Логарифм модуля аналитической функции. Определение и свойства. Доказательство основных формул логарифмов

Определение и свойства

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое texvc можно представить в показательной форме:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k - произвольное целое число

Тогда Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln}\,z находится по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Здесь Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\,r= \ln\,|z| - вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\,z . Иногда через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\, z также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): z - вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): -\infty.

Логарифм отрицательного числа находится по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln ) и общее его выражение (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln} ) для некоторых аргументов:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi - явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k=-1 ). Причина ошибки - неосторожное использование свойства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \log_a{(b^p)} = p~\log_a b , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость . Пусть кривая Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): w кривой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma можно определить по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости , кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2\pi . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (-\pi, \pi] . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}

Для любой окружности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): S , охватывающей точку Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 0 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов .

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью рядов, известных для вещественного случая:

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2}) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2}) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1}) - обратный гиперболический синус Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left(z+\sqrt{z^{2}-1} \right) - обратный гиперболический косинус Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) - обратный гиперболический тангенс Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) - обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \log(-x) = \log(x) , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

Напишите отзыв о статье "Комплексный логарифм"

Литература

Теория логарифмов

Корн Г., Корн Т. . - М .: Наука, 1973. - 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М .: Наука, 1967. - 304 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - изд. 6-е. - М .: Наука, 1966. - 680 с.

История логарифмов

Математика XVIII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1972. - Т. III.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. - М .: Наука, 1981. - Т. II.

Примечания

Логарифмическая функция. // . - М .: Советская Энциклопедия , 1982. - Т. 3.
, Том II, стр. 520-522..
, с. 623..
, с. 92-94..
, с. 45-46, 99-100..
Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. . - М .: Наука, 1982. - С. 112. - (Библиотечка Квант, выпуск 21).
, Том II, стр. 522-526..
, с. 624..
, с. 325-328..
Рыбников К. А. История математики. В двух томах. - М .: Изд. МГУ, 1963. - Т. II. - С. 27, 230-231..
, с. 122-123..
Клейн Ф. . - М .: Наука, 1987. - Т. II. Геометрия. - С. 159-161. - 416 с.

Отрывок, характеризующий Комплексный логарифм

От охватившего нас дикого ужаса мы пулями неслись по широкой долине, даже не подумав о том, что могли бы быстренько уйти на другой «этаж»... У нас просто не было времени об этом подумать – мы слишком сильно перепугались.
Тварь летела прямо над нами, громко щёлкая своим разинутым зубастым клювом, а мы мчались, насколько хватало сил, разбрызгивая в стороны мерзкие слизистые брызги, и мысленно моля, чтобы что-то другое вдруг заинтересовало эту жуткую «чудо-птицу»... Чувствовалось, что она намного быстрее и оторваться от неё у нас просто не было никаких шансов. Как на зло, поблизости не росло ни одно дерево, не было ни кустов, ни даже камней, за которыми можно было бы скрыться, только в дали виднелась зловещая чёрная скала.
– Туда! – показывая пальчиком на ту же скалу, закричала Стелла.
Но вдруг, неожиданно, прямо перед нами откуда-то появилось существо, от вида которого у нас буквально застыла в жилах кровь... Оно возникло как бы «прямо из воздуха» и было по-настоящему ужасающим... Огромную чёрную тушу сплошь покрывали длинные жёсткие волосы, делая его похожим на пузатого медведя, только этот «медведь» был ростом с трёхэтажный дом... Бугристая голова чудовища «венчалась» двумя огромными изогнутыми рогами, а жуткую пасть украшала пара невероятно длинных, острых как ножи клыков, только посмотрев на которые, с перепугу подкашивались ноги... И тут, несказанно нас удивив, монстр легко подпрыгнул вверх и....подцепил летящую «гадость» на один из своих огромных клыков... Мы ошарашено застыли.
– Бежим!!! – завизжала Стелла. – Бежим, пока он «занят»!..
И мы уже готовы были снова нестись без оглядки, как вдруг за нашими спинами прозвучал тоненький голосок:
– Девочки, постойте!!! Не надо убегать!.. Дин спас вас, он не враг!
Мы резко обернулись – сзади стояла крохотная, очень красивая черноглазая девочка... и спокойно гладила подошедшее к ней чудовище!.. У нас от удивления глаза полезли на лоб... Это было невероятно! Уж точно – это был день сюрпризов!.. Девочка, глядя на нас, приветливо улыбалась, совершенно не боясь рядом стоящего мохнатого чудища.
– Пожалуйста, не бойтесь его. Он очень добрый. Мы увидели, что за вами гналась Овара и решили помочь. Дин молодчина, успел вовремя. Правда, мой хороший?
«Хороший» заурчал, что прозвучало как лёгкое землетрясение и, нагнув голову, лизнул девочку в лицо.
– А кто такая Овара, и почему она на нас напала? – спросила я.
– Она нападает на всех, она – хищник. И очень опасна, – спокойно ответила девчушка. – А можно спросить, что вы здесь делаете? Вы ведь не отсюда, девочки?
– Нет, не отсюда. Мы просто гуляли. Но такой же вопрос к тебе – а, что ты здесь делаешь?
Я к маме хожу... – погрустнела малышка. – Мы умерли вместе, но почему-то она попала сюда. И вот теперь я живу здесь, но я ей этого не говорю, потому что она никогда с этим не согласится. Она думает, что я только прихожу...
– А не лучше ли и вправду только приходить? Здесь ведь так ужасно!.. – передёрнула плечиками Стелла.
– Я не могу её оставить здесь одну, я за ней смотрю, чтобы с ней ничего не случилось. И вот Дин со мной... Он мне помогает.
Я просто не могла этому поверить... Эта малюсенькая храбрая девчушка добровольно ушла со своего красивого и доброго «этажа», чтобы жить в этом холодном, ужасном и чужом мире, защищая свою, чем-то сильно «провинившуюся», мать! Не много, думаю, нашлось бы столь храбрых и самоотверженных (даже взрослых!) людей, которые решились бы на подобный подвиг... И я тут же подумала – может, она просто не понимала, на что собиралась себя обречь?!
– А как давно ты здесь, девочка, если не секрет?
– Недавно... – грустно ответила, теребя пальчиками чёрный локон своих кудрявых волос, черноглазая малышка. – Я попала в такой красивый мир, когда умерла!.. Он был таким добрым и светлым!.. А потом я увидела, что мамы со мной нет и кинулась её искать. Сначала было так страшно! Её почему-то нигде не было... И вот тогда я провалилась в этот ужасный мир... И тут её нашла. Мне было так жутко здесь... Так одиноко... Мама велела мне уходить, даже ругала. Но я не могу её оставить... Теперь у меня появился друг, мой добрый Дин, и я уже могу здесь как-то существовать.
Её «добрый друг» опять зарычал, от чего у нас со Стеллой поползли огромные «нижнеастральные» мурашки... Собравшись, я попыталась немного успокоиться, и начала присматриваться к этому мохнатому чуду... А он, сразу же почувствовав, что на него обратили внимание, жутко оскалил свою клыкастую пасть... Я отскочила.
– Ой, не бойтесь пожалуйста! Это он вам улыбается, – «успокоила» девчушка.
Да уж... От такой улыбки быстро бегать научишься... – про себя подумала я.
– А как же случилось, что ты с ним подружилась? – спросила Стелла.
– Когда я только сюда пришла, мне было очень страшно, особенно, когда нападали такие чудища, как на вас сегодня. И вот однажды, когда я уже чуть не погибла, Дин спас меня от целой кучи жутких летающих «птиц». Я его тоже испугалась вначале, но потом поняла, какое у него золотое сердце... Он самый лучший друг! У меня таких никогда не было, даже когда я жила на Земле.
– А как же ты к нему так быстро привыкла? У него внешность ведь не совсем, скажем так, привычная...
– А я поняла здесь одну очень простую истину, которую на Земле почему-то и не замечала – внешность не имеет значения, если у человека или существа доброе сердце... Моя мама была очень красивой, но временами и очень злой тоже. И тогда вся её красота куда-то пропадала... А Дин, хоть и страшный, но зато, всегда очень добрый, и всегда меня защищает, я чувствую его добро и не боюсь ничего. А к внешности можно привыкнуть...
– А ты знаешь, что ты будешь здесь очень долго, намного дольше, чем люди живут на Земле? Неужели ты хочешь здесь остаться?..
– Здесь моя мама, значит, я должна ей помочь. А когда она «уйдёт», чтобы снова жить на Земле – я тоже уйду... Туда, где добра побольше. В этом страшном мире и люди очень странные – как будто они и не живут вообще. Почему так? Вы что-то об этом знаете?
– А кто тебе сказал, что твоя мама уйдёт, чтобы снова жить? – заинтересовалась Стелла.
– Дин, конечно. Он многое знает, он ведь очень долго здесь живёт. А ещё он сказал, что когда мы (я и мама) снова будем жить, у нас семьи будут уже другие. И тогда у меня уже не будет этой мамы... Вот потому я и хочу с ней сейчас побыть.
– А как ты с ним говоришь, со своим Дином? – спросила Стелла. – И почему ты не желаешь нам сказать своё имя?
А ведь и правда – мы до сих пор не знали, как её зовут! И откуда она – тоже не знали...
– Меня звали Мария... Но разве здесь это имеет значение?
– Ну, конечно же! – рассмеялась Стелла. – А как же с тобой общаться? Вот когда уйдёшь – там тебе новое имя нарекут, а пока ты здесь, придётся жить со старым. А ты здесь с кем-то ещё говорила, девочка Мария? – по привычке перескакивая с темы на тему, спросила Стелла.
– Да, общалась... – неуверенно произнесла малышка. – Но они здесь такие странные. И такие несчастные... Почему они такие несчастные?
– А разве то, что ты здесь видишь, располагает к счастью? – удивилась её вопросу я. – Даже сама здешняя «реальность», заранее убивает любые надежды!.. Как же здесь можно быть счастливым?
– Не знаю. Когда я с мамой, мне кажется, я и здесь могла бы быть счастливой... Правда, здесь очень страшно, и ей здесь очень не нравится... Когда я сказала, что согласна с ней остаться, она на меня сильно накричала и сказала, что я её «безмозглое несчастье»... Но я не обижаюсь... Я знаю, что ей просто страшно. Так же, как и мне...
– Возможно, она просто хотела тебя уберечь от твоего «экстремального» решения, и хотела, только лишь, чтобы ты пошла обратно на свой «этаж»? – осторожно, чтобы не обидеть, спросила Стелла.
– Нет, конечно же... Но спасибо вам за хорошие слова. Мама часто называла меня не совсем хорошими именами, даже на Земле... Но я знаю, что это не со злости. Она просто была несчастной оттого, что я родилась, и часто мне говорила, что я разрушила ей жизнь. Но это ведь не была моя вина, правда же? Я всегда старалась сделать её счастливой, но почему-то мне это не очень-то удавалось... А папы у меня никогда не было. – Мария была очень печальной, и голосок у неё дрожал, как будто она вот-вот заплачет.
Мы со Стеллой переглянулись, и я была почти уверенна, что её посетили схожие мысли... Мне уже сейчас очень не нравилась эта избалованная, эгоистичная «мама», которая вместо того, чтобы самой беспокоиться о своём ребёнке, его же героическую жертву совершенно не понимала и, в придачу, ещё больно обижала.
– А вот Дин говорит, что я хорошая, и что я делаю его очень счастливым! – уже веселее пролепетала малышка. – И он хочет со мной дружить. А другие, кого я здесь встречала, очень холодные и безразличные, а иногда даже и злые... Особенно те, у кого монстры прицеплены...
– Монстры – что?.. – не поняли мы.
– Ну, у них страшенные чудища на спинах сидят, и говорят им, что они должны делать. А если те не слушают – чудища над ними страшно издеваются... Я попробовала поговорить с ними, но эти монстры не разрешают.
Мы абсолютно ничего из этого «объяснения» не поняли, но сам факт, что какие-то астральные существа истязают людей, не мог остаться нами не «исследованным», поэтому, мы тут же её спросили, как мы можем это удивительное явление увидеть.
– О, да везде! Особенно у «чёрной горы». Во-он там, за деревьями. Хотите, мы тоже с вами пойдём?
– Конечно, мы только рады будем! – сразу же ответила обрадованная Стелла.
Мне тоже, если честно, не очень-то улыбалась перспектива встречаться с кем-то ещё, «жутким и непонятным», особенно в одиночку. Но интерес перебарывал страх, и мы, конечно же, пошли бы, несмотря на то, что немного побаивались... Но когда с нами шёл такой защитник как Дин – сразу же становилось веселее...
И вот, через короткое мгновение, перед нашими широко распахнутыми от изумления глазами развернулся настоящий Ад... Видение напоминало картины Боша (или Боска, в зависимости от того, на каком языке переводить), «сумасшедшего» художника, который потряс однажды своим искусством весь мир... Сумасшедшим он, конечно же, не был, а являлся просто видящим, который почему-то мог видеть только нижний Астрал. Но надо отдать ему должное – изображал он его великолепно... Я видела его картины в книге, которая была в библиотеке моего папы, и до сих пор помнила то жуткое ощущение, которое несли в себе большинство из его картин...
– Ужас какой!.. – прошептала потрясённая Стелла.
Можно, наверное, было бы сказать, что мы видели здесь, на «этажах», уже многое... Но такого даже мы не в состоянии были вообразить в самом жутком нашем кошмаре!.. За «чёрной скалой» открылось что-то совершенно немыслимое... Это было похоже на огромный, выбитый в скале, плоский «котёл», на дне которого пузырилась багровая «лава»... Раскалённый воздух «лопался» повсюду странными вспыхивающими красноватыми пузырями, из которых вырывался обжигающий пар и крупными каплями падал на землю, или на попавших в тот момент под него людей... Раздавались душераздирающие крики, но тут же смолкали, так как на спинах тех же людей восседали омерзительнейшие твари, которые с довольным видом «управляли» своими жертвами, не обращая ни малейшего внимания на их страдания... Под обнажёнными ступнями людей краснели раскалённые камни, пузырилась и «плавилась» пышущая жаром багровая земля... Сквозь огромные трещины прорывались выплески горячего пара и, обжигая ступни рыдающим от боли людским сущностям, уносились в высь, испаряясь лёгким дымком... А по самой середине «котлована» протекала ярко красная, широкая огненная река, в которую, время от времени, те же омерзительные монстры неожиданно швыряли ту или иную измученную сущность, которая, падая, вызывала лишь короткий всплеск оранжевых искр, и тут же, превратившись на мгновение в пушистое белое облачко, исчезала... уже навсегда... Это был настоящий Ад, и нам со Стеллой захотелось как можно скорее оттуда «исчезнуть»...
– Что будем делать?.. – в тихом ужасе прошептала Стелла. – Ты хочешь туда спускаться? Разве мы чем-то можем им помочь? Посмотри, как их много!..
Мы стояли на чёрно-буром, высушенном жаром обрыве, наблюдая простиравшееся внизу, залитое ужасом «месиво» боли, безысходности, и насилия, и чувствовали себя настолько по-детски бессильными, что даже моя воинственная Стелла на этот раз безапелляционно сложила свои взъерошенные «крылышки» и готова была по первому же зову умчаться на свой, такой родной и надёжный, верхний «этаж»...

Показательная функция вещественной переменной (при положительном основании) определяется в несколько приемов. Сперва, для натуральных значений - как произведение равных сомножителей. Затем определение распространяется на целые отрицательные и ненулевое значения для по правилам . Далее рассматриваются дробные показатели, при которых значение показательной функции определяется при помощи корней: . Для иррациональных значений определение связано уже с основным понятием математического анализа - с предельным переходом, из соображений непрерывности. Все эти соображения никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, - совершенно непонятно.

Впервые степень с комплексным показателем при натуральном основании была введена Эйлером на основе анализа ряда построений интегрального исчисления. Иногда очень похожие алгебраические выражения при интегрировании дают совершенно разные ответы:

В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене на

Отсюда можно сделать заключение, что при надлежащем определении показательной функции с комплексным показателем обратные тригонометрические функции родственны логарифмам и тем самым показательная функция связана с тригонометрическими.

У Эйлера хватило смелости и фантазии дать разумное определение для показательной функции с основанием , именно,

Это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения. Математический анализ доставляет очень много доводов этого рода. Мы ограничимся лишь одним.

Известно, что при вещественном имеет место предельное соотношение: . В правой части находится многочлен, имеющий смысл и при комплексных значениях для . Предел последовательности комплексных чисел определяется естественным образом. Последовательность считается сходящейся, если сходятся последовательности вещественных и мнимых частей и принимается

Найдем . Для этого обратимся к тригонометрической форме причем для аргумента будем выбирать значения из промежутка . При таком выборе ясно, что ибо . Далее,

Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для и и найти эти пределы. Ясно, что и

Итак, в выражении

вещественная часть стремится к , мнимая - к так что

Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции.

Установим теперь, что при умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно:

2. Формулы Эйлера.

Положим в определении показательной функции . Получим:

Заменив b на -b, получим

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы

носящие название формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.

3. Натуральный логарифм комплексного числа.

Комплексное число, заданное в тригонометрической форме можно записать в форме Эта форма записи комплексного числа называется показательной. Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еще более краткая. Далее, Поэтому естественно считать, что так что вещественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью - его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента - аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Определение и свойства

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое $z$ можно представить в показательной форме:

$z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;,$ где $k$ - произвольное целое число

Тогда $\mathrm{Ln}\,z$ находится по формуле :

$\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)$

Здесь $\ln\,r= \ln\,|z|$ - вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

\mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма ( $\ln$ ) и общее его выражение ( $\mathrm{Ln}$ ) для некоторых аргументов:

$\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i$ $\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi$ $\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi$

$i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi$ - явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви ( $k=-1$ ). Причина ошибки - неосторожное использование свойства $\log_a{(b^p)} = p~\log_a b$ , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки $0$ .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость . Пусть кривая $\Gamma$ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке $w$ кривой $\Gamma$ можно определить по формуле :

$\ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}$

Если $\Gamma$ - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

$\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma$

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости , кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на $2\pi$ . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом $(-\pi, \pi]$ . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой $\Gamma$ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма :

$\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}$

Для любой окружности $S$ , охватывающей точку $0$ :

$\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i$

{{{2}}}

(Ряд 1)

{{{2}}}

(Ряд 2)

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})

\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2})

\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)

\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)

\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})

- обратный гиперболический синус

\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left(z+\sqrt{z^{2}-1} \right)

- обратный гиперболический косинус

\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)

- обратный гиперболический тангенс

\operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)

- обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить $\log(-x) = \log(x)$ , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

Напишите отзыв о статье "Комплексный логарифм"

Литература

Теория логарифмов

Корн Г., Корн Т. . - М .: Наука, 1973. - 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М .: Наука, 1967. - 304 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - изд. 6-е. - М .: Наука, 1966. - 680 с.

История логарифмов

Математика XVIII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1972. - Т. III.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. - М .: Наука, 1981. - Т. II.

Примечания

Логарифмическая функция. // . - М .: Советская Энциклопедия , 1982. - Т. 3.
, Том II, стр. 520-522..
, с. 623..
, с. 92-94..
, с. 45-46, 99-100..
Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. . - М .: Наука, 1982. - С. 112. - (Библиотечка Квант, выпуск 21).
, Том II, стр. 522-526..
, с. 624..
, с. 325-328..
Рыбников К. А. История математики. В двух томах. - М .: Изд. МГУ, 1963. - Т. II. - С. 27, 230-231..
, с. 122-123..
Клейн Ф. . - М .: Наука, 1987. - Т. II. Геометрия. - С. 159-161. - 416 с.

Отрывок, характеризующий Комплексный логарифм

Видно было, что этот сильный, странный мужчина находился под неотразимым влиянием, производимым на него этой черненькой, грациозной, любящей другого девочкой.
Ростов замечал что то новое между Долоховым и Соней; но он не определял себе, какие это были новые отношения. «Они там все влюблены в кого то», думал он про Соню и Наташу. Но ему было не так, как прежде, ловко с Соней и Долоховым, и он реже стал бывать дома.
С осени 1806 года опять всё заговорило о войне с Наполеоном еще с большим жаром, чем в прошлом году. Назначен был не только набор рекрут, но и еще 9 ти ратников с тысячи. Повсюду проклинали анафемой Бонапартия, и в Москве только и толков было, что о предстоящей войне. Для семейства Ростовых весь интерес этих приготовлений к войне заключался только в том, что Николушка ни за что не соглашался оставаться в Москве и выжидал только конца отпуска Денисова с тем, чтобы с ним вместе ехать в полк после праздников. Предстоящий отъезд не только не мешал ему веселиться, но еще поощрял его к этому. Большую часть времени он проводил вне дома, на обедах, вечерах и балах.

ХI
На третий день Рождества, Николай обедал дома, что в последнее время редко случалось с ним. Это был официально прощальный обед, так как он с Денисовым уезжал в полк после Крещенья. Обедало человек двадцать, в том числе Долохов и Денисов.
Никогда в доме Ростовых любовный воздух, атмосфера влюбленности не давали себя чувствовать с такой силой, как в эти дни праздников. «Лови минуты счастия, заставляй себя любить, влюбляйся сам! Только это одно есть настоящее на свете – остальное всё вздор. И этим одним мы здесь только и заняты», – говорила эта атмосфера. Николай, как и всегда, замучив две пары лошадей и то не успев побывать во всех местах, где ему надо было быть и куда его звали, приехал домой перед самым обедом. Как только он вошел, он заметил и почувствовал напряженность любовной атмосферы в доме, но кроме того он заметил странное замешательство, царствующее между некоторыми из членов общества. Особенно взволнованы были Соня, Долохов, старая графиня и немного Наташа. Николай понял, что что то должно было случиться до обеда между Соней и Долоховым и с свойственною ему чуткостью сердца был очень нежен и осторожен, во время обеда, в обращении с ними обоими. В этот же вечер третьего дня праздников должен был быть один из тех балов у Иогеля (танцовального учителя), которые он давал по праздникам для всех своих учеников и учениц.
– Николенька, ты поедешь к Иогелю? Пожалуйста, поезжай, – сказала ему Наташа, – он тебя особенно просил, и Василий Дмитрич (это был Денисов) едет.
– Куда я не поеду по приказанию г"афини! – сказал Денисов, шутливо поставивший себя в доме Ростовых на ногу рыцаря Наташи, – pas de chale [танец с шалью] готов танцовать.
– Коли успею! Я обещал Архаровым, у них вечер, – сказал Николай.
– А ты?… – обратился он к Долохову. И только что спросил это, заметил, что этого не надо было спрашивать.
– Да, может быть… – холодно и сердито отвечал Долохов, взглянув на Соню и, нахмурившись, точно таким взглядом, каким он на клубном обеде смотрел на Пьера, опять взглянул на Николая.
«Что нибудь есть», подумал Николай и еще более утвердился в этом предположении тем, что Долохов тотчас же после обеда уехал. Он вызвал Наташу и спросил, что такое?
– А я тебя искала, – сказала Наташа, выбежав к нему. – Я говорила, ты всё не хотел верить, – торжествующе сказала она, – он сделал предложение Соне.
Как ни мало занимался Николай Соней за это время, но что то как бы оторвалось в нем, когда он услыхал это. Долохов был приличная и в некоторых отношениях блестящая партия для бесприданной сироты Сони. С точки зрения старой графини и света нельзя было отказать ему. И потому первое чувство Николая, когда он услыхал это, было озлобление против Сони. Он приготавливался к тому, чтобы сказать: «И прекрасно, разумеется, надо забыть детские обещания и принять предложение»; но не успел он еще сказать этого…
– Можешь себе представить! она отказала, совсем отказала! – заговорила Наташа. – Она сказала, что любит другого, – прибавила она, помолчав немного.
«Да иначе и не могла поступить моя Соня!» подумал Николай.
– Сколько ее ни просила мама, она отказала, и я знаю, она не переменит, если что сказала…
– А мама просила ее! – с упреком сказал Николай.
– Да, – сказала Наташа. – Знаешь, Николенька, не сердись; но я знаю, что ты на ней не женишься. Я знаю, Бог знает отчего, я знаю верно, ты не женишься.
– Ну, этого ты никак не знаешь, – сказал Николай; – но мне надо поговорить с ней. Что за прелесть, эта Соня! – прибавил он улыбаясь.
– Это такая прелесть! Я тебе пришлю ее. – И Наташа, поцеловав брата, убежала.
Через минуту вошла Соня, испуганная, растерянная и виноватая. Николай подошел к ней и поцеловал ее руку. Это был первый раз, что они в этот приезд говорили с глазу на глаз и о своей любви.
– Sophie, – сказал он сначала робко, и потом всё смелее и смелее, – ежели вы хотите отказаться не только от блестящей, от выгодной партии; но он прекрасный, благородный человек… он мой друг…
Соня перебила его.
– Я уж отказалась, – сказала она поспешно.
– Ежели вы отказываетесь для меня, то я боюсь, что на мне…
Соня опять перебила его. Она умоляющим, испуганным взглядом посмотрела на него.
– Nicolas, не говорите мне этого, – сказала она.
– Нет, я должен. Может быть это suffisance [самонадеянность] с моей стороны, но всё лучше сказать. Ежели вы откажетесь для меня, то я должен вам сказать всю правду. Я вас люблю, я думаю, больше всех…
– Мне и довольно, – вспыхнув, сказала Соня.
– Нет, но я тысячу раз влюблялся и буду влюбляться, хотя такого чувства дружбы, доверия, любви, я ни к кому не имею, как к вам. Потом я молод. Мaman не хочет этого. Ну, просто, я ничего не обещаю. И я прошу вас подумать о предложении Долохова, – сказал он, с трудом выговаривая фамилию своего друга.
– Не говорите мне этого. Я ничего не хочу. Я люблю вас, как брата, и всегда буду любить, и больше мне ничего не надо.
– Вы ангел, я вас не стою, но я только боюсь обмануть вас. – Николай еще раз поцеловал ее руку.

У Иогеля были самые веселые балы в Москве. Это говорили матушки, глядя на своих adolescentes, [девушек,] выделывающих свои только что выученные па; это говорили и сами adolescentes и adolescents, [девушки и юноши,] танцовавшие до упаду; эти взрослые девицы и молодые люди, приезжавшие на эти балы с мыслию снизойти до них и находя в них самое лучшее веселье. В этот же год на этих балах сделалось два брака. Две хорошенькие княжны Горчаковы нашли женихов и вышли замуж, и тем еще более пустили в славу эти балы. Особенного на этих балах было то, что не было хозяина и хозяйки: был, как пух летающий, по правилам искусства расшаркивающийся, добродушный Иогель, который принимал билетики за уроки от всех своих гостей; было то, что на эти балы еще езжали только те, кто хотел танцовать и веселиться, как хотят этого 13 ти и 14 ти летние девочки, в первый раз надевающие длинные платья. Все, за редкими исключениями, были или казались хорошенькими: так восторженно они все улыбались и так разгорались их глазки. Иногда танцовывали даже pas de chale лучшие ученицы, из которых лучшая была Наташа, отличавшаяся своею грациозностью; но на этом, последнем бале танцовали только экосезы, англезы и только что входящую в моду мазурку. Зала была взята Иогелем в дом Безухова, и бал очень удался, как говорили все. Много было хорошеньких девочек, и Ростовы барышни были из лучших. Они обе были особенно счастливы и веселы. В этот вечер Соня, гордая предложением Долохова, своим отказом и объяснением с Николаем, кружилась еще дома, не давая девушке дочесать свои косы, и теперь насквозь светилась порывистой радостью.
Наташа, не менее гордая тем, что она в первый раз была в длинном платье, на настоящем бале, была еще счастливее. Обе были в белых, кисейных платьях с розовыми лентами.
Наташа сделалась влюблена с самой той минуты, как она вошла на бал. Она не была влюблена ни в кого в особенности, но влюблена была во всех. В того, на кого она смотрела в ту минуту, как она смотрела, в того она и была влюблена.
– Ах, как хорошо! – всё говорила она, подбегая к Соне.
Николай с Денисовым ходили по залам, ласково и покровительственно оглядывая танцующих.
– Как она мила, к"асавица будет, – сказал Денисов.
– Кто?
– Г"афиня Наташа, – отвечал Денисов.
– И как она танцует, какая г"ация! – помолчав немного, опять сказал он.
– Да про кого ты говоришь?
– Про сест"у п"о твою, – сердито крикнул Денисов.
Ростов усмехнулся.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, – сказал маленький Иогель, подходя к Николаю. – Voyez combien de jolies demoiselles. [Любезный граф, вы один из лучших моих учеников. Вам надо танцовать. Посмотрите, сколько хорошеньких девушек!] – Он с тою же просьбой обратился и к Денисову, тоже своему бывшему ученику.
– Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Нет, мой милый, я посижу у стенки,] – сказал Денисов. – Разве вы не помните, как дурно я пользовался вашими уроками?
– О нет! – поспешно утешая его, сказал Иогель. – Вы только невнимательны были, а вы имели способности, да, вы имели способности.
Заиграли вновь вводившуюся мазурку; Николай не мог отказать Иогелю и пригласил Соню. Денисов подсел к старушкам и облокотившись на саблю, притопывая такт, что то весело рассказывал и смешил старых дам, поглядывая на танцующую молодежь. Иогель в первой паре танцовал с Наташей, своей гордостью и лучшей ученицей. Мягко, нежно перебирая своими ножками в башмачках, Иогель первым полетел по зале с робевшей, но старательно выделывающей па Наташей. Денисов не спускал с нее глаз и пристукивал саблей такт, с таким видом, который ясно говорил, что он сам не танцует только от того, что не хочет, а не от того, что не может. В середине фигуры он подозвал к себе проходившего мимо Ростова.
– Это совсем не то, – сказал он. – Разве это польская мазу"ка? А отлично танцует. – Зная, что Денисов и в Польше даже славился своим мастерством плясать польскую мазурку, Николай подбежал к Наташе:
– Поди, выбери Денисова. Вот танцует! Чудо! – сказал он.
Когда пришел опять черед Наташе, она встала и быстро перебирая своими с бантиками башмачками, робея, одна пробежала через залу к углу, где сидел Денисов. Она видела, что все смотрят на нее и ждут. Николай видел, что Денисов и Наташа улыбаясь спорили, и что Денисов отказывался, но радостно улыбался. Он подбежал.
– Пожалуйста, Василий Дмитрич, – говорила Наташа, – пойдемте, пожалуйста.
– Да, что, увольте, г"афиня, – говорил Денисов.
– Ну, полно, Вася, – сказал Николай.
– Точно кота Ваську угова"ивают, – шутя сказал Денисов.
– Целый вечер вам буду петь, – сказала Наташа.
– Волшебница всё со мной сделает! – сказал Денисов и отстегнул саблю. Он вышел из за стульев, крепко взял за руку свою даму, приподнял голову и отставил ногу, ожидая такта. Только на коне и в мазурке не видно было маленького роста Денисова, и он представлялся тем самым молодцом, каким он сам себя чувствовал. Выждав такт, он с боку, победоносно и шутливо, взглянул на свою даму, неожиданно пристукнул одной ногой и, как мячик, упруго отскочил от пола и полетел вдоль по кругу, увлекая за собой свою даму. Он не слышно летел половину залы на одной ноге, и, казалось, не видел стоявших перед ним стульев и прямо несся на них; но вдруг, прищелкнув шпорами и расставив ноги, останавливался на каблуках, стоял так секунду, с грохотом шпор стучал на одном месте ногами, быстро вертелся и, левой ногой подщелкивая правую, опять летел по кругу. Наташа угадывала то, что он намерен был сделать, и, сама не зная как, следила за ним – отдаваясь ему. То он кружил ее, то на правой, то на левой руке, то падая на колена, обводил ее вокруг себя, и опять вскакивал и пускался вперед с такой стремительностью, как будто он намерен был, не переводя духа, перебежать через все комнаты; то вдруг опять останавливался и делал опять новое и неожиданное колено. Когда он, бойко закружив даму перед ее местом, щелкнул шпорой, кланяясь перед ней, Наташа даже не присела ему. Она с недоуменьем уставила на него глаза, улыбаясь, как будто не узнавая его. – Что ж это такое? – проговорила она.
Несмотря на то, что Иогель не признавал эту мазурку настоящей, все были восхищены мастерством Денисова, беспрестанно стали выбирать его, и старики, улыбаясь, стали разговаривать про Польшу и про доброе старое время. Денисов, раскрасневшись от мазурки и отираясь платком, подсел к Наташе и весь бал не отходил от нее.

В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене на

Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для и и найти эти пределы. Ясно, что и

Итак, в выражении

вещественная часть стремится к , мнимая - к так что

Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции.

Установим теперь, что при умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно:

2. Формулы Эйлера.

Положим в определении показательной функции . Получим:

Заменив b на -b, получим

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы