Лекция
По дисциплине «Инженерная графика»
Раздел. 1 Начертательная геометрия
Составитель: Шагвалеева.Г.Н.
Введение.
Начертательную геометрию называют также теорией изображений. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур на плоском чертеже и способов решения пространственных геометрических задач на плоском чертеже. Стереометрические (трехмерные) объекты обсуждаются в ней с помощью планиметрических (двухмерных) изображений этих объектов, проекций.
Говорят, что чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.
Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций .
Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов, способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками.
Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г. Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов.
Принятые обозначения.
А, В, С, D, -точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита;
a, b, с, d - линии - строчными буквами латинского алфавита;
p 1 – горизонтальная плоскость проекций,
p 2 – фронтальная плоскость проекций,
p 3 - профильная плоскость проекций,
p 4 , p 5 , ... - дополнительные плоскости проекций.
Плоскости
Оси проекций - строчными буквами латинского алфавита: х, y и z. Начало координат - цифрой 0.
Проекции точек, прямых, плоскостей обозначаются: на p 1 с одним штрихом, на p 2 с двумя, на p 3 – с тремя штрихами.
p 1 – А I , В I , C I ,..., a I , b I , ... ,a I , b I ,
p 2 – А II , В II , C II ,..., a II , b II , ... ,a II , b II ,
p 3 – А III , В III , C III ,..., a III , b III , ... ,a III , b III .
Образование проекций.
1 Центральное проецирование .
Аппарат центрального проецирования состоит из центра проецирования S, плоскости проекций π, проецирующих лучей.
π 1 - плоскость проекций
S – центр проецирования
A, B, C - точки в пространстве
A", B", C" - проекции точек на плоскость π"
Проекция – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.
2. Параллельное проецирование.
Проецирующие лучи проводятся параллельно S и друг другу. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. При косоугольном проецировании лучи расположены под углом к проецирующей плоскости.
При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.3). Прямоугольное проецирование является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей
Основные свойства ортогонального проецирования
1. Проекция точки - есть точка;
2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия или точка(прямая перпендикулярна плоскости проекций);
3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А l ® A" l";
4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;
5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";
6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А"B": C"D"
7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).
Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.
Самый употребительный на практике метод начертательной геометрии предложил Гаспар Монж. В основе этого метода лежит ортогональное проектирование.
Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки А на плоскость π 1 называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость π 1 (рис.1.5)
Получаемый при этом на плоскости π 1 чертеж необратим, соответствие между оригиналом А и проекцией A" однозначно только в одну сторону: от оригинала к проекции. Оригиналу соответствует единственная проекция, оригиналом чертеж определен однозначно, но для проекции A" существует бесчисленное множество соответствующих ей оригиналов, а именно все точки проецирующей прямой A A". Точный перевод с языка чертежа на язык натуры невозможен. Поэтому Монж вводит вторую плоскость проекций.
Рис. 1.6. Рис.1. 7.
На рис. 6. изображена прямоугольная система координат.
Совмещая теперь плоскости π 1 и π 2 с построенными в них проекциями поворотом π 1 вокруг оси Х на 90 0 так, чтобы передняя полуплоскость π 1 совпала с нижней полуплоскостью π 2 , получаем комплексный чертеж точки или эпюр Монжа . (рис. 1.7).
Построенный по таким правилам чертеж, состоящий из пары проекций, расположенных в проекционной связи, обратим , то есть соответствие между оригиналом и чертежом однозначно в обе стороны. Или иначе говоря, чертеж дает исчерпывающую информацию об оригинале. Расшифровка этой информации и составляет предмет начертательной геометрии.
Из комплексного чертежа точки можно сделать выводы:
1. две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве;
2. проекции точек всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции.
Линии, соединяющие проекции точек, называются линиями связи и изображаются сплошными тонкими линиями.
В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему π 1 (горизонтальная плоскость) π 2 (Фронтальная плоскость) и другие плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная и к π 1 и к π 1, - это профильная плоскость. π 3 . Линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей дают ось Х, линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей дают ось У, и линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей – ось Z. (рис.1. 8)
Чтобы получить комплексный чертеж точки необходимо расположить три плоскости в одной, для чего «разрезаем» ось У и совмещаем три основные плоскости проекций в одну (рис.1. 9).
Новой информации об оригинале третья проекция не добавляет. Она лишь делает имеющуюся информацию более удобоваримой. (Рис. 1.10)
Расстояние от точки А до плоскости π 3 (А A"") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AY = A"A Z = A X 0 = X
Расстояние от точки А до плоскости π 2 (А A") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AX = A""A Z = A Y 0 = Y
Расстояние от точки А до плоскости π 1 (А A") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AX = A""A Y = A Z 0 = Z
Пример. Построить проекции точек А(10, 10,30), В(30,20,10)
Конкурирующие точки .
Точки, у которых совпадает одна пара одноименных проекций (а другие не совпадают), называются конкурирующими точками.
Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция B" ближе к наблюдателю, чем A", и на π 2 видимой будет проекция B"" а проекция А"" будет невидимой (рис. 1.12).
Понятие «выше-ниже »
Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция А"" ближе к наблюдателю, чем В"", и на π 1 видимой будет проекция А" а проекция В" будет невидимой (рис. 1.13).
Сущность этого метода заключается в следующем: положение точек линий плоских фигур поверхностей в пространстве не изменяется а система П1 П2 заменяется дополняется плоскостями образующими с П1 или П2 или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей принимаемых за плоскости проекций. Если введение одной плоскости П4 или П5 не позволяет решить задачу то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми П6 П7 и т. показано преобразование проекций точки А из системы П2 П1 в систему П4...
Поделитесь работой в социальных сетях
Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск
Лекция 7
Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)
7.1. Четыре основных задачи на преобразование
При разработке чертежей объектов необходимо давать наиболее выгодное изображение объекта в целом или его исследуемых элементов. Этого можно достичь, если прямые линии, плоские фигуры (основания, грани, ребра, оси) геометрических тел находятся в частном положении, чего можно достигнуть путем построения новых дополнительных проекций, исходя из двух заданных. Эти дополнительные проекции дают либо вырожденные проекции отдельных элементов, либо эти элементы в натуральную величину. Так вот построение дополнительных проекций называют преобразованием эпюра (чертежа).
Четыре основных задачи на преобразования.
- Определение величины отрезка АВ общего положения;
- Приведение отрезка прямой общего положения в проецирующее положение;
- Приведение плоской фигуры общего положение в проецирующее положение;
- Определение натурального вида плоской фигуры.
Кроме указанных выше задач указанным методом можно определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Преобразование эпюра может быть выполнено следующими методами:
- заменой плоскостей проекций;
- плоскопараллельным перемещением;
- вращением вокруг линий уровня;
- совмещением.
Рассмотрим эти методы подробно.
7.2. Метод замены (перемены) плоскостей проекций
Этот метод широко применяют во всех отраслях машиностроения и приборостроения. Сущность этого метода заключается в следующем: положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве не изменяется, а система П 1 /П 2 заменяется (дополняется) плоскостями, образующими с П 1 или П 2 (или между собой) системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.
Каждая новая система выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрическим элементам она заняла положение наиболее удобное для выполнения требуемого построения.
В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей поставленную задачу, бывает достаточно ввести (заменить) только одну плоскость, например П 4 ^ П 1 или П 5 ^ П 2 при этом плоскость П 4 окажется горизонтально-проецирующей, а плоскость П 5 фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости П 4 или П 5 не позволяет решить задачу, то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми (П 6 , П 7 и т.д.).
На рис. 4.1. показано преобразование проекций точки А из системы П 2 /П 1 в систему П 4 /П 1 , в которой вместо плоскости П 2 введена новая плоскость П 4 , а плоскость П 1 осталась неизменной. При этом плоскость П 4 перпендикулярна плоскости П 1 . В системе П 4 /П 1 горизонтальная проекция А 1 точки А осталась неизменной.
Рис. 7.1
Проекция А 4 точки А на плоскость П 4 находиться на плоскости П 1 на том же расстоянии (!!!), что и проекция А 2 точки А на плоскость П 2 . это условие позволяет легко строить проекцию точки на новой плоскости проекций (рис. 7.2).
Рис. 7.2
Для этого в новой системе (П 1 /П 4 ) из проекции точки (А 1 ) на сохраняющейся плоскости проекций проводят линию связи, перпендикулярную новой оси проекций (П 4 /П 1 ). На этой линии связи отмечают расстояние от оси П 4 /П 1 до проекции А 4 точки А на новой плоскости проекций П 4 , равное расстоянию от преобразуемой проекции А 2 точки до оси П 2 /П 1 | А 4 *2 | = | А 2 *1 | .
При введении новой плоскости проекций, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (например, плоскости П 4 на рис. 7.3), расстояние от проекции (В 4 ) точки В до новой оси проекций (П 4 /П 2 ) равно расстоянию от горизонтальной проекции (В 1 ) до оси П 2 /П 1 | В 1 *1 | = | В 4 *2 | .
Рис. 7.3
В дальнейшем при введении новой плоскости проекций ось проекций можно обозначать в виде дроби, черта которой лежит на оси; каждую букву при этом пишут как бы на «своей» плоскости.
Определение длины отрезка АВ общего положения (рис. 7.4)
Заменим плоскость П 2 на П 4 ½½ АВ (ось П 1 /П 4 ½½ А 1 В 1 ). Расстояния от оси П 1 /П 4 до А 4 и В 4 равны расстояниям от А 2 и В 2 до оси П 2 /П 1 соответственно | А 4 *2 | = | А 2 *1 | . Одновременно с определением действительной величины отрезка АВ определена величина a угла наклона к плоскости П 1 .
Рис. 7.4
Приведение отрезка прямой АВ общего положения в проецирующее положение (в продолжение предыдущего примера).
На том же рис. 7.4 новая система плоскостей проекций П 4 /П 1 относительно отрезка АВ находиться в частном положении (П 4 ½½ АВ). Введем еще одну плоскость проекций П 5 ^ П 4 и отрезку АВ (ось проекций П 4 /П 5 ^ А 4 В 4 ). Относительно этой плоскости проекций П 5 отрезок АВ занимает проецирующее положение (А 5 = В 5 , | А 1 *2 | = | А 5 *3 | ).
Необходимо заметить, что для преобразования эпюра отрезка общего положения в проецирующее требуется введение двух новых плоскостей проекции последовательно, первой параллельно отрезку, второй перпендикулярно ему. При этом должны выполняться условия перпендикулярности исходных и новых плоскостей проекций, а также сохранения координат проекций точек на заменяемых плоскостях проекций.
Приведение плоской фигуры общего положения в проецирующее положение, а также определение её натуральной величины .
На первом этапе задачу решают с помощью одной из линий уровня, например, горизонтали с проекциями А 2 F 2 , A 1 F 1 (рис. 7.5). Новая плоскость проекций П 4 в этом случае выбрана перпендикулярно горизонтали AF (ось П 1 /П 4 ^ A 1 F 1 ) и соответственно перпендикулярно плоскости П 1 .
Рис. 7.5
Откладывая на линиях связи от оси П 1 /П 4 координаты вершин А, В, и С с плоскости П 2 на плоскость П 4 , получим проекции указанных вершин (А 4 , В 4 и С 4 ), которые будут расположены на одной линии (т.е. плоскость D АВС ^ П 4 ).
На втором этапе решения задачи (определить натуральную величину треугольника АВС) вводим новую плоскость проекций П 5 ^ П 4 и параллельно плоскости треугольника АВС (т.е. его проекции А 4 В 4 С 4 ). Проведя линии связи от А 4 , В 4 и С 4 перпендикулярно оси П 4 /П 5 и отложив на них от этой оси координаты вершин А, В и С с горизонтальной проекции треугольника АВС на плоскости П 5 (А 5 , В 5 и С 5 ), получим натуральную величину треугольника АВС и углов при его вершинах.
Определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.
Это расстояние выражается длиной общего перпендикуляра MN к заданным прямым АВ и С D . (рис. 7.6)
Рис. 7.6
Для решения этой задачи необходимо, чтобы одна из этих прямых располагалась перпендикулярно плоскости проекций. Для этого необходимо последовательно ввести две новые плоскости проекций (П 4 и П 5 ) для превращения одной из прямых (например АВ) сначала в линию уровня (с помощью плоскости П 4 ), а затем в проецирующую (с помощью плоскости П 5 ), после чего опустить перпендикуляр из проекции слившихся в одну точек А и В (А 5 = В 5 ) на проекцию С 5 D 5 (M 5 N 5 действительно искомое расстояние).
7.3. Метод плоско-параллельного перемещения
Этот метод является разновидностью метода вращения. Как известно, при вращении некоторой точки вокруг своей оси она описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис.7.7).
Метод предусматривает построение дополнительных чертежей предмета вращением этого предмета вокруг оси в неизменной основной системе плоскостей проекций. Он широко используется в технике при рассмотрении и исследовании различных вращающихся форм конструкций механизмов и машин.
Одним из приложений метода в инженерной практике является исследование траекторий точек вращающихся элементов конструкций. На рис. 7.7 представлена схема вращения точки А вокруг оси MN .
Рис. 7.7
В качестве оси вращения обычно используют прямые перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций. На рис. 7.8 изображен эпюр вращения точки А вокруг оси MN ^ П 1 .
Плоскость вращения Т ½½ П 1 и на фронтальной проекции изображена следом Т 2 . Горизонтальная проекция О 1 центра вращения О совпадает с проекцией M 1 N 1 оси, а горизонтальная проекция О 1 А 1 радиуса вращения ОА является его натуральной величиной. Поворот точки А на рис. 4.8 произведен на угол j против часовой стрелки так, чтобы в новом положении точки с проекциями 2, 1 радиус вращения был параллелен плоскости П 2 . При вращении точки вокруг вертикальной оси её горизонтальная проекция перемещается по окружности, а фронтальная проекция по прямой параллельно оси ОХ.
Рис. 7.8
7.4. Метод вращения вокруг проецирующей прямой
Этот метод применяют при решении некоторых задач, например при определении натуральной величины отрезка прямой. Для этого (рис. 7.9) достаточно ось вращения с проекциями M 2 N 2 , M 1 N 1 выбрать так, чтобы она проходила через одну из крайних точек отрезка, например, точку с проекциями В 1 В 2 . Тогда при повороте точки А на угол j в положение (О ½½ П 2 , О 1 1 ½½ Х) отрезок АВ перемещается в положение АВ ½½ П 2 и, следовательно, проецируется на неё в натуральную величину ([В 2 2 ] = [АВ]). Одновременно в натуральную величину будет проецироваться угол a наклона отрезка АВ к плоскости П 1 .
Рис. 7.9
Следует отметить, что при вращении объекта его проекция на плоскости, перпендикулярной к оси вращения, не изменяет своей формы и размеров. Что же касается другой проекции на плоскости, параллельной оси вращения, то все точки этой проекции (кроме точек на оси вращения) перемещаются па прямым, параллельным оси проекций, и проекция изменяется по форме и по величине. Этим пользуются при методе плоскопараллельного перемещения, не задаваясь изображением оси вращения и не устанавливая радиуса вращения. При этом достаточно, не изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры, переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую проекцию по изложенной выше методике.
На рис. 7.10 произведены построения для определения истинной величины отрезка АВ методом плоскопараллельного перемещения.
Рис. 7.10
7.5 Метод вращения вокруг линии уровня
Этот метод также является разновидностью метода вращения и применяется для определения истинной величины плоских фигур, углов и т.д. Эти задачи решаются при повороте плоской фигуры вокруг одной из её линий уровня (обычно горизонтали или фронтали) до положения, параллельного одной из плоскостей проекций (П 1 или П 2 ).
При вращении какой либо плоской фигуры вокруг её линии уровня необходимо определить истинную величину радиуса вращения для построения проекции совмещения только одной точки; проекции совмещений остальных точек можно построить, не определяя их истинных радиусов вращения, а используя неподвижные точки прямых, на которых находятся эти точки (рис. 7.11). Как указывалось выше, этот метод более целесообразен при решении метрических задач с плоскими фигурами.
Рис. 7.11
7.6. Метод вращения вокруг следов плоскости (совмещение)
При изображении объекта в плоскости, заданной следами, иногда целесообразно использовать метод совмещения этой плоскости с одной из плоскостей проекции.
Этот метод также является частным случаем метода вращения. Осью вращения при этом является один из следов плоскости, а второй её след совмещается с той же плоскостью проекций (рис. 7.12).
Рис. 7.12
Совмещенное положение следа плоскости получают при вращении произвольной точки этого следа в плоскости, перпендикулярной другому следу плоскости.
Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм> |
|||
| 5461. | Основные методы построения и преобразования схем САУ | 2.18 MB | |
| В настоящее время автоматические системы широко применяются во всех областях деятельности человека в промышленности на транспорте в устройствах связи при научных исследованиях и др. Исследование режимов системы автоматического управления. Определение передаточной функции замкнутой системы В качестве исследуемой системы нам была предложена система... | |||
| 9400. | Аффинно - эквивалентные фигуры. Перспективно-аффинные преобразования, сжатие, родство. Аффинные преобразования пространства. Применение аффинных преобразований к решению задач | 138.88 KB | |
| Если f перспективно-аффинное преобразование, A и В - его инвариантные точки, то произвольная точка прямой АВ является неподвижной, а любая инвариантная точка преобразования f принадлежит прямой АВ. | |||
| 7819. | Деталирование чертежа | 119.91 KB | |
| Последовательность выполнения деталирования Разработка нового изделия и конструкторской документации на него в общем случае проходит пять стадий установленных в ГОСТ. В составе некоторых проектов на отдельные детали разрабатывают чертежи соответствующие рабочим. В чертеже общего вида должно содержаться такое количество изображений которое достаточно для понимания формы всех входящих в его состав сборочных единиц и отдельных деталей для возможности выполнения чертежа любой детали. | |||
| 6522. | Кручение. Эпюра крутящих моментов | 613.78 KB | |
| В результате в произвольном поперечном сечении стержня из шести силовых факторов возникает только один. Для стержня поперечное сечение которого имеет две оси симметрии за ось кручения естественно принять ось стержня. Как показывают результаты опытов в случае круглого или кольцевого постоянного по длине сечения скручиваемого стержня при определении закона распределения поверхности сил на торцах все поперечные сечения остаются плоскими. Обычно внешние силы действующие на боковую поверхность и по концам стержня приводятся к оси... | |||
| 15259. | Методы, применяемые в анализе синтетических аналогов папаверина и многокомпонентных лекарственных форм на их основе 3.1. Хроматографические методы 3.2. Электрохимические методы 3.3. Фотометрические методы Заключение Список л | 233.66 KB | |
| Дротаверина гидрохлорид. Дротаверина гидрохлорид является синтетическим аналогом папаверина гидрохлорида а с точки зрения химического строения является производным бензилизохинолина. Дротаверина гидрохлорид принадлежит к группе лекарственных средств обладающих спазмолитической активностью спазмолитик миотропного действия и является основным действующим веществом препарата но-шпа. Дротаверина гидрохлорид Фармакопейная статья на дротаверина гидрохлорид представлена в Фармакопее издания. | |||
| 7925. | Методология комплексного ЭА ХД | 9.04 KB | |
| Зависимости объемов выпуска продукции от трудовых факторов выражается следующим образом: Nb = R Tд Тч Дч где Nb объем выпуска продукции R среднесписочное число рабочих Тд число дней отработанных одним рабочим за год Тч среднее число часов отработанных одним рабочим за день Дч средняя выработка продукции на 1 отработанный человекочас. Задача: На основе определить за счет каких факторов произошло изменение сумм взимаемых таможенных платежей Оренбургской таможни. Факторные анализ это процесс комплексного и... | |||
| 2187. | Координаты и преобразования | 74.4 KB | |
| Координаты и преобразования двумерные 2D преобразования 2D преобразования в однородных координатах композиция 2D преобразований 3D координаты проекции стереоизображения преобразования растровых картин. Всюду далее: XYZ декартовые координаты xyz однородные координаты Двумерные преобразования 1. Кроме того векторастолбцы после выполнения преобразования заданного этой матрицей совпадут с осями. Это позволяет сформировать матрицу преобразования если известны его результаты. | |||
| 20605. | Стратегия комплексного продвижения сайта | 1.5 MB | |
| Возникло большое количество совершенно новых медийных форматов: вебинары, инфографика, образовательные онлайн-курсы, gif-анимация и многое другое. Теперь информация чаще всего представляет собой микс различных форматов. Во многих статьях можно найти картинки, таблицы, видео и гипертекстовые ссылки. И самое главное – появилась персонализация. В буквальном смысле теперь каждая статья в интернете пишется для конкретного человека. Любой интернет-пользователь может гибко настраивать свои информационные каналы | |||
| 9051. | Способи перетворення комплексного креслення | 31.78 KB | |
| Розглянути суть способу обертання навколо проекціюючої прямої а також способу заміни площин проекцій. Обертання навколо проекцюючої прямої. Для розв"язання метричних та позиційних задач використовують способи перетворення креслення обертання та зміна площин проекційякі полягають у зміні взаємо розташування геометричного образу та площин проекцій. В результаті обертання геометричний образ займає окреме положення відносно нерухомих площин проекцій. | |||
| 2177. | Трехмерные геометрические преобразования | 39.85 KB | |
| При этом, если смотреть со стороны положительной полуоси в центр координат, то поворот на +90° (против часовой стрелки) переводит одну положительную ось в другую (направление движения расположенного вдоль оси и поворачивающегося против часовой стрелки правого винта и положительной полуоси совпадают). В некоторых, специально оговариваемых случаях, используется левая система координат (см. рис. б). В левой системе координат положительными будут повороты по часовой стрелке | |||
Метод Монжа, комплексный чертеж.
Проекции точки, комплексный чертеж.
Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Методы прямоугольного проецирования на две и три
Свойства ортогонального проецирования
Основными и неизменными свойствами (инвариантами) ортогонального проецирования являются следующие:
1) проекция точки – точка;
2) проекция прямой – в общем случае прямая; если направления проецирования совпадает с направлением прямой, то проекция последней – точка;
3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.
4) проекции параллельных прямых параллельны между собой;
5) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;
6) отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций;
7) проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения проекций этих прямых;
8) если прямая или плоская фигура параллельны плоскости проекций, то на эту плоскость они проецируются без искажения;
9) если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.
В случае если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гᴦ. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.
Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".
Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.
В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.
| Рисунок 6. Пространственная модель двух плоскостей проекций | Линия пересечения плоскостей проекций принято называть осью координат и обозначается x 21 . Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти. Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П 1 совмещают вращением вокруг оси x 12 с плоскостью П 2 (рис.6).Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, принято называть эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом. |
Метод Монжа, комплексный чертеж. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Монжа, комплексный чертеж." 2017, 2018.
Методы проецирования, представленные в § 1.1, позволяют строить изображения (проекции) по заданному геометрическому образу (оригиналу), т.е. решать прямую задачу начертательной геометрии. Но в ряде случаев предусматривается решение обратной задачи, которая заключается в построении оригинала в пространстве по его проекциям на плоскости проекций.
Таким образом, приведенные выше проекционные чертежи (см. рис. 3, рис. 6, рис. 7, рис. 9) не позволяют восстановить оригинал, т.е. не обладают свойством «обратимости».
Рассмотрим схему построения обратимого чертежа, используемую в начертательной геометрии.
Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций: S ^П i .
Ортогональное проецирование является основным в черчении, т.к. обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении геометрических образов относительно плоскостей проекций сохранить ряд линейных и угловых параметров оригинала.
Французский геометр Гаспар Монж предложил ортогонально проецировать оригинал на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П 1 и П 2 .
|
Рис. 11 Рис. 12
П 1 – горизонтальная плоскость проекций; П 2 - фронтальная плоскость проекций; х = П 1 Ⴖ П 2 .
Плоскости проекций разделяют пространство на четыре четверти (или квадранты). Четверти нумеруются в порядке, указанном на рис. 11. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. На рис. 12 показано проецирование точки А на плоскости П 1 и П 2 . Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, поэтому фронтальная (А 2 ) и горизонтальная (А 1 ) проекции точки А находятся на перпендикулярах А 1 А х и А 2 А х к оси проекций х.
Повернув плоскость проекций П 1 вокруг оси х на угол 90 0 (рис. 13), получим одну плоскость – плоскость чертежа, проекции А 1 и А 2 расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций х – линии связи. В результате совмещения плоскостей проекций П 1 и П 2 получается чертеж, называемый эпюром Монжа. Эпюр Монжа называют в современной литературе еще комплексным чертежом. Это чертеж состоящий из двух и более связанных между собой проекций геометрического образа. В дальнейшем эпюр Монжа будем называть одним словом – чертеж.
Рис. 13 Рис. 14
Так как плоскости проекций безграничны, то чертеж точки А в системе П 1 /П 2 будет выглядеть так, как на рис. 14.
А 2 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 1 ;
А 1 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 2 .
Поэтому проекции точки А на две плоскости проекций полностью определяют ее положение в пространстве.
Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать лишь часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекции П 3 .
П 3 – профильная плоскость проекций; Z = П 2 Ⴖ П 3 ; Z – ось ординат. Плоскость проекции П 3 перпендикулярна к П 1 П 2 .
На рис. 15 показано направление поворота на угол 90 0 плоскостей проекций П 3 и П 1 вокруг соответствующих осей координат до совмещения с П 2 .
Из рис. 15 видим, что ось Х делит горизонтальную плоскость проекций П 1 на две части: переднюю полу П 1 (оси Х и Y ) и заднюю полу П 1 (оси Х и Y ).
Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций П 2 также на две части: верхнюю полу П 2 (оси Х и Z) и нижнюю полу (оси Х и -Z ).
|
Из рис. 15 видно, что точки, расположенные в различных четвертях пространства, имеют определенные знаки координат. Эти знаки приведены в таблице.
Построение проекций точки А в системе П 1 /П 2 /П 3 показано на рис. 17
Рис. 17 Рис. 18
ОА х – удаление точки А от профильной плоскости проекций;
А 3 – профильная проекция точки А ;
А 1 А х А 2 , А 2 А z А 3 – линии связи.
На чертеже фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z , причем профильная проекция находится на таком же расстоянии от оси Z , что и горизонтальная от оси Х: А z А 3 = А х А 1 .
Горизонтальная проекция точки А 1 определяется координатами Х и Y
фронтальная А 2 – координатами Х и Z , профильная П 3 – координатами Y и Z .
Относительно плоскостей проекций точка может занимать следующие положения:
- Точка располагается в какой-либо четверти пространства, при этом обязательно условие, что Х ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
- Точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, при условии, что одна из координат должна быть равна «0».
А Î П 1 , если Ζ = 0;
А Î П 2 , если Y = 0;
А Î П 3 , если Х = 0.
3. Точка принадлежит оси координат, если две любые координаты будут равны «0».
А Î Х, если Y = 0; Z = 0;
А Î U, если Х = 0; Z = 0;
А Î Z, если Х = 0; Y = 0.
ВВЕДЕНИЕ
Начертательная геометрия изучает способы построения плоских изображений пространственных геометрических объектов, их геометрические свойства и методы решения пространственных геометрических задач на этих изображениях, что необходимо будущим специалистам при использовании чертежей в их производственной деятельности.
Методические указания предназначены для студентов при самостоятельной подготовке к лабораторным занятиям по начертательной геометрии.
Рассмотренные в пособии задачи сгруппированы по темам и используются студентами при самостоятельной подготовке к очередному занятию. Для этого они должны:
Решить задачи предыдущей темы;
Изучить теоретический материал по заданной теме и ответить на вопросы самоконтроля;
Выполнить упражнения по заданной теме;
Часть задач по теме решаются на лабораторных занятиях при помощи преподавателя, а часть задаются для домашнего решения.
В начале занятия преподаватель проверяет решенные студентами самостоятельно задачи предыдущей темы, теоретическую подготовку студентов и решение упражнений по заданной теме. В конце каждой темы рассматривается пример решения типовой задачи с поэтапным выполнением чертежей. Приступая к решению упражнений новой темы, полезно ознакомиться с соответствующим примером и следовать ему в оформлении чертежа. В конце каждой темы приводятся дополнительные задачи . Правильное решение дополнительных задач студентами дает им возможность принять участие в олимпиаде по начертательной геометрии, которая проводится в конце семестра для выявления сильных студентов по курсу. В приложении пособия приводятся тесты по темам для самоконтроля знаний, изученного материала.
В процессе работы с пособием студенты учатся практическим приемам, применяемым при решении задач, что позволяет им выработать навыки и умения самостоятельного их решения. По мере накопления этого опыта студент начинает мыслить самостоятельно на профессиональном уровне.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ И
ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАЧ
При решении задач необходимо руководствоваться следующими рекомендациями:
1. По данным проекциям геометрических фигур, составляющим исходные данные задачи, представить их форму и взаимное расположение в пространстве как по отношению друг к другу, так и относительно плоскостей проекций.
2. Наметить «пространственный» план решения задачи и установить последовательность выполнения геометрических операций, при помощи которых может быть получен ответ на поставленную задачу. На этой стадии решения задачи следует обращаться к теоремам из курса элементарной геометрии разделы «Планиметрия» и «Стереометрия», а также к теоретическому материалу в учебниках и лекциях.
3. Определить алгоритм решения задачи, кратко записать последовательность графических построений, используя принятые обозначения и терминологию.
4. Приступить к геометрическим построениям, используя инвариантные свойства параллельного проецирования. При выполнении первых двух пунктов полезно установить также возможное число решений и выявить причины, от которых они зависят.
5. Следует иметь в виду, что, осуществляя геометрические построения, на любом этапе решения задачи имеется возможность контроля правильности их выполнения. Это особенно ценно, если учесть, что в задачниках по начертательной геометрии не содержится ответов. В основе контроля лежат инвариантные свойства параллельного проецирования и теоремы из школьного курса стереометрии.
При графическом решении задачи точность ответа зависит не только от выбора правильного пути её решения, но и от точности выполнения геометрических построений. Поэтому, решая задачу, необходимо пользоваться чертёжными инструментами. Задачи должны решаться в отдельной тетради в клетку для лабораторных занятий. Тип и толщина линий выполняются в соответствии с ГОСТ 2.303-68 ЕСКД. Построения выполняются карандашом. Для облегчения чтения чертежа, получающегося в процессе решения, целесообразно применять цветные карандаши: заданные элементы обводятся черным цветом, вспомогательные построения – синим, искомые элементы – красным. Эту же цель преследует обязательное обозначение всех точек и линий. При этом обозначение следует делать в процессе решения задачи сразу после проведения линии или определения точки пересечения линий. Надписи и буквенные обозначения выполнять стандартным шрифтом в соответствии с ГОСТ 2.304-84 ЕСКД.
Тетрадь с решенными задачами предъявляется преподавателю на экзамене.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А, В, С, D, …или 1, 2, 3, 4, … - обозначение точки; прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры.
о – изображение точки (области расположения точки); круг диаметром 2-3 мм тонкой линией от руки.
a, b, c, d, … - линия в пространстве; строчные буквы латинского алфавита.
Γ, Σ, Δ,… - плоскости, поверхности; прописные буквы греческого алфавита.
α, β, γ, δ, … - углы; строчные буквы греческого алфавита.
П – плоскость проекций (картинная плоскость); прописная буква (пи) греческого алфавита.
АВ – прямая, проходящая через точки А и В .
[AB] – отрезок, ограниченный точками А и В .
[AB ) – луч, ограниченный точкой А и проходящий через точку В.
/AB /–натуральная величина отрезка[AB ] (равная оригиналу).
/Aа /–расстояние от точки А до линии а.
/AΣ /–расстояние от точки А до плоскости Σ .
/ab /–расстояние между линиями а и b.
/GD / - расстояние между поверхностями G и D.
≡- совпадение (А≡В – точки А и В совпадают).
║ - параллельны.
^ - перпендикулярны.
∩ - пересечение.
Î - принадлежит, является элементом множества.
^ - угол, например а^b – угол между прямыми а и b.
Ð α - угол α (или число в градусах).
ÐАВС – угол с вершиной в точке В.
Изображение знаков должно выполняться в соответствии с принятыми стандартами оформления технической и научной документации.
ТЕМА 1 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА
(точка, прямая)
Вопросы самоконтроля
1. Свойства ортогонального проецирования.
2. Какие элементы входят в аппарат проецирования?
3. Что называется осью проекций?
4. Что называется проекцией точки?
5. Какие прямые называются «линиями связи» и как они расположены относительно оси проекций?
6. Можно восстановить положение точки в пространстве по её проекциям?
7. Чем можно задать прямую линию на комплексном чертеже?
8. Какие прямые называются прямыми общего и частичного положения? Постройте комплексный чертёж.
9. Как располагаются в пространстве две прямые относительно друг друга?
10. Что называется следом прямой?
3.1 Комплексный чертёж точки
Упражнения
3.1.5. Какая из заданных на чертеже точек А, В или С принадлежит плоскости П 1 ?
3.1.6 На наглядном чертеже (рисунок 3.1) построить проекции А 2 , В 1 , С 1 и D 2 точек-A, B, С и D. Определить в каких четвертях лежат эти точки?
Рисунок 3.1
Задачи
3.2 Комплексный чертёж прямой
Упражнения
Задачи
3.2.6 Постройте на комплексном чертеже два отрезка соответственно пересекающихся, параллельных, скрещивающихся и конкурирующих прямых.
3.2.7 Через точку А(25, 30, 10) провести отрезок АВ, параллельный плоскости проекций П 2 длиной 30 мм под углом 45° к П 1 . Записать координаты точки В. Сколько решений имеет задача?
3.2.8 Найти натуральную величину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям П 1 , П 2 .Координаты точек отрезка А(60, 5, 10), В(10, 20,40).
Примеры решения задач:
Задача 1 Какая из заданных точек А, В, С принадлежит плоскости П 1 ?
Решение . Если точка лежит в плоскости П 1 , то её высота равна нулю. Поэтому среди заданных точек нужно искать точку с высотой, равной нулю. Высота точки измеряется расстоянием либо от фронтальной проекции точки до оси Х 1 2 ,либо от профильной проекции до оси У 3 . И если высота точки равна нулю, то эти проекции точки будут лежать на осях Х 12 и У 3 . Этому условию удовлетворяет точка А , у которой проекция А 2 лежит на оси Х 12 , а проекция А 3 - на оси У 3 . Значит точка А расположена в горизонтальной плоскости проекций П 1 .
Точка С также лежит в плоскости проекций. Об этом говорит расположение её проекций С 1 и С 3 соответственно на осях Х 12 и Z 23 . Это значит, что у точки С равна нулю глубина. Поэтому она лежит во фронтальной плоскости проекций П 2 .
Точка В не лежит ни в одной из плоскостей проекций. Она расположена в пространстве.
Похожая информация.