Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I {\displaystyle \mathbb {I} } в полужирном начертании без заливки. Таким образом: I = R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.
О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Иррациональными являются:
Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален , то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} - целое число , а n {\displaystyle n} - натуральное число .
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .История
Античность
Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены [ ] .
Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу . Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок [ ] .
Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение [ ] .
Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.
Пример:
\(4\) - рациональное число,т.к.его можно записать как \(\frac{4}{1}\) ;
\(0,0157304\) - тоже рациональное,т.к.его можно записать в виде \(\frac{157304}{10000000}\) ;
\(0,333(3)…\)-и это рациональное число: можно представить как \(\frac{1}{3}\) ;
\(\sqrt{\frac{3}{12}}\) - рациональное, так как можно представить как \(\frac{1}{2}\) . Действительно, мы можем провести цепочку преобразований \(\sqrt{\frac{3}{12}}\) \(=\)\(\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)Иррациональное число – это число, которое невозможно записать в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.
Невозможно, потому что это бесконечные дроби, да еще и непериодические. Поэтому нет таких целых чисел, которые бы поделившись друг на друга, дали бы иррациональное число.
Пример:
\(\sqrt{2}≈1,414213562…\) -иррациональное число;
\(π≈3,1415926… \) -иррациональное число;
\(\log_{2}{5}≈2,321928…\)-иррациональное число.Пример (Задание из ОГЭ ). Значение, какого из выражений является числом рациональным?
1) \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{7}\);
2)\((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})\);
3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}\) ;
4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}\).Решение:
1) \(\sqrt{18}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 2\cdot 7}=3\sqrt{14}\) – корень из \(14\) взять нельзя, значит и представить число в виде дроби с целыми числами тоже нельзя, следовательно число иррационально.
2) \((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})= (\sqrt{9}^2-\sqrt{14}^2)=9-14=-5\) – корней не осталось, число легко представить в виде дроби, например такой \(\frac{-5}{1}\) , значит оно рациональное.
3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{22}{2}}=\sqrt{\frac{11}{1}}=\sqrt{11}\) –корень нельзя извлечь - число иррациональное.
4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}+3\sqrt{6}=3\sqrt{6}+3\sqrt{6}=6\sqrt{6}\) – тоже иррациональное.
Дробь m/n будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим m ^2=2n ^2. Отсюда заключаем, что m^2, а следом за этим и число m - чётное. т.е. m = 2k . Поэтому m ^2 = 4k ^2 и, следовательно, 4k ^2 =2n ^2, или 2k ^2 = n ^2. Но тогда получается, что и n также чётное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие. Остаётся сделать вывод: наше предположение неверно и рационального числа m/n , равного √2, не существует.»
Вот и всё их доказательство.
Критическая оценка доказательства древних греков
Но…. посмотрим на такое доказательство древних греков несколько критично. И если быть более аккуратным в простой математике, то в нём можно увидеть следующее:1) В принятом у греков рациональном числе m/n числа m и n – целые, но неизвестные (то ли они чётные , то ли они нечётные ). И это так! А чтобы как-то установить между ними какую-либо зависимость, надо точно определиться с их назначением;
2) Когда древние определились с тем, что число m – чётное, то в принятом ими равенстве m = 2k они (умышленно или по незнанию!) не совсем «корректно» охарактеризовали число «k ». А ведь здесь число k – это целое (ЦЕЛОЕ!) и вполне известное число, вполне чётко определяющее найденное чётное число m . И не будь этого найденного числа «k » древние не могли бы в дальнейшем «использовать » и число m ;
3) А когда из равенства 2k ^2 = n ^2 древние получили число n ^2 чётное, а вместе с тем и n – чётное, то им надо было бы не спешить с выводом о «возникшем противоречии », а лучше удостовериться в предельной точности принятого ими «выбора » числа «n ».
А как это можно было им сделать? Да, просто!
Смотрите: из полученного ими равенства 2k ^2 = n ^2 можно было элементарно получить и такое равенство k √2 = n . И здесь никак нет ничего предосудительного – ведь получили же они из равенства m/n =√2 другое адекватное ему равенство m ^2=2n ^2 ! И никто им не перечил!Но зато в новом равенстве k √2 = n при очевидных ЦЕЛЫХ числах k и n видно, что из него всегда получают число √2 - рациональное . Всегда! Поскольку в нём числа k и n - известные ЦЕЛЫЕ!
А вот чтобы из их равенства 2k ^2 = n ^2 и, как следствие этого, из k √2 = n получить число √2 – иррациональное (как того «пожелали » древние греки!), то в них необходимо иметь, как минимум , число «k » в виде нецелого (!!!) числа. А этого у древних греков как раз и НЕТ!
Отсюда и ВЫВОД: вышеприведённое доказательство иррациональности числа √2, сделанное древними греками 2400 лет тому назад, откровенно неверное и математически некорректно, если не сказать грубо – оно просто фальшивое .
В показанной выше небольшой брошюрке Ф-6 (см. фото выше), выпущенной в г. Краснодар (Россия) в 2015 году общим тиражом 15000 экз. (очевидно, со спонсорским вложением) приведено новое, предельно-корректное с точки зрения математики и предельно-верное ]доказательство иррациональности числа √2, которое давно могло бы состояться, не будь жёстких "препо н" к изучению древностей Истории.
Само понятие иррационального числа так устроено, что оно определяется через отрицание свойства "быть рациональным", поэтому доказательство от противного является здесь наиболее естественным. Можно, однако предложить вот какое рассуждение.
Чем отличаются принципиально рациональные числа от иррациональных? Как те, так и другие, можно приблизить рациональными числами с любой заданной точностью, но для рациональных чисел имеется приближение с "нулевой" точностью (самим этим числом), а для иррациональных чисел это уже не так. Попытаемся на этом "сыграть".
Прежде всего, отметим такой простой факт. Пусть $%\alpha$%, $%\beta$% -- два положительных числа, которые приближают друг друга с точностью $%\varepsilon$%, то есть $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Что произойдёт, если мы заменим числа на обратные? Как при этом изменится точность? Легко видеть, что $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac{|\alpha-\beta|}{\alpha\beta}=\frac{\varepsilon}{\alpha\beta},$$ что будет строго меньше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Это утверждение можно рассматривать в качестве самостоятельной леммы.
Теперь положим $%x=\sqrt{2}$%, и пусть $%q\in{\mathbb Q}$% -- рациональное приближение числа $%x$% с точностью $%\varepsilon$%. Мы знаем, что $%x>1$%, а насчёт приближения $%q$% потребуем выполнения неравенства $%q\ge1$%. У всех чисел, меньших $%1$%, точность приближения будет хуже, чем у самой $%1$%, и потому мы не будем их рассматривать.
К каждому из чисел $%x$%, $%q$% прибавим по $%1$%. Очевидно, точность приближения останется той же. Теперь у нас есть числа $%\alpha=x+1$% и $%\beta=q+1$%. Переходя к обратным числам и применяя "лемму", мы придём к выводу, что точность приближения у нас улучшилась, став строго меньше $%\varepsilon$%. Требуемое условие $%\alpha\beta>1$% у нас соблюдено даже с запасом: на самом деле мы знаем, что $%\alpha>2$% и $%\beta\ge2$%, откуда можно сделать вывод, что точность улучшается как минимум в $%4$% раза, то есть не превосходит $%\varepsilon/4$%.
И вот здесь -- основной момент: по условию, $%x^2=2$%, то есть $%x^2-1=1$%, а это значит, что $%(x+1)(x-1)=1$%, то есть числа $%x+1$% и $%x-1$% обратны друг другу. А это означает, что $%\alpha^{-1}=x-1$% будет приближением к (рациональному) числу $%\beta^{-1}=1/(q+1)$% c точностью строго меньше $%\varepsilon$%. Осталось прибавить по $%1$% к этим числам, и окажется, что у числа $%x$%, то есть у $%\sqrt{2}$%, появилось новое рациональное приближение, равное $%\beta^{-1}+1$%, то есть $%(q+2)/(q+1)$%, с "улучшенной" точностью. Это завершает доказательство, так как у рациональных чисел, как мы отмечали выше, существует "абсолютно точное" рациональное приближение с точностью $%\varepsilon=0$%, где точность в принципе повысить нельзя. А мы сумели это сделать, что говорит об иррациональности нашего числа.
Фактически, это рассуждение показывает, как строить конкретные рациональные приближения для $%\sqrt{2}$% со всё улушающейся точностью. Надо сначала взять приближение $%q=1$%, и далее применять одну и ту же формулу замены: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. В ходе этого процесса получается следующее: $$1,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70}$$ и так далее.