность вычислений.
11 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для построения формулы Симпсона предварительно рассмотрим такую задачу: вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = Ax 2 + Bx + C, слева прямой х = - h, справа прямой x = h и снизу отрезком [-h; h]. Пусть парабола проходит через три точки (рис.8): D(-h; y 0) E(0; y 1) и F(h; y 2), причем х 2 - х 1 = х 1 - х 0 = h. Следовательно,
x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.
Тогда площадь S равна интегралу:
Выразим эту площадь через h, y 0 , y 1 и y 2 . Для этого вычислим коэффициенты параболы А, В, С. Из условия, что парабола проходит через точки D, E и F, имеем:
Решая эту систему, получаем: C = y 1 ; A =
Подставляя эти значения А и С в (3), получаем искомую площадь
Перейдем теперь к выводу формулы Симпсона для вычисления интеграла
Для этого отрезок интегрирования разобьем на 2n равных частей длиной
В точках деления (рис.4).а = х 0 , х 1 , х 2 , ...,х 2n-2 , x 2n-1 , x 2n = b,
Вчисляем значения подынтегральной функции f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , де y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).
На отрезке подынтегральную функцию заменяем параболой, проходящей через точки (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) и (x 2 ; y 2), и для вычисления приближенного значения интеграла от х 0 до х 2 воспользуемся формулой (4). Тогда (на рис. 4 заштрихованная площадь):
Аналогично находим:
................................................
Сложив полученные равенства, имеем:
Формула (5) называется обобщенной формулой Симпсона или формулой парабол , так как при ее выводе график подынтегральной функции на частичном отрезке длины 2h заменяется дугой параболы.
Задание на работу:
1. По указанию преподавателя или в соответствии с вариантом из Таблицы 4 заданий (см. Приложение) взять условия – подынтегральную функцию, пределы интегрирования.
2. Составить блок-схему программы и программу, которая должна:
Запросить точность вычисления определенного интеграла, нижний и верхний пределы интегрирования;
Вычислить заданный интеграл методами: для вариантов 1,4,7, 10… - правых, для вариантов 2,5,8,… - средних; для вариантов 2,5,8,… - левых прямоугольников. Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;
Вычислить заданный интеграл методом трапеций (для четных вариантов) и методом Симпсона (для нечетных вариантов).
Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;
Вывести значения контрольной функции для заданного значения аргумента и сравнить с вычисленными значениями интеграла. Сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Что такое определенный интеграл?
2. Почему наряду с аналитическими методами используются численные методы вычисления определенных интегралов.
3. В чем заключается сущность основных численных методов вычисления определенных интегралов.
4. Влияние количества разбиений на точность вычисления определенного интеграла численными методами.
5. Как вычислить интеграл любым методом с заданной точностью?
Разобьем отрезок интегрирования [а , b ] на четное число n равных частей с шагом h . На каждом отрезке [х 0, х 2], [х 2, х 4],..., [x i-1, x i+1],..., [x n-2, x n] подынтегральную функцию f (х ) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
Коэффициенты этих квадратных трехчленов можно найти из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки 
:
Сумму элементарных площадей и (рис. 3.3) можно вычислить с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем
- 
Рис. 3.3. Иллюстрация к методу Симпсона
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
(3.35)
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол .
Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а , b ] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. разд. 3.2.6).
Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид
(3.36)
Легко видеть, что формула (3.36) совпадет с (3.35), если формулу (3.35) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h /2.
Пример . Вычислить по методу Симпсона интеграл
Значения функции при n = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3. Применяя формулу (3.35), находим
Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).
Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона показан на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а , b ],погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (x ) .
Рис. 3.4. Алгоритм метода Симпсона
Первоначально отрезок разбивается на две части с шагом h =(b - a)/2. Вычисляется значение интеграла I 1. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение I 2 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде . Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.
Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не используются значения функции f (x ), уже найденные на предыдущем этапе. Более экономичные алгоритмы будут рассмотрены в разд. 3.2.7.
Метод парабол (Симпсона)
Суть метода, формула, оценка погрешности.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и нам требуется вычислить определенный интеграл.
Разобьем отрезок на n элементарных
отрезков [;], i = 1., n длины 2*h = (b-a)/ n точками
a = < < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.
На каждом интервале [;], i = 1,2., n подынтегральная функция
приближается квадратичной параболой y = a* + b*x + c, проходящей через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()). Отсюда и название метода - метод парабол.
Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол .
Вывод Формулы Симпсона.
Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить
Покажем, что через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит только одна квадратичная парабола y = a* + b*x + c. Другими словами, докажем, что коэффициенты, определяются единственным образом.
Так как (; f ()), (; f ()), (; f ()) - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы
Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных, . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда, а он отличен от нуля для несовпадающих точек,. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты, определяются единственным образом, и через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит единственная квадратичная парабола.
Перейдем к нахождению интеграла.
Очевидно:
f () = f(0) = + + =
f () = f(h) = + +
f () = f (2*h) = + +
Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:
= = (++) = h/3*(f ()+4*f ()+f ())
Таким образом, можно получить формулу метода парабол:
Пример метода Симпсона.
Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков
Интеграл, кстати, не берущийся.
Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания - необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью . Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков, чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. На практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.
Начинаю решать. Если у нас два отрезка разбиения, то узлов будет на один больше : , . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:
Вычислим шаг разбиения:
Заполним расчетную таблицу:
В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов
Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования a = = 1.2, а затем последовательно приплюсовываем шаг h = 0.4.
В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если = 1.6, то. Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.
В результате:
Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:
Вычислим шаг разбиения:
Заполним расчетную таблицу:
Таким образом:
Оцениваем погрешность:
Погрешность больше требуемой точности: 0,002165 > 0,001, поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .
Формула Симпсона становится больше:
Вычислим шаг:
И снова заполним расчетную таблицу:
Таким образом:
Заметим, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка:
Оцениваем погрешность:
Погрешность меньше требуемой точности: 0,000247 < 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.