Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть

x 2 = -arccos а.

Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при

x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

x = 2πп, k € Z.

Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

Уравнение sin (x) = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).

На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики , а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем . Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи .

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

Теория

Конспект урока

Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т.е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.

На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.

Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

Область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

Периодичность всех тригонометрических функций, т.к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

Рассмотрим функцию:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная ;

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

Теперь рассмотрим функцию:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция четная Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

Перейдем к функции:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;

2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;

5) Функция периодична с периодом

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е. и т.д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси абсцисс.

И завершаем рассмотрением функции:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;

2) Область значений , т.е. значения котангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;

5) Функция периодична с периодом

Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е. и т.д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .

Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:

У них период равен . И о функциях:

У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.

Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.

Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:

Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут и т.п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.

Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т.к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.

Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:

Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует.

Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо по очереди все целые числа.

Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.

Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:

К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.

Например, решением уравнения является . Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.

Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:

1) Простейшие , например, ;

2) Частные случаи простейших уравнений , например, ;

3) Уравнения со сложным аргументом , например, ;

4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя , например, ;

5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций , например, ;

6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены , например, ;

7) Однородные уравнения , например, ;

8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций , например, . Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;

А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.

Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.

Наиболее часто встречаются системы следующих типов:

1) В которых одно из уравнений степенное , например, ;

2) Системы из простейших тригонометрических уравнений , например, .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.

В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений .

Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:

имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.

Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .

Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.

Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?

Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?

3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

Пример.

Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:

Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус - это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C (0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P α ° и P β ° , симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P α°:

α° ≈ 37° + 360°n , где n - любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P β ° - конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n , где n - любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n , –37° + 360°n , где n - любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус - это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D (0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P φ и P π–φ , симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP φ катет KP φ равен половине гипотенузы OP φ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P φ :

где n - любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P π–φ :

где n - любое целое число.

Ответ: где n - любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC . Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P α ° и P β° - концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n - целое число). С помощью транспортира находим, что угол P α° OP 0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n - целое число)

Ответ: –50° + 180°n , n ∈ Z.

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.

При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

4. Формулы приведения

Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ . Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:

1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;

2) название меняют только функции углов и

	φ + 2πn

5. Свойства и график функции y = sin x

Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.

6. Свойства и график функции y = cos x

Задачу построения графика функции y = cos x можно свести к построению графика функции y = sin x . Действительно, поскольку график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на

7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x

Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида где n ∈ Z . Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке

В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой уходя вместе с ней неограниченно вверх.

8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Равенства и выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.

tg φ · ctg φ = 1

Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x 2 + y 2 = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.

Основное тригонометрическое тождество

cos 2 φ + sin 2 φ = 1

9. Синус и косинус суммы и разности двух углов

Формула косинуса суммы

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Формула косинуса разности

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула синуса разности

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула синуса суммы

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

Формула тангенса суммы

Формула тангенса разности

Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава - домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

11. Тригонометрические функции двойного угла

Формула тангенса двойного угла

cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1

Пример задания. Решить уравнение

Решение.

13. Решение тригонометрических уравнений

В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример задания. Решить уравнение 2 cos 2 x + 3 sinx = 0

Решение . С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx :

2cos 2 x + 3sinx = 0, 2(1 – sin 2 x ) + 3sinx = 0,

2 – 2sin 2 x + 3sinx = 0, 2sin 2 x – 3sinx – 2 = 0

Введем новую переменную y = sin x , тогда уравнение примет вид: 2y 2 – 3y – 2 = 0.

Корни этого уравнения y 1 = 2, y 2 = –0,5.

Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:

1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x ;

2) sin x = –0,5,

Ответ :

Однородные тригонометрические уравнения

Пример задания. Решить уравнение 2sin 2 x – 3sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.

Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin 2 x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos 2 x «Алгебра и начало математического анализа. 10 класс» , как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением .

#ADVERTISING_INSERT#

При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.

Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.

По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

Схема решения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замена переменной

Схема решения

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод понижения порядка уравнения

Схема решения

Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однородные уравнения

Схема решения

Шаг 1. Привести данное уравнение к виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

или к виду

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Шаг 2. Разделить обе части уравнения на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получить уравнение относительно tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Шаг 3. Решить уравнение известными способами.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Пусть tg x = t, тогда

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, значит

tg x = 1 или tg x = -4.

Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул

Схема решения

Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.

С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.

Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.